Cálculo 146 - Notas de Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica
Notas de Aula
MAT 146
Bolsistas:Serginei Jose´ do Carmo Liberato
Orientador:Edson Jose´ Teixeira
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
1.1 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tipos de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Bijetora: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exemplos de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Limites e Continuidade 13
2.1 Noc¸a˜o Intuitiva de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Propriedades de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Propriedades dos Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Derivadas 22
3.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Equac¸o˜es das retas tangentes e normal ao gra´fico de uma func¸a˜o f . . . . . . 28
3.3.1 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ii
3.3.2 Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Regras de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 Propriedades da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Derivadas das Func¸o˜es Exponencial e Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7.1 Derivada de uma Func¸a˜o Poteˆncia (Expoente Racional) . . . . . . . . 41
3.8 Derivac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.10 Derivada da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Aplicac¸o˜es de Derivada 49
4.1 Construc¸a˜o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 Concavidade e Pontos de Inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.3 Teste da Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.4 Construc¸a˜o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Taxas de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Otimizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Integrais 75
5.1 Primitiva de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.1 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Tabela de Integrais Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Te´cnicas de Integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3.1 Mudanc¸a de Varia´vel ou Regra da Substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . 80
5.3.2 Integrac¸a˜o por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.3 Substituic¸a˜o Trigonome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.4 Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.5 A substituic¸a˜o u = tan
(
x
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.6 Integrais de Produtos de Seno e Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . 92
iii
5.3.7 Integrais de Poteˆncias de seno e co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.8 Fo´rmulas de Recorreˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Integral Definida 100
6.1 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Aplicac¸o˜es da Integral Definida-A´rea de Regio˜es Planas . . . . . . . . . . . . 103
Refereˆncias Bibliogra´ficas 109
iv
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
1.1 Func¸o˜es
Definic¸a˜o 1.1 Sejam A,B conjuntos na˜o-vazios. Uma func¸a˜o f de A em B, denotada por
f : A → B, e´ uma lei que associa a cada elemento x ∈ A um u´nico elemento y ∈ B,
denotamos y = f(x).
O conjunto A e´ chamado domı´nio, B e´ o contradomı´nio e a imagem de f e´ definido
como
Im(f) = {y ∈ B; y = f(x) para algum x ∈ A}.
x
y
A
Bf
Exemplo 1.1 : Seja f : A → B definida por f(x) = x + 1, onde A = {−1, 0, 2, 3, 7} e
B = {−2, 0, 1, 3, 4, 8} (cuja imagem e´ {0, 1, 3, 4, 8} e A e´ seu domı´nio). Esta situac¸a˜o e´
representada pela figura 1 (neste caso temos uma func¸a˜o), agora as duas figuras seguintes
na˜o representa˜o func¸o˜es, a figura 2 pois um mesmo elemento do domı´nio tem duas imagens,
e a 3 pois existe um elemento do domı´nio que na˜o e´ levado a nenhum elamento do contra-
domı´nio.
1
2 Introduc¸a˜o
-1
A
0
2
3
7
0
1
3
4
8
-2
-4
B1)
-2
A
2
1
0
3
B
2)
1
A
2
3
5
4
B
3)
Definic¸a˜o 1.2 Seja f : A → B uma func¸a˜o. O gra´fico de f e´ o conjunto dos pontos
(x, f(x)) tais que x ∈ A.
Exemplo 1.2 Seja f : [0,+∞) → R dada por f(x) = x2, temos que o gra´fico de f e´ a
figura a seguir
Agora para g : R→ R dada por g(x) = x+ 1 o gra´fico de g e´
Tipos de Func¸o˜es 3
1.1.1 Operac¸o˜es
Sejam f, g : R→ R func¸o˜es, enta˜o definimos as seguintes operac¸o˜es:
(i) (f + g)(x) := f(x) + g(x);
(ii) (f − g)(x) := f(x)− g(x);
(iii) (f · g)(x) := f(x) · g(x);
(iv)
(
f
g
)
(x) := f(x)
g(x)
, desde que g(x) 6= 0;
(v) (k · f)(x) := k · f(x);
Observac¸a˜o 1.1 As operac¸o˜es acima so´ fazem sentido se x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g), e ale´m
disso, o resultado das operac¸o˜es tem de ser um elemento do contradomı´nio.
1.2 Tipos de Func¸o˜es
1.2.1 Injetora
Uma func¸a˜o f : A→ B e´ injetora se para elementos distintos do domı´nio, temos imagens
distintas no contradomı´nio, ou seja, se x1, x2 ∈ A e x1 6= x2, enta˜o f(x1) 6= f(x2). Uma
outra forma, equivalente a anterior, e´ se x1, x2 ∈ A sa˜o tais que f(x1) = f(x2) enta˜o x1 = x2.
Exemplo 1.3 O diagrama da figura abaixo representa uma func¸a˜o que e´ injetora, ou seja,
cada elemento do domı´nio tem um u´nico representante no contra-domı´nio.
Graficamente: Toda reta horizontal intercepta o gra´fico da func¸a˜o no ma´ximo uma vez.
4 Introduc¸a˜o
a
b
c
1
2
3
4
f
Exemplo 1.4 A func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) = x, e´ uma func¸a˜o injetora.
E a func¸a˜o g : R→ R dada por g(x) = x2, na˜o e´ uma func¸a˜o injetora.
1.2.2 Sobrejetora
Uma func¸a˜o f : A → B e´ sobrejetora quando o conjunto imagem coincide com o con-
tradomı´nio, ou seja, Im(f) = B. Na figura abaixo f e´ sobrejetora mas na˜o e´ injetora, e g
na˜o e´ sobrejetora.
Graficamente: Toda reta horizontal intercepta o gra´fico da func¸a˜o em pelo menos umponto.
Exemplo 1.5 A func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) = x3 e´ sobrejetora.
Exemplos de Func¸o˜es 5
a
b
c
1
2
f
a
b
1
2
g
3
1.2.3 Bijetora:
Uma func¸a˜o f : A→ B e´ bijetora quando ela e´ inhetora e sobrejetora.
a
b
c
m
o
f
n
A B
1.3 Exemplos de Func¸o˜es
1. Func¸a˜o de 1◦ grau
Seja f : R→ R dada por f(x) = ax+ b, a 6= 0
Exemplo 1.6 Dada f(x) = 2x + 1, temos Dom(f) = R, Im(f) = R e mais f e´
injetora e sobrejetora.
6 Introduc¸a˜o
y = f(x)
1
1
2
b
b
2. Func¸a˜o de 2◦ grau (Quadra´tica)
Seja f : R→ R dada por f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0
Exemplo 1.7 Dada f(x) = x2 − 1, temos Dom(f) = R, Im(f) = [−1,∞) e fna˜o e´
injetora nem sobrejetora.
y = f(x)
1−1
−1
b b
b
3. Dada f : R→ R dada por f(x) = x3. Temos Dom(f) = R, Im(f) = R e f e´ injetora e
sobrejetora.
