4° arquivo Funções inversas

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Funções Inversas 
 A inversa de uma função f é a função que desfaz (ou inverte) o 
 efeito da função f . 
 Muitas funções apresentam uma função inversa. Por exemplo: 
 
 
 Uma função é dita injetora quando possui valores diferentes para 
 elementos distintos do seu domínio. 
xey 
inversa 
Logaritmo natural de x 
xxfxxf  )(;)( 3
xy ln
 Funções Injetoras 
Injetora 
Não 
Injetora 
42 )(;)( xxfxxf 
1 
Funções Inversas 
 Uma função f (x) é injetora no domínio D se: 
 Funções Injetoras – Definição formal 
Função Injetora 
Dxxxfxf emquesempre)()( 2121 
 Funções Injetoras – Teste da Reta Horizontal 
 Uma função y = f (x) é injetora se e somente se sua curva intercepta 
 cada reta horizontal uma única vez. 
Função Não Injetora 
2 
Funções Inversas 
 Sendo f uma função injetora em um domínio D com imagem R, a 
 função inversa é definida por: 
 Funções Inversas 
abfbaf  )(se)(1
 O domínio de f -1 é R e a imagem de f -1 é D. 
 OBS1: Domínios e imagens de f e f -1 são invertidos. 
 OBS2: Somente uma função injetora pode ter inversa. 
 OBS3: O efeito de compor uma função com sua inversa é nulo: 
 








11
1
dedomínionoqualquerpara)()(
dedomínionoqualquerpara)()(
fyyyff
fxxxff


3 
Funções Inversas 
 Os gráficos de uma função e de sua inversa estão muito relacionados. 
 Na verdade, pode-se dizer que o gráfico de f já é o gráfico de f -1 . 
 Determinação das funções Inversas 
1. Para determinar f, parte-se de x, sobe-se paralelamente ao eixo y até 
 à curva e então prossegue-se em direção ao eixo y. 
Im
ag
em
 d
e 
f 
Domínio de f Imagem de f
 -1 
D
o
m
ín
io
 d
e 
f 
-1
 
 
2. Para determinar um valor de x, a partir de um dado valor y, parte-se 
 de y, paralelamente ao eixo x, ate à curva e então prossegue-se até 
 o eixo x. 4 
Funções Inversas 
 Para traçar o gráfico da função inversa na forma habitual, reflete-se o 
 conjunto em torno da reta y = x e, em seguida, trocam-se as legendas 
 de x e y. 
 Gráfico da função inversa na forma habitual 
1. Resolve-se y = f (x) para x. Como resultado, tem-se x = f -1(y) onde 
 x é expresso como função de y. 
2. Faz-se o intercâmbio entre x e y , obtendo-se y = f -1(x) onde a função 
 inversa é expressa com x sendo a variável independente. 
 Algebricamente, obtem-se f -1 a partir de f, fazendo: 
5 
Funções Inversas 
 Exemplo: Sendo f (x) a função descrita abaixo, escreva sua inversa: 
1. Passo 1: 
 
 
1
2
1
)(  xyxf
2. Passo 2: Intercâmbio 
 
 
22221
2
1
 yxxyxy
22  xy
 Fazendo a composição de f (x) e f -1(x) 
xxxxfxff 











  2221
2
1
21
2
1
))(( 11
xxxxfxff  111)22(
2
1
)22())(( 1
6 
Funções Logarítmicas 
 É a função inversa da função exponencial de base a: 
 com a > 0 e a ≠ 1 
 Funções Logarítmicas de Base a: 
xy alog





logaritmo)(loglog
natural)logaritmo(lnlog
10 xx
xxe
xay 
 Assim: 
 O domínio de é (0, ∞) que é a imagem de 
 
 A imagem de é (- ∞, ∞) que é o domínio de 
xy alog
xay 
xay 
xeyx y ln 1ln:Para  eex
7 
xy alog
Funções Logarítmicas 
 Propriedades Algébricas dos Logaritmos Naturais 
 Composição das inversas: 
 
