CAP. 2.2

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
DE PRIMEIRA ORDEM
2.2 – VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
EQUAÇÃO SEPARÁVEL
𝑫𝑬𝑭𝑰𝑵𝑰ÇÃ𝑶:𝑈𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 ℎ 𝑦
é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟á𝑣𝑒𝑙 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠.
EXEMPLO 1
SEPARÁVEL NÃO SEPARÁVEL
MÉTODO DE RESOLUÇÃO
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 𝑝𝑜𝑟 ℎ 𝑦 , 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑝 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 𝑜𝑛𝑑𝑒
1
ℎ 𝑦
= 𝑝 𝑦 (2)
𝐴𝑔𝑜𝑟𝑎, 𝑠𝑒 𝑦 = 𝜑 𝑥 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 2 , 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟 𝑝 𝜑 𝑥 𝜑′(𝑥) = 𝑔 𝑥 ,
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 𝑝 𝜑 𝑥 𝜑′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 (3)
𝑀𝑎𝑠 𝑑𝑦 = 𝜑′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑒, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 3 é 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒:
 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 (4)
EXEMPLO 2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 , 𝑦 0 = 0.
𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐:𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑒2𝑦 − 𝑦
𝑒𝑦
𝑑𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
cos 𝑥
𝑑𝑥.
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
 𝑒𝑦 − 𝑦𝑒−𝑦 𝑑𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑦 + 𝑦𝑒−𝑦 + 𝑒−𝑦 = −2cos 𝑥 + 𝑐
𝑒𝑦 + 𝑦𝑒−𝑦 + 𝑒−𝑦 = 4 − 2 cos 𝑥
EXERCÍCIOS 2.2
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 1 − 22 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎, 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠
𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠.
12. 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠3 3𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 23 − 28 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑃𝑉𝐼 𝑑𝑎𝑑𝑜.
28. 1 + 𝑥4 𝑑𝑦 + 𝑥 1 + 4𝑦2 𝑑𝑥 = 0, 𝑦 1 = 0.