Exemplos de Func¸o˜es 7
4. Seja f : R→ R dada por f(x) = |x| (Func¸a˜o Modular).
|x| =

 x se x ≥ 0−x se x < 0
A parte negativa da func¸a˜o ”dentro”do mo´dulo e refletida sobre o eixo x. Para esta
func¸a˜o temos Dom(f) = R, Im(f) = [0,∞) e f na˜o e´ injetora nem sobrejetora.
5. Func¸o˜es Trigonome´tricas Nos 3 exemplos a seguir m = pi e n =
pi
2
(a) Seja a func¸a˜o seno de x dada por f(x) = senx.
Dom(f) = R, Im(f) = [−1, 1]. Na˜o e´ injetora nem sobrejetora.
mn-m
-n
f
b
(b) Seja a func¸a˜o cosseno de x dada por f(x) = cosx.
Dom(f) = R, Im(f) = [−1, 1]. Na˜o e´ injetora nem sobrejetora.
m
n
-m -n
(c) Seja a func¸a˜o tangente de x dada por f(x) = tan x.
Dom(f) = {x ∈ R; x 6= pi
2
+kpi, k ∈ Z}, Im(f) = R. Na˜o e´ injetora mas e´ sobrejetora.
8 Introduc¸a˜o
m
n
-m
-n
b
b
6. Func¸o˜es definidas por partes
Seja f : R→ R dada por
f(x) =


x se x ≤ 0
x2 se 0 < x ≤ 1
−x se x > 1
.
Temos Dom(f) = R, Im(f) = (−∞, 1]. Pela figura abaixo podemos perceber que f
na˜o e´ injetora nem sobrejetora.
b
bc
Exemplos de Func¸o˜es 9
7. Seja f : R→ R dada por f(x) = √x. Assim temosDom(f) = [0,∞), Im(f) = [0,∞),
da´ı f e´ injetora mas na˜o e´ sobrejetora.
8. Dada a func¸a˜o f(x) =
1
x
. Temos f : R∗ → R, Dom(f) = (−∞, 0)∪ (0,∞), Im(f) =
(−∞, 0) ∪ (0,∞), e que f e´ injetora mas na˜o e´ sobrejetora.
9. Func¸a˜o Exponencial
Seja a func¸a˜o f : R→ R, dada por f(x) = ax, a > 0, a 6= 1. Dom(f) = R, Im(f) =
(0,∞). Temos que f e´ injetora, mas na˜o e´ sobrejetora.
a > 1
b
10 Introduc¸a˜o
0 < a < 1
b
1.4 Composic¸a˜o de Func¸o˜es
Definic¸a˜o 1.3 Dadas f : A→ R e g : B → R, com A = Dom(f), Im(f) ⊂ Dom(g) = B,
definimos a func¸a˜o composta, denotada por (g ◦ f), como sendo
(g ◦ f) : Dom(f)→ R
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ Dom(f)
x
f
f(x)
g g(f(x))
Dom(f) Dom(g)
g(f(x))
Im(f)
De maneira ana´loga define-se (f ◦ g).
Exemplo 1.8 Sejam f : R → R dada por f(x) = 2x + 1 e g : [0,∞) → R definida por
g(x) =
√
x. A func¸a˜o composta e´ definida por
g ◦ f :
[
−1
2
,∞
)
→ R
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+ 1) = √2x+ 1.
Observac¸a˜o 1.2 Em geral f ◦ g 6= g ◦ f , podendo ate´ mesmo uma existir e a outra na˜o.
Composic¸a˜o de Func¸o˜es 11
Definic¸a˜o 1.4 Seja f : A → B uma func¸a˜o. Diremos que f e´ invers´ıvel se existir g :
B → A tal que g ◦ f : A → A e f ◦ g : B → B satisfazendo (g ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ A e
(f ◦ g)(y) = y, ∀y ∈ B.
Proposic¸a˜o 1.1 Uma func¸a˜o f : A → B e´ invers´ıvel se, e somente se, f for bijetora.
Neste caso denotamos sua inversa por f−1 : B → A.
Observac¸a˜o 1.3 Sendo f uma func¸a˜o invers´ıvel temos que na maioria das vezes f−1(x) 6=
1
f(x)
. Para verificar este fato tome f : R→ R dada por f(x) = x+ 1, assim temos
g(x) = f−1(x) = x− 1, pois f(g(x)) = (x− 1) + 1 = x e g(x) = (x+ 1)− 1 = x. Por outro
lado, f(x) · h(x) = 1 com h(x) = 1
f(x)
=
1
x+ 1
para x 6= −1. Portanto f−1(x) 6= 1
f(x)
.
Exemplo 1.9 :
1. Ja´ vimos a func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) = ax. Esta func¸a˜o e´ injetora, pore´m na˜o
e´ sobrejetora. Podemos restringir o contradomı´nio desta aplicac¸a˜o de forma torna´-la
sobrejetora, ou seja, f : R→ (0,∞).
Esta func¸a˜o e´ bijetora e consequentemente invers´ıvel. Definimos sua inversa
g : (0,∞)→ R, com
g(y) = loga y, e loga y = x⇔ ax = y (a > 0, a 6= 1).
Graficamente: O gra´fico da func¸a˜o inversa e´ a reflexa˜o em torno da reta y = x do
gra´fico da func¸a˜o direta.
ax lga(x)
Caso Particular: Quando a base da func¸a˜o exponencial e´ e, escrevemos simples-
mente loge x = ln x.
12 Introduc¸a˜o
2. Seja f : R→ R definida por f(x) = senx. Podemos restringir o seu domı´nio e contra-
domı´nio de forma a torna´-la uma func¸a˜o bijetora f :
[
−pi
2
,
pi
2
]
→ [−1, 1]. Desta forma,
existe a inversa f−1 : [−1, 1]→
[
−pi
2
,
pi
2
]
definida por f−1(x) = arcsin x, (n =
pi
2
).
n
-n
1
-1
n
-n
3. De maneira ana´loga podemos definir as demais inversas trigonome´tricas
f1 : [−1, 1]→ [0, pi]; f1(x) = arccos x
f2 : R→
(
−pi
2
,
pi
2
)
; f2(x) = arctan x
f3 : [−∞,−1] ∪ [1,∞)→
[
0,
pi
2
)
∪
(pi
2
, pi
]
; f3(x) = arcsecx
f4 : (−∞,∞)→ [0, pi]; f4(x) = arccotx
f5 : [−∞,−1] ∪ [1,∞)→
[
−pi
2
, 0
)
∪
(
0,
pi
2
]
; f5(x) = arccscx
Cap´ıtulo 2
Limites e Continuidade
2.1 Noc¸a˜o Intuitiva de Limite
Estudaremos o comportamento de uma func¸a˜o f para valores de x pro´ximos de um ponto
p. Consideremos a func¸a˜o
f(x) =

 x+ 1 se x > 0−x+ 1 se x < 0 .
