Aula 10 Variáveis Aleatórias; Variáveis Aleatórias Discretas

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Aula 10 
Variáveis Aleatórias Discretas 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
 
Variáveis Aleatórias 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Aula 10 
Variáveis Aleatórias Discretas 
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Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Introdução do Conceito 
 
 
 
 Lançamento de 3 moedas; 
 
 Registra-se o número de caras 
 
 
 variável aleatória 
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Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Variável Aleatória 
 
 Uma variável aleatória VA é uma função que associa elementos do espaço amostral a 
valores numéricos, ou seja, X : S → I , em que . 
 Esquematicamente: 
I
S 
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Variável Aleatória 
 
 
 
 
 
Variável Aleatória 
Discreta Contínua 
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Variáveis Aleatórias Contínuas 
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Variável Aleatória Discreta 
 
 
 
 
 
 
 os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável 
 Exemplos: número de arranhões em uma superfície; proporção de partes defeituosas; 
números de bits transmitidos que foram recebidos com erro;... 
 
Variável Aleatória 
Discreta Contínua 
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Variável Aleatória Contínua 
 
 
 
 
 
 
 os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 
 Exemplo: corrente elétrica; comprimento; pressão; temperatura; tempo de resposta; 
voltagem; peso;... 
Variável Aleatória 
Discreta Contínua 
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Variáveis Aleatórias Contínuas 
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Explorando o conceito de Variáveis Aleatórias 
 
Contínua ou Discreta? 
 Tempo que um projétil gasta para retornar à Terra 
 Número de vezes que um transmissor em uma memória de computador muda de 
estado em uma operação 
 Volume de gasolina que é perdido por evaporação, durante o enchimento do tanque de 
gasolina 
 Diâmetro externo de um eixo usinado 
 Número de rachaduras que excedem meia polegada em 10 Km de uma autoestrada 
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Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 
Engenheiros de produção de uma empresa estão acompanhando o nível de qualidade de 3 
máquinas, A, B e C. Estima-se que essas máquinas produzem (de forma independente) 
90%, 88% e 85% de peças sem defeito, respectivamente. 
a) Quais os resultados possíveis? 
b) Como definir uma VA? 
c) Como associar probabilidade a essa VA? 
 
 
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Exemplo 1 – Solução 
Engenheiros de produção de uma empresa estão acompanhando o nível de qualidade de 3 
máquinas, A, B e C. Estima-se que essas máquinas produzem (de forma independente) 
90%, 88% e 85% de peças sem defeito, respectivamente. 
a) Quais os resultados possíveis? 
 
 Considere os eventos: 
 A = máquina A produz peça sem defeito 
 B = máquina B produz peça sem defeito 
 C = máquina C produz peça sem defeito 
 Resultados Possíveis: 
 S = {ABC, AcBC, ABcC, ABCc, AcBcC, AcBCc, ABcCc, AcBcCc} 
 
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Variáveis Aleatórias Contínuas 
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Exemplo 1 – Solução 
Engenheiros de produção de uma empresa estão acompanhando o nível de qualidade de 3 
máquinas, A, B e C. Estima-se que essas máquinas produzem (de forma independente) 
90%, 88% e 85% de peças sem defeito, respectivamente. 
b) Como definir uma VA? 
 
 Temos pelo menos duas formas para definir uma variável aleatória: 
 X1 = número de peças produzidas sem defeitos nas três máquinas; 
 X2 = número de peças produzidas com defeito nas três máquinas; 
 ... 
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Exemplo 1 – Solução 
Engenheiros de produção de uma empresa estão acompanhando o nível de qualidade de 3 
máquinas, A, B e C. Estima-se que essas máquinas produzem (de forma independente) 
90%, 88% e 85% de peças sem defeito, respectivamente. 
c) Como associar probabilidade a essa VA? 
 
 Vamos considerar: 
 X = número de peças produzidas sem defeitos nas três máquinas: 
 X(ABC) = 3 
 X(AcBC) = X(ABcC) = X(ABCc) = 2 
 X(AcBcC) = X(AcBCc) = X(ABcCc) = 1 
 X(AcBcCc) = 0 
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Exemplo 1 – Solução 
Engenheiros de produção de uma empresa estão acompanhando o nível de qualidade de 3 
máquinas, A, B e C. Estima-se que essas máquinas produzem (de forma independente) 
90%, 88% e 85% de peças sem defeito, respectivamente. 
c) Como associar probabilidade a essa uma VA? 
 
