LISTA EDO ordem superior 2

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR 
Campus Londrina 
 
 
Disciplina: Matemática 2 
 
Lista de exercícios 
EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE ORDEM SUPERIOR 
 
1. Nos Problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada: 
 Respostas: 
a)
4 '' ' 0y y 
 
4
1 2
x
y C C e

 
 
b) 
'' 36 0y y 
 
6 6
1 2
x xy C e C e 
 
c) 
'' 8 ' 16 0y y y  
 
4 4
1 2
x xy C e C xe  
 
d) 2
2
10 25 0
d y dy
y
dx dx
  
 5 51 2x xy C e C xe 
 
e) 
'' 4 ' 5 0y y y  
 
 2 1 2cos( ) ( )
xy e C x C sen x 
 
f) 
''' 0y y 
 
2
1 2 3cos( 3 ) ( 3 )
2 2
x
x x xy C e e C C sen
  
   
 
 
g) 
''' 5 '' 3 ' 9 0y y y y   
 
3 3
1 2 3
x x xy C e C e C xe  
 
h) 
''' 6 '' 12 ' 8 0y y y y   
 
2 2 2 3
1 2 3
x x xy C e C xe C x e  
 
i) 4 2
4 2
2 0
d y d y
y
dx dx
  
 1 2 3 4x x x xy C e C xe C e C xe    
 
 
j) 
     ''' 8 0, 0 0, 0 1, 0 7y y y y y      
 
21 1 3cos 3 3
6 6 6
x x xy e e x e sen x    
 
k) 2
2
1
0
4
d y dy
y
dx dx
  
 1 1
2 2
1 2
x x
y C e C xe 
 
 
2. Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados (Método de 
Descartes): 
 Respostas: 
a) 
'' 3 ' 2 6y y y  
 
2
1 2 3
x xy C e C e   
 
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b) 
4 '' 9 15y y 
 
1 2
3 3 5
cos( ) ( )
2 2 3
y C x C sen x  
 
c) 
'' 10 ' 25 30 3y y y x   
 
5 5
1 2
6 3
5 5
x xy C e C xe x   
 
d) 
2
1
'' ' 3
4
x
y y y e   
 
22 2 2
1 2
1
12
2
x x x
y C e C xe x e   
 
e) 
4'' 16 2 xy y e 
 
4 4 4
1 2
1
4
x x xy C e C e xe  
 
f) 
'' 4 3 (2 )y y sen x 
 
1 2
3
cos(2 ) (2 ) cos(2 )
4
y C x C sen x x x  
 
g) 
2''' 2 '' 4 ' 8 6 xy y y y xe   
 
2 2 2 3 2 2
1 2 3
1 3
4 16
x x x xy C e C xe C e x x e
 
     
 
 
h) 
2 3'' 3 48 xy y x e  
 
2 3
1 2
4
cos( 3 ) ( 3 ) 4 4
3
xy C x C sen x x x e
 
      
 
 
i) 
   
24
2 1y y y x   
 2
1 2 3 4cos cos 2 3y C x C senx C x x C x senx x x      
 
j) 
5''' 2 '' 2 24 40x xy y y e e    
 
     
1 5 9
0 , 0 , 0
2 2 2
y y y    
 
2 5111 11 9 2 12
2
x x x xy e xe x x e e     
 
k) 
2'' 3 2 ty y y te  
 
2 2
1 2
1 5
3 9
t t ty C e C e t e
 
    
 
 
l) 
'' 4 8y y t 
 
1 2cos2 2 2y C t C sen t t  
 
m) 
'' 3 4 1 2y y y t   
 
4
1 2
1 5
2 8
t ty C e C e t
 
    
 
 
 
n) 
2''' 2 '' ' 2 4 5 20cosxy y y y x e x     
 
     21 2 34 2 cos 1 2
xy C x e C x senx C x x x       
 
o) 
3'' 6 6 26 2y y y x sen x   
 
3 2 3 2
1 2
1 7 13 5 1
2 cos 2
2 6 36 2 2
x xy C e C e x x x sen x x       
 
 
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3. Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação de parâmetros (Método de 
Lagrange): 
 Respostas: 
 a) 
'' sec( )y y x 
 
1 2cos( ) ( ) cos( ) ln cos( ) ( )y C x C sen x x x xsen x   
 
 b) 
'' ( )y y sen x 
 
 
1 2
1
cos( ) ( ) cos( )
2
y C x C sen x x x  
 
 c) 
'' ( )y y tg x 
 
1 2cos( ) ( ) cos ln sec( ) ( ) )y C x C sen x x x tg x   
 
 d) 
'' 2 ' 5 ( )xy y y e sen x  
 
 e) 
2'' cosy y x 
 
 
1 2
1 1
cos cos 2
2 6
y C x C senx x   
 
 f) 
1
'' 3 2
1 x
y y y
e
  

    2 21 2 ln 1x x x x xy C e C e e e e       
 
 g) 
 2
'' 2
1
xe
y y y
x
  

 
2 1
1 2
1
ln(1 )
2
x x x xy C e C xe e x xe tg x    
 
 h) 
'' 2 lnxy y y e x  
 
 
2 2
1 2
1 3
ln
2 4
x x x xy C e C xe x e x x e      
 
 i) 
32 '' 2 xy y y y e    
 
 
2 3
1 2 3
1
8
x x x xy C e C e C e e   
 
 
 
4. Resolva a equação diferencial dada:(Equação de Cauch-Euler ) 
 Respostas: 
 a) 
2 '' 2 0x y y 
 
1 2
1 2y C x C x
 
 
 b) 
2 '' ' 0x y y 
 
1 2 ln( )y C C x 
 
 c) 
3 2''' 2 '' 2 ' 8 0x y x y xy y   
 
1 2 4
1 2 3y C x C x C x
  
 
 d) 
2 '' 3 ' 0, (1) 0, (1) 4x y xy y y   
 
22 2y x 
 
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 e) 
3 ''' 6 0x y y 
 
3
1 2 3cos( 2 ln ) ( 2 ln )y C x C x C sen x  
 
 f) 
23 '' 6 ' 0x y xy y  
 
1 2
1 2
3 3
cos ln ln
6 6
y x C x C sen x
    
        
     
 
 g) 
2 '' ' 0, (1) 1, (1) 2x y xy y y y    
 
   cos ln 2 lny x sen x 
 
 h) 4 3
4 3
6 0
d y d y
x
dx dx
 
 2 31 2 3 4y C C x C x C x   
 
i) 
'' 'xy y x 
 
 2
1 2 ln
4
x
y C C x  
 
j) 
2 22 '' 5 'x y xy y x x   
 
1 2 1 2
1 2
1 1
15 6
y C x C x x x    
 
k) 2
2 2
2
10 8
d y dy
x x y x
dx dx
  
 
1 8 2
1 2
1
30
y C x C x x   
 
l) 
2
3
5
'' 9 ' 20x y xy y
x
  
 
2 10 3
1 2
1
7
y C x C x x   
 
m) 
2 lnx y xy y x   
 
1
1 2 lny C x C x x
  
 
n) 
2 1
1
x y xy y
x
   

 
 
 
5. Resolva a equação diferencial dada. 
 Respostas: 
a) 
   
2
2
2
1 2 1 4 0
d y dy
x x y
dx dx
    
 
Sugestão: faça 
1t x 
 
   
1 4
1 21 1y C x C x

   