 Para a = e: com x > 0 
 
 
 Para quaisquer números reais b > 0 e x > 0 , o logaritmo natural segue 
as seguintes regras: 
 Produto: 
 Quociente: 
xbbx lnln)(ln 
 Potenciação: 
Regra anterior com b = 1 
xbxb lnln)/(ln 
 Recíproca: 
xxx lnln1ln)/1(ln 
xrxr lnln 
 Propriedades das inversas para: xa ax loge
xa
xa log xaxa log
xe x ln xex ln 8 
Funções Logarítmicas 
 Substituindo x por a x na expressão: pode-se escrever a x 
 como potência de e: 
Assim, pode-se dizer que cada 
função exponencial é uma potência 
da função exponencial natural: 
 Exemplo: Determine o valor de x na expressão a seguir a partir 
 das propriedades dos logaritmos 
xe x ln
xaaxax eeea
x )(lnlnln 
2log7log)log(log 43
2
55 435  xx
275
)/(log 25 xx
Quociente e composição de inversas 
Composição de inversas 
5
1
5/15/ 2  xxxx
kxx ea 
onde k = ln a 
9 
Funções Logarítmicas 
 Utilizando as propriedades de e , pode-se dizer que: 
 Mudança de Base 
xa
xa log
Aplicando logaritmo natural nos dois lados 
xalog
xa
xa
xa ln)(ln
log 
Aplicando a propriedade: xrxr lnln 
xaxa ln)(lnlog 
a
x
xa
ln
ln
log 
com a > 0 e a ≠ 0 
 Pode-se dizer que toda função logarítmica é um múltiplo constante 
 do logaritmo natural. 
 Assim, as propriedades algébricas de podem ser estendidas 
 para . 
 
xalog
xln
10 
Funções Trigonométricas Inversas 
 Não são injetoras: seus valores se repetem periodicamente 
 (Teste da reta horizontal). 
 Podem se tornar funções injetoras a partir de restrições de 
 domínio. 
Função Domínio Restrito Imagem 
xy sen
xy cos
xy tg
xy cotg
xy sec
xy cosec
),0( 
),( 
),( 
),1[]1,(  
),1[]1,(  
],0[ 
]2/,2/[ 
],2/()2/,0[  
)2/,2/( 
]2/,0()0,2/[  
]1,1[
]1,1[
11 
Funções Trigonométricas Inversas 
 Função arco seno (y = sen-1x ou y = arcsen x) 
  A função arco seno de x é o ângulo no intervalo cujo 
 seno é x. 
]2/,2/[ 
 y = sen-1x é o número no intervalo para o qual sen y = x. 
]2/,2/[ 
Função seno 
Função arco seno 
Domínio: 
Imagem: 
]2/,2/[ 
]1,1[
Domínio: 
Imagem: 
]2/,2/[ 
]1,1[
12 
Funções Trigonométricas Inversas 
 Função arco cosseno (y = cos-1x ou y = arccos x) 
  A função arco cosseno de x é o ângulo no intervalo cujo 
 cosseno é x. 
],0[ 
 y = cos-1x é o número no intervalo para o qual cos y = x. 
Função cosseno 
Função arco cosseno 
Domínio: 
Imagem: ]1,1[
Domínio: 
Imagem: 
]1,1[
],0[ 
],0[ 
],0[ 
13 
Funções Trigonométricas Inversas 
 Demais funções trigonométricas inversas 
 
Função arco secante Função arco cossecante 
Função arco tangente Função arco cotangente 
14 
a. 
b. 
c. 
 
Exercícios 
eln2
15 
 Exercício 1: Encontre uma fórmula para a função inversa de f (x). 
 Exercício 2: Simplifique as expressões a seguir utilizando as 
 propriedades estudadas: 
)3/1(ln)93(ln 2 xxx 
a. b. 
0;1)( 2  xxxf 0;
1
)(
2
 x
x
xf
)ln(ln yxe 