Note que f na˜o esta´ definida para x = 0, assim na˜o podemos calcular f(0). Discutiremos
o comportamento de f nas proximidades de 0, ou seja, calcular f(x) para x pro´ximo de 0
(x 6= 0).
2
4
2−2
b
x -1 -0.5 -0.4 -0.1 -0.09 . . . → 0 ← . . . 0.09 0.1 0.4 0.5 1
f(x) 2 1.5 1.4 1.1 0,01 . . . → 1 ← . . . 0.01 1.1 1.4 1.5 2
13
14 Limites e Continuidade
A medida que x se aproxima de 0 os valores de f(x) se aproximam de 1. Em linguagem
matema´tica escrevemos lim
x→0
f(x) = 1.
Definic¸a˜o 2.1 (Intuitiva) Seja f uma func¸a˜o real. Dizemos que o nu´mero real L e´ o limite
que f quando x tende a a, e escrevemos lim
x→a
f(x) = L, se quando x se aproxima de a, temos
f(x) se aproxima de L.
Observac¸a˜o 2.1 Esta e´ uma definic¸a˜o intuitiva, na˜o sendo desta forma uma definic¸a˜o for-
mal do conceito.
Exemplo 2.1 :
(i) lim
x→1
3 = 3
(ii) lim
x→−1
(3x+ 2) = 1
(iii) lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2
(iv) lim
x→3
1
x− 1 =
1
2
(v) lim
x→2
x− 2√
x−√2 = limx→2
(x− 2)(√x+√2)
(
√
x−√2)(√x+√2) = limx→2(
√
x+
√
2) = 2
√
2
Observac¸a˜o 2.2 O limite quando existe e´ u´nico, ou seja, se ocorrer lim
x→a
f(x) = L e
lim
x→a
f(x) = M, enta˜o L = M .
Se lim
x→a
f(x) = +∞ ou lim
x→a
f(x) = −∞ enta˜o na˜o existe lim
x→a
f(x).
2.2 Limites Laterais
Seja f : R→ R definida por
f(x) =

 1 se x ≥ 0−1 se x < 0 .
Discutiremos o comportamento dessa func¸a˜o nas proximidades do ponto x = 0. Observe-
mos que ao tomarmos valores pro´ximos de x = 0, pore´m positivos, teremos que a func¸a˜o
assume sempre o valor 1. Se tomarmos valores pro´ximos de x = 0, pore´m negativos, teremos
que a func¸a˜o assume sempre o valor −1.
Limites Laterais 15
Definic¸a˜o 2.2 (Intuitiva) Sejam f uma func¸a˜o e a ∈ R. Se tomarmos valores de x cada
vez mais pro´ximos de a, maiores que a, os valores de f(x) se aproximarem cada vez mais
do nu´mero real L, diremos que o limite lateral a` direita de f quando x tende a a e´ L.
Escrevemos
lim
x→a+
f(x) = L.
Analogamente, se tomarmos valores de x cada vez mais pro´ximos de a, menores que a, os
valores de f(x) se aproximarem cada vez mais do nu´mero real M, diremos que o limite
lateral a` esquerda de f quando x tende a a e´ M. Escrevemos
lim
x→a−f(x) = M.
Observac¸a˜o 2.3 O ponto a ∈ R na˜o precisa pertencer ao domı´nio da func¸a˜o f para que o
limite exista.
Exemplo 2.2 Seja f : R→ R definida por
f(x) =


2x+ 3 se x < 0
x2 se 0 ≤ x < 1
1 se x ≥ 1
• lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x2 = 0
• lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(2x+ 3) = 3
• lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
1 = 1
• lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 = 1
Exemplo 2.3 Seja f : R− {0} → R dada por f(x) = |x|
x
, assim temos
• lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
(−1) = −1
• lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1
Exemplo 2.4 Seja f : R− {1} → R dada por f(x) = x2−1
x−1 , assim temos
• lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = limx→1−(x+ 1) = 2
16 Limites e Continuidade
• lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = limx→1+(x+ 1) = 2
Exemplo 2.5 Seja f : R− {0} → R dada por f(x) = 1
x
, assim temos
• lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
1
x
= −∞
• lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
1
x
= +∞
Note que nenhum dos dois limites laterais existem.
Observac¸a˜o 2.4 O limite de f(x) quando x tende para a existe e vale L se, e somente se,
lim
x→a−
f(x) = L = lim
x→a+
f(x). Se lim
x→a−
f(x) 6= lim
x→a+
f(x), dizemos que lim
x→a
f(x) na˜o existe.
2.2.1 Propriedades de Limites
Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M , enta˜o:
• lim
x→a
[f(x)± g(x)] = lim
x→a
f(x)± lim
x→a
g(x) = L±M .
• lim
x→a
[f(x)g(x)] = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x) = LM .
• lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
=
L
M
, quando M 6= 0.
• lim
x→a
cf(x) = c lim
x→a
f(x) = cL.
Exemplo 2.6
(i) lim
x→4
(
√
x+ x2) = lim
x→4
√
x+ lim
x→4
x2 = 2 + 16 = 18.
(ii) lim
x→pi
2
xsen(x) = lim
x→pi
2
x lim
x→pi
2
sen(x) =
pi
2
· 1 = pi
2
.
(iii) lim
x→0
ex
x+ 1
=
lim
x→0
ex
lim
x→0
(x+ 1)
=
1
1
= 1.
(iv) lim
x→8
5 3
√
x = 5 lim
x→8
3
√
x = 5 · 2 = 10.
Limites Infinitos 17
2.3 Limites Infinitos
Estudaremos o comportamento de func¸o˜es que aumentam ou diminuem indefinidamente
quando os valores de x se aproximam de um determinado nu´mero fixo. Consideremos a
func¸a˜o f : R− {0} → R definida por f(x) = 1
x
. Vamos calcular os valores de f(x) para os
valores pro´ximos de 0.
x, x > 0 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . . .
f(x) 1 2 10 100 1000 . . .
x, x < 0 -1 -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 . . .
f(x) -1 -2 -10 -100 -1000 . . .
