Demonstrando o Teorema de Laplace e as Propriedades dos Determinantes

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Demonstrando o Teorema de Laplace e as Propriedades dos 
Determinantes 
 
Raíssa Peres de OLIVEIRA
(1)
; Cláudio ROCHA Junior
(2)
; Ruy PIEHOWIAK
(3) 
 
(1) Aluna do Ensino Médio, da 3ª série, do Colégio Dom Bosco, Rio do Sul, SC, raissaperes@hotmail.com 
(apresentadora); (2) Aluno do Ensino Médio, da 3ª série, do Colégio Dom Bosco, Rio do Sul, SC, 
claudio_rocjajr@hotmail.com (apresentador); (3) Professor Orientador, Colégio Dom Bosco/Instituto Federal 
Catarinense, Rio do Sul, SC, ruymtm@ifc-riodosul.edu.br 
 
RESUMO: O presente trabalho foi desenvolvido por um grupo de alunos da 2ª série do ensino médio do 
Colégio Dom Bosco da cidade de Rio do Sul, sob a orientação do professor de matemática. O interesse 
pelo trabalho surgiu pelo fato de pretender aprofundar o conhecimento de matemática pura através de 
demonstrações, neste caso o teorema de Laplace e as propriedades dos determinantes. Para o seu 
desenvolvimento foram realizadas pesquisas de cunho bibliográfico que possibilitaram as demonstrações 
pretendidas. Entende-se que esse trabalho tem valor social relevante no que tange o entendimento 
histórico e de origem abrindo perspectivas para modelagem matemática, já que determinantes e matrizes 
são fundamentais para muitas delas em situações que envolvem o cotidiano. 
 
Palavras-chaves: matrizes, determinantes, teorema de Laplace. 
 
 
INTRODUÇÃO 
A teoria dos determinantes não foi desenvolvida por um único estudioso. O 
estudo foi feito simultaneamente pelo matemático alemão, Gottfried Leibniz (1646-
1716) e pelo matemático japonês Seki Shinsuke Kowa (1642-1708) solucionando 
problemas de eliminações (escalonamento) necessárias à resolução de um sistema de m 
equações lineares e n incógnitas No século XVII outros matemáticos contribuíram para 
o aprimoramento desse estudo, dentre eles Vandermonde e Pierre Laplace e no século 
XIX temos Cauchy e Jacobi. (BOYER, 1988). 
O estudo das matrizes, juntamente com os determinantes é de extrema 
importância para a matemática, pois é utilizado entre outras aplicações para a realização 
de modelagens matemáticas. 
Do estudo realizado em sala de aula, vimos como calcular o determinantes de 
matrizes de ordem 2 e 3 pela regra de Sarrus. Assim, sabendo da existência de um 
método mais simplificado, o teorema de Laplace, para calcular determinantes de 
matrizes de ordem maior ou igual a 2 decidimos por fazer uma pesquisa a fim de 
aprofundar o conhecimento deste teorema. 
Os objetivos do trabalho foram entender o cálculo de determinantes, saber 
utilizar suas propriedades e instigar nossas habilidades algébricas possibilitando maior 
compreensão matemática. 
Optamos por fazer um estudo bibliográfico do teorema de Laplace focando na 
sua demonstração. É necessário ressaltar que tendo o teorema pronto teve-se a 
necessidade de provar que este estava certo, por isso realizamos a demonstração do 
teorema, utilizando o método de indução. 
 
MATERIAL E MÉTODOS 
 
 
2 
 
Ao longo da pesquisa que norteou esse artigo, encontramos a definição de 
determinante para uma matriz de ordem 2. “Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, 
calculamos seu determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal principal 
menos o produto dos elementos da diagonal secundária.” (DANTE, 2007, p. 148). 
Apresentamos a demonstração do teorema de Laplace fazendo indução sobre n. 
1ª PARTE: 
Provemos que o teorema é válido para matrizes de ordem 2: 
 
 
 
det M = a11A11+ a12A12 
 = a11D22+ a12(-1)D11 
 = a11a22 - a12a21 
 
2ª PARTE: 
Admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem (n – 1) e 
provemos que ela também é válida apara determinantes de ordem n. 
Seja M uma matriz de ordem n > 2. Os menores complementares das entradas de 
M são determinantes de ordem (n – 1). Denotaremos por 𝐷𝑗𝑙 𝑖𝑘 o determinante da 
matriz que se obtém suprimindo de M das linhas i e j e as colunas k e l. (SÁ, 2004) 
Fixemos a k-ésima coluna da matriz M (1 < k ≤ n) e calculemos o número. 
C = a1kA1k + a2kA2k + a3kA3k + ... + ankAnk 
Temos: 
 
 
 
Os determinantes D1k, D2k, ..., Dnk são de ordem (n – 1). Assim, por método de 
indução podemos calcular esses determinantes por teorema de Laplace. 
 