 Vamos simplificar a notação para os possíveis valores da VA: 
 X = número de peças produzidas sem defeitos nas três máquinas 
 X(ABC) = 3  X = 3 
 X(AcBC) = X(ABcC) = X(ABCc) = 2  X = 2 
 X(AcBcC) = X(AcBCc) = X(ABcCc) = 1  X = 1 
 X(AcBcCc) = 0  X = 0 
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Exemplo 1 – Solução 
Engenheiros de produção de uma empresa estão acompanhando o nível de qualidade de 3 
máquinas, A, B e C. Estima-se que essas máquinas produzem (de forma independente) 
90%, 88% e 85% de peças sem defeito, respectivamente. 
c) Como associar probabilidade a essa uma VA? 
 
 Assim pode-se escrever: 
 P(X = 3) = P(ABC) = 0.90 * 0.88 * 0.85 = 0.6732 
 P(X = 2) = P(AcBC ou ABcC ou ABCc) = 0.2854 
 P(X = 1) = P(AcBcC ou AcBCc ou ABcCc) = 0.0396 
 P(X = 0) = P(AcBcCc) = 0.0018 
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Exemplo 1 – Solução 
Engenheiros de produção de uma empresa estão acompanhando o nível de qualidade de 3 
máquinas, A, B e C. Estima-se que essas máquinas produzem (de forma independente) 
90%, 88% e 85% de peças sem defeito, respectivamente. 
c) Como associar probabilidade a essa uma VA? 
 
Normalmente representam-se os valores numa tabela com a distribuição das 
probabilidades, chamada de função de probabilidade: 
X = número de peças produzidas sem defeitos nas três máquinas 
 
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L2.1. Exercício 1 
Uma moeda é lançada 4 vezes consecutivas. 
a) Apresente o espaço amostral. 
b) Imagine que queiramos saber a probabilidade associada à quantidade de vezes que a face 
“coroa” foi sorteada. Logo, associaremos a essa quantidade a variável aleatória discreta X. 
Apresente a distribuição de probabilidade associada a essa variável. 
c) Qual a probabilidade de não sair nenhuma “coroa”? 
d) Qual a probabilidade de sair uma quantidade ímpar de “coroas”? 
e) Qual a probabilidade de sair pelo menos 2 “coroas”? 
f) Qual a probabilidade de sair menos de 2 ou mais de 3 “coroas”? 
g) Qual a probabilidade de sair de 0 a 4 “coroas”? Como podemos classificar esse evento? 
h) Qual a probabilidade de sair mais de 4 “coroas”? Como podemos classificar esse evento?Aula 10 
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L2.1. Exercício 2 
Três peças são retiradas ao acaso de uma linha de produção. Cada peça é classificada como 
boa (B) ou defeituosa (D). Considere que os eventos B e D sejam equiprováveis. 
a) Apresente o espaço amostral desse experimento 
b) Considere X como a variável aleatória discreta que representa a quantidade de peças 
defeituosas. Apresente sua distribuição de probabilidade. 
c) Considere agora Y como a variável aleatória discreta que representa a quantidade de peças 
boas. Apresente sua distribuição de probabilidade. 
d) O que é mais provável de acontecer: encontra 2 peças defeituosas ou 2 peças boas? 
e) Os eventos B e D são mutuamente exclusivos? Justifique. 
f) Qual a probabilidade de encontrarmos mais de 2 peças defeituosas dentre as selecionadas? 
g) Qual a probabilidade de encontrarmos pelo menos 2 peças defeituosas dentre as 
selecionadas? 
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Gabarito 
1. b) 0,125; 0,1875; 0,375; 0,25; 0,0625; c) 0,125; d) 0,4375; e) 0,6875; f) 0,375 
2. b,c) 0,125; 0,375; 0,375; 0,125; d) Igual; e) S; f) 0,125; g) 0,5 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 Estudar os itens 2.8 e 3.1 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.