Observando as tabelas vemos que ao aproximarmos de 0 por valores positivos de x, os valores
de f(x) crescem cada vez mais, ou seja, indefinidamente. Analogamente ao aproximarmos
de 0 por valores negativos de x, os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes, pore´m
negativos. Nestes casos escrevemos:
lim
x→0+
f(x) = +∞ e lim
x→0−
f(x) = −∞.
Definic¸a˜o 2.3 (Intuitiva) Seja f uma func¸a˜o definida a ambos os lados de a, exceto pos-
sivelmente no pro´prio a. Escrevemos
lim
x→a
f(x) = +∞
para expressar que podemos fazer os valores de f(x) crescerem indefinidamente tomando
valores de x cada vez mais pro´ximos de a. De maneira ana´loga escrevemos
lim
x→a
f(x) = −∞
para expressar que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes, pore´m
negativos, tomando valores de x cada vez mais pro´ximos de a.
Observac¸a˜o 2.5 O mesmo vale para os limites laterais.
Exemplo 2.7
18 Limites e Continuidade
(i) lim
x→0
1
x2
= +∞ e lim
x→0
− 1
x2
= −∞.
(ii) lim
x→0+
1
x
= +∞ e lim
x→0−
1
x
= −∞.
(iii) Podemos concluir que lim
x→0+
1
xm
= +∞, m ∈ N. E ainda mais,
lim
x→0−
1
xn
= +∞;n par e lim
x→0−
1
xn
= −∞;n ı´mpar, com n ∈ N.
2.3.1 Propriedades dos Limites Infinitos
lim f(x) lim g(x) h(x) = limh(x) Simbolicamente
01 ±∞ ±∞ f(x) + g(x) ±∞ ±∞±∞ = ±∞
02 +∞ +∞ f(x)− g(x) ? (+∞)− (+∞) e´ indeterminac¸a˜o
03 +∞ k f(x) + g(x) +∞ +∞+ k = +∞
04 −∞ k f(x) + g(x) −∞ −∞+ k = −∞
05 +∞ +∞ f(x) · g(x) +∞ (+∞) · (+∞) = +∞
06 +∞ −∞ f(x) · g(x) −∞ (+∞) · (−∞) = −∞
07 +∞ k > 0 f(x) · g(x) +∞ +∞ · k = +∞, k > 0
08 +∞ k < 0 f(x) · g(x) −∞ +∞ · k = −∞, k < 0
09 ±∞ 0 f(x) · g(x) ±∞ ±∞ · 0 e´ indeterminac¸a˜o
10 k ±∞ f(x)/g(x) 0 k/±∞ = 0
11 ±∞ ±∞ f(x)/g(x) ? ±∞/±∞ e´ indeterminac¸a˜o
12 k > 0 0+ f(x)/g(x) +∞ k/0+ = +∞, k > 0
13 +∞ 0+ f(x)/g(x) +∞ +∞/0+ = +∞
14 k > 0 0− f(x)/g(x) −∞ k/0− = −∞, k > 0
15 +∞ 0− f(x)/g(x) −∞ +∞/0− = −∞
16 0 0 f(x)/g(x) ? 0/0 e´ indeterminac¸a˜o
Exemplo 2.8
(i) lim
x→1−
x3 − 1
(x2 − 2x+ 1) = limx→1−
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1)2 = limx→1−
x2 + x+ 1
(x− 1) = −∞.
(ii) lim
x→2+
x2 + 3x
(x2 − 4) = limx→2+
x2 + 3x
(x− 2)(x+ 2) = limx→2+
1
(x− 2)
x2 + 3x
x+ 2
= +∞, pois
Limites Infinitos 19
lim
x→2+
1
(x− 2) = +∞ e limx→2+
x2 + 3x
x+ 2
=
5
2
.
(iii) lim
x→2+
3
(x− 2)2 = +∞ e limx→2−
3
(x− 2)2 = +∞.
(iv) lim
x→pi
2
+
tan x = lim
x→pi
2
+
senx
cosx
= +∞, pois lim
x→pi
2
+
senx = 1 e lim
x→pi
2
+
cos x = 0. Ainda temos
lim
x→pi
2
−
tanx = lim
x→pi
2
−
senx
cosx
= −∞, pois lim
x→pi
2
−
senx = 1 e lim
x→pi
2
−
cos x = 0.
2.3.2 Limites no Infinito
Vamos analisar o comportamento de uma func¸a˜o real f quando os valores de x do domı´nio
ficam arbitrariamente grandes. Para isso consideremos a func¸a˜o f dada por: f(x) = 1
x
.
x -1 -2 -3 -4 -10 -100 . . .→ 0 ← . . . 100 10 4 3 2 1
f(x) -1 −1
2
−1
3
−1
4
-0.1 -0.01 . . .→ 1 ← . . . 0.01 0.1 1
4
1
3
1
2
1
Observando a tabela anterior vemos que quando os valores de x ficam arbitrariamente
grandes, tanto positivos quanto negativos, os valores de f(x) ficam cada vez mais pro´ximos
de zero. Isto pode ser escrito da seguinte forma:
lim
x→+∞
f(x) = 0 e lim
x→−∞
f(x) = 0
Definic¸a˜o 2.4 (Intuitiva)
• Seja f uma func¸a˜o definida em algum intervalo (0,+∞). Enta˜o
lim
x→+∞
f(x) = L
significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente pro´ximos de L tomando x
suficientes grandes.
• Seja f uma func¸a˜o definida em algum intervalo (−∞, 0). Enta˜o
lim
x→−∞
f(x) = L
significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente pro´ximos de L tomando x
suficientes grandes em valor absoluto, mas negativo.
20 Limites e Continuidade
Teorema 2.1 Se n e´ um nu´mero natural, enta˜o:
• lim
x→+∞
1
xn
= 0.
• lim
x→−∞
1
xn
= 0.
Observac¸a˜o 2.6 Se lim
x→+∞
f(x) = L1, lim
x→−∞
f(x) = L2, lim
x→+∞
f(x) = M1 e lim
x→−∞
f(x) =
M2, enta˜o as propriedades de limite apresentadas para x→ a continuam sendo va´lidas.
Exemplo 2.9
(i) lim
x→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x+ 1
= lim
x→+∞
x5
(
1 + 1
x
+ 1
x5
)
x5
(
2 + 1
x4
+ 1
x5
) = lim
x→+∞
(
1 + 1
x
+ 1
x5
)(
2 + 1
x4
+ 1
x5
) = 1
2
.
(ii) lim
x→−∞
2x− 5
x+ 8
= lim
x→−∞
x
(
2− 5
x
)
x
(
1 + 8
x
) = lim
x→−∞
(
2− 5
x
)(
1 + 8
x
) = 2
1
= 2.
(iii) lim
x→+∞
x2
x+ 1
= lim
x→+∞
x2
x2
(
1
x
+
1
x2
) = lim
x→+∞
1(
1
x
+
1
x2
) = +∞.