1
2
1
13
1
2
1
1
31
2
13
31
11
2
11
112
1
1
1
12
1
1
1
1
31
1
13
31
21
1
12
211
)1()1(...)1()1(
)1()1(...)1()1(
i
k
i
i
n
i
n
k
n
nkkk
i
k
i
i
n
i
n
k
n
nkkk
DaDaDaDaD
DaDaDaDaD










 Assim, temos: 
11
1
1
1
1
1
1
1
21
21
21
111 )1()1(...
i
nk
i
i
n
i
n
k
n
nnkknk DaDaDaDaD


  
. 
A substituição de D1k, D2k, ..., Dnk na expressão C acarreta em: 
nk
kn
nkk
k
kk
k
k
nknkkkkk
DaDaDaC
AaAaAaC
 

)1(...)1()1(
...
2
2
21
1
1
2211
 
 
3 
 
 
Se tomarmos em C todas as parcelas onde a11 aparece teremos: 
 
Assim, se tomarmos somente as parcelas onde an1 aparece teremos: 
 
Sendo assim, concluímos que: 
1121211111
1121211111
...
...
nn
nn
AaAaAaC
DaDaDaC

 
Provando o teorema de Laplace. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Provamos, com a realização deste trabalho, que o teorema de Laplace é valido 
para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n > 2, sendo a melhor maneira 
para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n > 3, já que para o cálculo de 
determinantes de matrizes de ordem n = 4, podemos utilizar a Regra de Sarrus. 
Podemos concluir com a realização desse trabalho que: 
 Laplace estabelece que se pode obter o determinante de uma matriz 
efetuando a soma do produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos 
respectivos cofatores e reduz o cálculo de um determinante de ordem n 
ao calculo de determinante de ordem n – 1. 
 Para aplicação do teorema de Laplace convém escolher uma linha ou 
coluna da matriz com o maior número possível de zeros. 
 Muitas vezes, para calcular o determinante de uma matriz, usam-se 
simultaneamente o método de eliminação e o teorema de Laplace. 
Começa-se com o método de eliminação para obter, por exemplo, na 1ª 
coluna, apenas um elemento não nulo e aplica-se em seguida o 
desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna. 
 
CONCLUSÕES 











1
1
11
1
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
})1({)1(...
})1({)1(})1({)1(
n
i
i
nk
i
i
kn
nk
n
i
i
K
i
i
k
k
n
i
i
k
i
i
k
k
Daa
DaaDaaC
1111
11211
3
1
3
11
22
1111
3
3
3
11
2
2
211
})1()1()1({
})1(...)1()1({
Da
DaDaDa
DaDaDaa
nk
kn
nkk
k
kk
k
k
nk
kn
nkk
k
kk
k
k




11
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
12
1
1
2
2
2
1
1
1
11
})1(...)1()1({
})1(...)1()1({
nn
n
kn
kn
knk
n
k
k
k
n
k
k
k
n
kn
kn
knk
n
k
nk
k
n
k
kn
kn
Da
DaDaDa
DaDaDaa











 
 
4 
 
Com o desenvolvimento do trabalho nos possibilitou entender o que significa 
matrizes e determinantes da ótica estritamentematemática, saber utilizar as 
propriedades dos determinantes, entender e compreender melhor o teorema de Laplace 
para calculá-lo. 
Assim, pelo método de indução provamos a existência do teorema de Laplace. Os 
determinantes possuem papéis fundamentais para matemática, principalmente na 
execução de modelagens matemáticas. Outra possibilidade atingida com o estudo foi a 
de desenvolver a habilidade algébrica de trabalhar matematicamente. 
Caso esse trabalho tenha continuidade iremos desenvolver mais a questão de 
matrizes inversas e procurar entender mais sobre a demonstração do teorema de 
Laplace. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BOYER, Carl. História da Matemática. São Paulo: Edward Blünchen, 1988. 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 4. ed. São Paulo: Ática, 
2007. v. 2. 
SÁ, Fernanda Lúcia. Estudo dos determinantes. Caderno Dá Licença. Rio de Janeiro, 
v. 5, Ano 6, p. 70 – 84, Dez. 2004.