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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS A HORA´RIO: 11:10 a`s 12:50 - 31/03/2005 1a. Avaliac¸a˜o 1. A populac¸a˜o de uma cidade satisfaz o modelo dy dt = y(10−1 − 10−7y), y(0) = 5000 Aqui t e´ medido em meses. Qual o valor limite da populac¸a˜o? Em que instante a populac¸a˜o sera´ a metade deste valor limite? Link para a soluc¸a˜o. 2. Sabe-se que a populac¸a˜o de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de pessoas presentes no instante t. A populac¸a˜o inicial de 500 cresce 15% em 10 anos. Qual sera´ a populac¸a˜o em 30 anos. Link para a soluc¸a˜o. 3. A taxa segundo a qual uma droga se difunde no fluxo sangu´ıneo e´ descrita por dy dt = r − ky, em que r e k sa˜o constantes positivas. Encontre a func¸a˜o y(t) que da´ a concentrac¸a˜o da droga no sangue no instante t, sabendo-se que y(0) = 0. Qual o valor limite para a concentrac¸a˜o? Link para a soluc¸a˜o. Soluc¸a˜o 1. dy dt = y(10−1 − 10−7y) 1 y(10−1 − 10−7y) dy dt = 1 1 y(10−1 − 10−7y) = A y + B 10−1 − 10−7y 1 = A(10−1 − 10−7y) +By Fazendo y = 0 obtemos A = 10 e y = 106 obtemos B = 10−6. ∫ 1 y(10−1 − 10−7y) dy = 10 ∫ ydy + 10−6 ∫ 1 10−1 − 10−7y dy = 10 ln y − 10 ln |10−1 − 10−7y| = 10 ln ∣∣∣∣ y10−1 − 10−7y ∣∣∣∣ A equac¸a˜o diferencial pode ser escrita como d dt ( 10 ln ∣∣∣∣ y10−1 − 10−7y ∣∣∣∣ ) = 1 ln ∣∣∣∣ y10−1 − 10−7y ∣∣∣∣ = 10−1t+ C1 y 10−1 − 10−7y = ±eC1e10 −1t = Ce10 −1t Substituindo-se t = 0 e y = 5000 obtemos C = 5 · 103 10−1 − 5 · 10−4 . O valor limite da populac¸a˜o e´ um ponto de equil´ıbrio da equac¸a˜o diferencial. Por- tanto yL = 10 6. Para y = 5 · 105 temos que t = 10 ln ( 1 C y 10−1 − 10−7y ) = 10 ln ( 10−1 − 5 · 10−4 5 · 103 5 · 105 10−1 − 5 · 10−2 ) = 10 ln 9, 95 0, 05 ≈ 53 meses Link para a pro´xima questa˜o. 2. y(t) = 500ekt y(10) = 500 · 1, 15 = 500e10k k = 1 10 ln 1, 15 y(30) = 500e30k = 500e30 1 10 ln 1,15 = 500 · (1, 15)3 = 760 Link para a pro´xima questa˜o. 3. dy dt + ky = r. (1) Para resolveˆ-la precisamos determinar o fator integrante µ(t) = e ∫ kdt = ekt Multiplicando-se a equac¸a˜o (1) por µ(t) = ekt obtemos d dt (ekty) = rekt Integrando-se ambos os membros obtemos ekty(t) = r k ekt + C ou y(t) = Ce−kt + r k Substituindo-se t = 0 e y = 0, obtemos 0 = Ce−k 0 + r k ⇒ C = − r k Ou seja, a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´ y(t) = r k (1− e−kt). lim t→∞ y(t) = r k
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