Observac¸a˜o 2.7 A estrate´gia para calcular limites no infinito de uma func¸a˜o racional con-
siste em colocar em evideˆncia a mais alta poteˆncia de x no denominador e no numerador.
2.3.3 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
Definic¸a˜o 2.5
• A reta y = L e´ chamada ass´ıntota horizontal da curva y = f(x) se lim
x→+∞
f(x) = L
ou lim
x→−∞
f(x) = L.
• A reta x = a e´ chamada ass´ıntota vertical da curva y = f(x) se lim
x→a−
f(x) = +∞
ou lim
x→a−
f(x) = −∞ ou lim
x→a+
f(x) = +∞ ou lim
x→a+
f(x) = −∞.
Exemplo 2.10 Determine as ass´ıntotashorizontais de f(x) =
√
2x2 + 1
3x+ 5
.
Limites Infinitos 21
Soluc¸a˜o: Consideremos x→ +∞, enta˜o x > 0.
lim
x→+∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
= lim
x→+∞
√
x2
(
2 +
1
x2
)
x
(
3 +
5
x
) = lim
x→+∞
|x|
√(
2 +
1
x2
)
x
(
3 +
5
x
) = lim
x→+∞
√(
2 +
1
x2
)
(
3 +
5
x
)
=
√
2
3
.
Agora, consideremos x→ −∞, enta˜o x < 0.
lim
x→−∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
= lim
x→−∞
√
x2
(
2 +
1
x2
)
x
(
3 +
5
x
) = lim
x→−∞
|x|
√(
2 +
1
x2
)
x
(
3 +
5
x
) = lim
x→−∞
−
√(
2 +
1
x2
)
(
3 +
5
x
)
= −
√
2
3
.
Logo, a reta y =
√
2
3
e´ ass´ıntota para x→ +∞ e y = −
√
2
3
e´ ass´ıntota para x→ −∞.
Exemplo 2.11 x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f(x) =
1
x
, pois lim
x→+∞
1
x
= 0 e lim
x→−∞
1
x
= 0.
Cap´ıtulo 3
Derivadas
3.1 Motivac¸a˜o
Suponhamos que uma part´ıcula se movimente sobre uma reta e que nos instantes t0, t
esteja nas posic¸o˜es f(t0), f(t) respectivamente. Podemos calcular a velocidade me´dia desta
part´ıcula neste intervalo de tempo, [t0, t] por
velocidade me´dia =
∆d
∆t
=
f(t)− f(t0)
t− t0 ,
onde ∆d = variac¸a˜o da distaˆncia percorrida e ∆t = variac¸a˜o do tempo decorrido.
Esta velocidade me´dia na˜o nos diz nada a respeito sobre a velocidade da part´ıcula no
instante t0. Para obtermos a velocidade instantaˆnea do corpo no tempo t0, calculamos a
velocidade me´dia do corpo em espac¸os de tempo cada vez menores, ou seja, t pro´ximo de
t0. Desta forma, queremos estudar a func¸a˜o velocidade me´dia para pontos ”pro´ximos”de t0
e obtemos a velocidade instantaˆnea em t0 por
v(t0) = lim
t→t0
f(t)− f(t0)
t− t0 .
Se construirmos o gra´fico de f , teremos que a velocidade me´dia do corpo no intervalo
[t0, t] e´ a inclinac¸a˜o (ou coeficiente angular da reta que liga os pontos (t0, f(to)) e (t, f(t))),
ou seja, mt =
f(t)− f(t0)
t− t0 . Uma vez que a velocidade instaˆntanea em t0 e´ dada por
lim
t→t0
f(t)− f(t0)
t− t0 ,
22
Motivac¸a˜o 23
quando t → t0, o ponto (t, f(t)) se aproxima do ponto (t0, f(t0)), ou seja, quando t → t0
a reta ligando (t, f(t)) e (t0, f(t0)) se aproxima da reta tangente ao gra´fico de f no ponto
t0. Portanto, a velocidade instaˆntanea no ponto t0 e´ a inclinac¸a˜o (ou coeficiente angular) da
reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f .
De maneira ana´loga, temos que a acelerac¸a˜o me´dia em [t, t0] e´ dada por
am =
v(t)− v(t0)
t− t0 ,
e a acelerac¸a˜o instaˆntanea e´
a(t0) = lim
t→t0
v(t)− v(t0)
t− t0 ,
que e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o v no ponto t0.
Exemplo 3.1 Um objeto se movimenta em linha reta, sendo que a sua posic¸a˜o em um
instante de tempo t e´ dado por f(t) = t3 − 1. Determine
(a) a velocidade me´dia do objeto no intervalo de tempo [1, 2]
(b) A velocidade do objeto no instante t = 1
(c) A acelerac¸a˜o me´dia em [1, 2]
(d) A acelerac¸a˜o instaˆntanea em t = 1
Soluc¸a˜o:
(a) vm =
f(t)− f(t0)
t− t0 =
f(2)− f(1)
2− 1 =
(23 − 1)− (13 − 1)
2− 1 =
7
1
= 7 u.v.
(b)
v(t0) = lim
t→t0
f(t)− f(t0)
t− t0 = limt→t0
f(t)− f(t0)
t− t0 = limt→t0
(t3 − 1)− (t30 − 1)
t− t0 = limt→t0
t3 − t30
t− t0
= lim
t→t0
(t2 + tt0 + t
2
0)(t− t0)
(t− t0) = limt→t0(t
2 + tt0 + t
2
0)
= t20 + t
2
0 + t
2
0 = 3t
2
0.
Fazendo t0 = 1 temos v(1) = 3 · 12 = 3 u.v.
(c) am =
v(t)− v(t0)
t− t0 =
v(2)− v(1)
2− 1 =
(3 · 22)− (3 · 12)
1
= 3 · 4− 3 · 1 = 12− 3 = 9 u.a.
24 Derivadas
(d)
a(t0) = lim
t→t0
v(t)− v(t0)
t− t0 = limt→t0
3t2 − 3t20
t− t0 = limt→t0
3(t2 − t20)
(t− t0) = limt→t0 3 ·
(t− t0)(t+ t0)
t− t0
= lim
t→t0
3 · (t+ t0) = 3 · 2t0 = 6t0.
Fazendo t = 1 temos a(1) = 6 · 1 = 6 u.a.
Observac¸a˜o 3.1 A velocidade me´dia representa a` variac¸a˜o da posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo,
desta forma a velocidade instaˆntanea representa a variac¸a˜o da posic¸a˜o no instante t0.
3.2 Derivadas
Definic¸a˜o 3.1 Sejam f uma func¸a˜o e x0 um ponto de seu domı´nio, a func¸a˜o f e´ deriva´vel
ou diferencia´vel em em x0 se
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
existe e e´ finito. Tal limite e´ indicado por f ′(x0) (leˆ-se f linha de x0), e e´ chamada derivada
de f em x0, ou seja,
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 .
Observac¸a˜o 3.2 Ao fizermos x− x0 = h no limite acima podemos reescreveˆ-lo da seguinte
forma equivalente
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Assim
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ou f
′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
pois x = x0+h e x−x0 = h, temos que quando x se aproxima de x0, h se aproxima de zero.
Observac¸a˜o 3.3 Outras notac¸o˜es de derivadas:
• Dxf(x) (leˆ-se derivada de f(x) em relac¸a˜o a x).
Derivadas 25
• dy
dx
(leˆ-se a derivada de y em relac¸a˜o a x).
Observac¸a˜o 3.4 A derivada de f em um ponto x0, quando existe, representa a variac¸a˜o
instaˆntanea de f no ponto x0, ou mais ainda, f
′(x0) representa a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o
f no ponto x0. Graficamente, f
′(x0) representa a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da
func¸a˜o f no ponto (x0, f(x0)).
Exemplo 3.2 Seja f(x) = x2. Calcule
(a)f ′(1)
(b)f ′(x)
(c)f ′(−3)
Soluc¸a˜o:
(a)
f ′(1) = lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2.
(b)
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2)− x2
h
= lim
h→0
2xh+ h2
h
= lim
h→0
2x+ h = 2x.
Observe que f ′(x) = 2x e´ uma fo´rmula que nos fornece a derivada de f(x) = x2, em
todo x real.
(c) De (b) segue que f ′(−3) = 2 · (−3) = −6.
Exemplo 3.3 Seja f(x) =
√
x. Calcule f ′(2).
Soluc¸a˜o:
f ′(2) = lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2 = limx→2
√
x−√2
x− 2 = limx→2
√
x−√2
(
√
x−√2)(√x+√2)
= lim
x→2
1√
x+
√
2
=
1
2
√
2
.
26 Derivadas
Portanto f ′(2) =
1
2
√
2
.
Exemplo 3.4 Seja f : R→ R\{2} dada porf(x) = 1
x− 2 . Determine f
′(0) e f ′(−1).
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
1
x+ h− 2 −
1
x− 2
h
= lim
h→0
(x− 2)− (x+ h− 2)
(x+ h− 2)(x− 2)
h
= lim
h→0
−h
h(x+ h− 2)(x− 2) =
−1
(x− 2)2
Da´ı f ′(0) =
−1
(0− 2)2 =
−1
4
e f ′(−1) = −1
(−1− 2)2 =
−1
9
.
Exemplo 3.5 Seja f : R→ R dada por f(x) = x2 + 1. Encontre f ′(x0) para qualquer x0.
Soluc¸a˜o:
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
h→0
((x0 + h)
2 − 1)− (x20 − 1)
h
= lim
h→0
(x20 + 2x0h + h
2 − 1)− x20 + 1
h
= lim
h→0
2x0h + h
2
h
= lim
h→0
h(2x0 + h)
h
= lim
h→0
(2x0 + h) = 2x0.
Exemplo 3.6 Seja f : R → R dada por f(x) =

 3x− 1 se x < 27− x se x ≥ 2 . Esta func¸a˜o e´
deriva´vel em x = 2? Cont´ınua em x = 2?
Soluc¸a˜o: Para verficarmos se f e´ deriva´vel, temos que verficar a existeˆncia dos limites
laterais de em torno do ponto 2.
lim
h→2+
f(x)− f(2)
x− 2 = limh→2+
3x− 1− 5
x− 2 = limh→2+
3(x− 2)
(x− 2) = limh→2+ 3 = 3
e
lim
h→2−
f(x)− f(2)
x− 2 = limh→2−
7− x− 5
x− 2 = limh→2+
−(x− 2)
(x− 2) = limh→2−−1 = −1
Derivadas 27
Como os limites sa˜o diferentes temos que f na˜o e´ deriva´vel em x = 2. Verificaremmos
agora se f e´ cont´ınua em x = 2, para isso vamos calcular os limite laterais de f no ponto
em tal ponto.
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(3x− 1) = 5 e lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(7− x) = 5
Como os limite laterais sa˜o iguais temos que f e´ cont´ınua em x = 2.
Exemplo 3.7 Seja f : R→ R dada por f(x) = 3√x. Calcule, se existir, f ′(x0) em um ponto
arbitra´rio do domı´nio.
Soluc¸a˜o:
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
h→03
√
(x0 + h)− 3√x0
h
= lim
h→0
(
3
√
(x0 + h)− 3√x0
) [
3
√
(x0 + h)
2
+ 3
√
(x0 + h)
3
√
(x0) +
3
√
(x0)
2
]
h
[
3
√
(x0 + h)
2
+ 3
√
(x0 + h)
(
3
√
(x0) +
3
√
(x0)
2
)]
= lim
h→0
[
3
√
(x0 + h)
3 − 3
√
(x0)
3
]
h
[
3
√
(x0 + h)
2
+ 3
√
(x0 + h)
3
√
(x0) +
3
√
(x0)
2
]
= lim
h→0
x0 + h− x0
h
[
3
√
(x0 + h)
2
+ 3
√
(x0 + h)
3
√
(x0) +
3
√
(x0)
2
]
= lim
h→0
h
h
[
3
√
(x0 + h)
2
+ 3
√
(x0 + h)
3
√
(x0) +
3
√
(x0)
2
]
= lim
h→0
1[
3
√
(x0 + h)
2
+ 3
√
(x0 + h)
3
√
(x0) +
3
√
(x0)
2
]
=
1[
3
√
(x0 + 0)
2
+ 3
√
(x0 + 0)
3
√
(x0) +
3
√
(x0)
2
]
=
1
3
√
x0
2 + 3
√
x0
2 + 3
√
x0
2 =
1
3 3
√
x0
2 .
Exemplo 3.8 Caso exista, calcule f ′(0) para f(x) =

 x
3 se x ≥ 0
−x3 se x < 0
.
28 Derivadas
Soluc¸a˜o: Vamos calcular as derivadas a` direita e a` esquerda de f em x = 0
lim
h→0+
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
h3 − 0
h
= lim
h→0+
h3
h
= lim
h→0+
h2 = 0
e
lim
h→0−
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0−
−h3 − 0
h
= lim
h→0−
−h3
h
= lim
h→0−
(−h2) = 0
como as derivadas laterais existem e sa˜o iguais temos que f e´ deriva´vel em 0.
Exemplo 3.9 Seja f : R→ R dada por f(x) = |x|, f e´ deriva´vel em x = 0?
Soluc¸a˜o: Calculemos as derivadas laterais a` direita e a` esquerda:
lim
h→0+
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0+
|h|
h
= lim
h→0+
h
h
= lim
h→0+
1 = 1
e
lim
h→0−
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0−
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0−
|h|
h
= lim
h→0−
−h
h
= lim
h→0−
−1 = −1,
portanto f na˜o e´ deriva´vel em 0, pois f ′(0) na˜o existe.
3.3 Equac¸o˜es das retas tangentes e normal ao gra´fico
de uma func¸a˜o f
3.3.1 Reta Tangente
Definic¸a˜o 3.2 Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o diferencia´vel em um ponto x0 ∈ (a, b). Temos
que f ′(x0) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)). Assim, a
equac¸a˜o dada reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) e´ dada por
(y − f(x0)) = f ′(x0)(x− x0),
pois a equac¸a˜o de uma reta passando pelo ponto (x0, y0) e coeficiente angular m dado por
(y − y0) = m(x− x0).
Equac¸o˜es das retas tangentes e normal ao gra´fico de uma func¸a˜o f 29
Exemplo 3.10 Seja f : [0,∞) → R dada por f(x) = √x. Encontre a equac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico de f em x = 1.
Soluc¸a˜o: O ponto da curva f(x) = y =
√
x cuja abcissa e´ 1 e´ (x0, f(x0)) = (1,
√
1) = (1, 1),
precisamos agora definir o coeficiente angular da reta encontrando f ′(1).
f ′(1) = lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
√
1 + h− 1
h
= lim
h→0
(
√
1 + h− 1)(√1 + h+ 1)
h(
√
1 + h+ 1)
= lim
h→0
1 + h− 1
h(
√
1 + h+ 1)
= lim
h→0
h
h(
√
1 + h+ 1)
= lim
h→0
1√
1 + h + 1
=
1
2
.
Assim a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
(y − f(x0)) = f ′(x0)(x− x0)⇒ (y − 1) = 1
2
(x− 1)⇒ y = 1
2
x+
1
2
.
Exemplo 3.11 Seja f : R\0→ R dada por f(x) = 3
x
. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f em x = 2.
Soluc¸a˜o: De forma ana´loga ao exerc´ıcio anterior temos (x0, f(x0)) =
(
2,
3
2
)
, e determinare-
mos f ′(2).
f ′(2) = lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
3
2 + h
− 3
2
h
= lim
h→0
6− 6− 3h
h(2 + h)
h
= lim
h→0
−3h
2(2 + h)
h
= lim
h→0
−3h
h [2(2 + h)]
= lim
h→0
−3
2(2 + h)
= −3
4
.
Assim, (y−f(x0)) = f ′(x0)(x−x0) desta forma
(
y − 3
2
)
=
−3
4
(x−2) e portanto y = −3
4
x+3
e´ a equac¸a˜o da reta tangente a y =
3
x
.
3.3.2 Reta Normal
Definic¸a˜o 3.3 Seja f uma func¸a˜o deriva´vel em um ponto x0. A reta normal ao gra´fico de
f no ponto (x0, f(x0)) e´ a reta perpendicular a reta tangente neste ponto.
30 Derivadas
Lembrando que se duas retas, com coeficientes angulares m e m′, sa˜o perpendiculares enta˜o
m ·m′ = −1⇒ m′ = − 1
m
.
Assim, se f ′(x0) 6= 0, a equac¸a˜o da reta normal a y = f(x) em (x0, f(x0)) e´
y − y0 = −1
f ′(x0)
(x− x0).
Observac¸a˜o 3.5 Se uma reta e´ horizontal, ou seja, y = 0x + n, temos que a reta vertical
x = a e´ perpendicular a` reta horizontal. Podemos enta˜o determinar a reta normal ao gra´fico
de f em cada um dos exemplos anteriores.
Exemplo 3.12 Qual e´ a equac¸a˜o reta t que tangencia a para´bola y = x2 no ponto (−1, 1)?
Qual a equac¸a˜o da reta r, normal a para´bola neste ponto?
Soluc¸a˜o: Sabemos, do exemplo 3.2, que f ′(x) = 2x. Da´ı
mt = f
′(−1) = −2,
onde mt e´ o coeficiente angular da reta tangente em x = −1. Assim, a equac¸a˜o da reta t e´:
y − 1 = −2(x− (−1)) da´ı y = −2x− 1. Logo, a reta r tem equac¸a˜o
y − 1 = − 1
(−2)(x− (−1)) portanto y =
1
2
x+
3
2
.
Exemplo 3.13 Seja f : [0,∞) → R dada por f(x) = √x, determine a equac¸a˜o da reta
normal a f em x = 1.
Soluc¸a˜o: Do exemplo 3.10 temos que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e´ dada por
y =
1
2
x+
1
2
Como o coeficiente dessa reta e´
1
2
temos que o coeficiente da reta normal e´ m · 1
2
= −1 ⇒
m = −2. Dessa forma a equac¸a˜o da reta normal e´
y − 1 = −2(x− 1) logo y = −2x+ 3.
Regras de Derivac¸a˜o 31
Exemplo 3.14 Seja f : R\0→ R dada por f(x) = 3
x
. Determine a equac¸a˜o da reta normal
ao gra´fico de f em x = 2.
Soluc¸a˜o: Do exemplo 3.11 temos que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e´ dada por
y = −3
4
x+ 3
Como o coeficiente dessa reta e´ −3
4
temos que o coeficiente da reta normal e´
m ·
(
−3
4
)
= −1 da´ı m = 4
3
. Dessa forma a equac¸a˜o da reta normal e´
y − 3
2
=
4
3
(x− 2) logo y = 4
3
x− 7
6
.
3.4 Regras de Derivac¸a˜o
Apresentaremos agora algumas regras de derivac¸a˜o para somas, produtos e quocientes de
func¸o˜es deriva´veis.
3.4.1 Propriedades da Derivada
Sejam f, g func¸o˜es deriva´veis em um ponto x0 e seja k uma constante real. Enta˜o as func¸o˜es
f ± g, kf, f · g sa˜o deriva´veis em x0. Se ale´m disso, g(x0) 6= 0, enta˜o o quociente f
g
tambe´m
e´ deriva´vel em x0 e valem as seguintes regras:
(i) (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g′(x0)
(ii) (kf)′(x0) = kf
′(x0)
(iii) (f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)
(iv)
(
f
g
)′
(x0) =
g(x0)f
′(x0)− f(x0)g′(x0)
[g(x0)]2
A prova destas propriedades sera´ omitida, mas pode ser encontrada em [2]. Antes de exem-
plificar tais propriedades, calcularemos a derivada de algumas func¸o˜es espec´ıficas.
32 Derivadas
Exemplo 3.15 Seja f : R→ R dada por f(x) = k (constante). Vamos calcular a derivada
f ′(x) em um ponto x qualquer do domı´nio. Lembrando que uma func¸a˜o f e´ deriva´vel em x0
quando existe o limite
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
e neste caso tal limite e´ f ′(x0). Vamos enta˜o ao ca´lculo da func¸a˜o constante em um ponto
x qualquer do domı´nio
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
k − k
h
= lim
h→0
0
h
= lim
h→0
0 = 0.
Logo, como o limite existe em um ponto x, temos f ′(x) = 0, ou seja, a derivada da func¸a˜o
constante e´ zero em qualquer ponto.
Exemplo 3.16 Seja f : R→ R dada por f(x) = xn, n ∈ N. Assim temos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)n − xn
h
Se n e´ um nu´mero inteiro positivo, podemos desenvolver (x + h)n pelo teorema binomial,
obtendo
f ′(x) = lim
h→0
[xn + nxn−1h +
n(n− 2)
2!
xn−2h2 + ...+ nxhn−1 + hn]− xn
h
= lim
h→0
[xn + nxn−1h+
n(n− 2)
2!
xn−2h2 + ...+ nxhn−1 + hn] = nxn−1.
Se n e´ negativo e x 6= 0, podemos enta˜o fazer n = −k, k positivo. Assim
f ′(x) = lim
h→0
(x+ h)−k − x−k
h
= lim
h→0
xk − (x+ h)k
h(x+ h)kxk
Novamente o teorema binomial para desenvolver(x+ h)k, simplificando e tomando o limite,
obtemos
f ′(x) = −kx−k−1 = nxn−1.
Observac¸a˜o 3.6 Tendo conhecimento destas regras de derivac¸a˜o, somos capazes de derivar
qualquer func¸a˜o racional f , ou seja, f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios com
coeficientes reais.
Regras de Derivac¸a˜o 33
Nos exemplos a seguir mostraremos como aplicar diretamente as regras de derivac¸a˜o
acima.
Exemplo 3.17 Seja f : R → R dada por f(x) = x2. No exemplo 3.2 ja´ calculamos tal
derivada por definic¸a˜o. Agora vamos calcular esta mesma derivada usando as regras de
derivac¸a˜o, ou seja, se f(x) = x2 enta˜o f ′(x) = 2x(2−1) = 2x. Portanto f ′(1) = 2 · 1 = 2,
assim como no exemplo 3.2.
Exemplo 3.18 Seja f : R → R definida por f(x) = 3x4 + 5x + 3. Derivemos tal func¸a˜o
usando as regras de derivac¸a˜o. Neste caso usando a notac¸a˜o
df
dx
(x) inve´s de f ′(x), assim
temos:
f ′(x) =
df
dx
(x) =
d
dx
(3x4 + 5x+ 3)
(i)
=
d
dx
(3x4) +
d
dx
(fx) +
d
dx
(3)
(ii)
= 3 · d
dx
(x4) + 5 · d
dx
(x) +
d
dx
(3)
= 3 · 4x3 + 5 · 1 + 0 = 12x3 + 5.
Em (i) usamos que a derivada da soma e´ a soma das derivadas, e em (ii) que a derivada
de uma func¸a˜o multiplicada por uma constante e´ a constante multiplicada pela derivada da
func¸a˜o.
Exemplo 3.19 Seja f : R → R definida por f(x) = x3. Utilizando as regras de derivac¸a˜o
encontramos f ′(x) = 3x2. Desta forma para encontrarmos a derivada em um ponto devemos
apenas substituir o ponto na expressa˜o de f ′(x). Assim,
f ′(0) = 3 · 02 = 0 f ′(−1) = 3 · (−1)2 = 3 f ′(1) = 3 · (1)2 = 3
f ′(2) = 3 · 22 = 12 f ′
(−1
2
)
= 3 ·
(−1
2
)2
=
3
4
Exemplo 3.20 Seja f :→ R definida por h(x) = 1
x
. Temos que h e´ o quociente de duas
func¸o˜es f(x) = 1 e g(x) = x, onde o denominador se anula em x = 0. Como o numerador
e o denominador sa˜o deriva´veis, podemos usar a propriedade da derivada do quociente na
func¸a˜o deriva´vel h(x) =
f(x)
g(x)
, para x 6= 0. Assim
h′(x) =
(
f
g
)′
(x) =
g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
=
x · 0− 1 · 1
x2
= − 1
x2
Portanto se h(x) =
1
x
enta˜o h′(x) = − 1
x2
.
34 Derivadas
Exemplo 3.21 Seja f : R\0→ R definida por h(x) = 1
xn
. De maneira ana´loga ao exemplo
anterior, temos que para x 6= 0:
h′(x) =
(
f
g
)′
(x) =
g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
=
xn · 0− 1 · nxn−1
(xn)2
= −nx
n−1
x2n
= −nx(n−1)−(2n) = −nx−n−1
Desta forma se se h(x) =
1
xn
= x−n enta˜o h′(x) = −nx−n−1(x 6= 0).
Observac¸a˜o 3.7 Note que se f(x) = xn enta˜o f ′(x) = nxn−1 e se f(x) = x−n(x 6= 0)
enta˜o f ′(x) = −nx−n−1. Sendo assim, a derivada de uma func¸a˜o da forma f(x) = xm tem
a mesma regra de derivac¸a˜o independente do sinal do expoente, sendo preciso apenas ter o
cuidado que a func¸a˜o na˜o esta definida em x = 0.
Exemplo 3.22 Seja f : R\0 → R dada por f(x) = 1
x5
que e´ equivalente a escrever
f(x) = x−5, pela regra de derivac¸a˜o do exerc´ıcio anterior temos
f ′(x) = −5x−5−1 = −5x−6 = − 5
x6
.
Exemplo 3.23 Seja f : R\2 → R dada por f(x) = x
2 − 3
x2 − 4x+ 4 . Aplicando a regra de
derivac¸a˜o do quociente temos
f ′(x) =
(x2 − 4x+ 4)(x2 − 3)′ − (x2 − 3)(x2 − 4x+ 4)′
(x2 − 4x+ 4)2
=
(x2 − 4x+ 4)2x− (x2 − 3)(2x− 4)
(x− 2)4 =
2x3 − 8x2 + 8x− (2x3 − 4x2 − 6x+ 12)
(x− 2)4
=
2x3 − 8x2 + 8x− 2x3 + 4x2 + 6x− 12
(x− 2)4 =
−4x2 + 14x− 12
(x− 2)4 = −
2(2x2 − 7x+ 6)
(x− 2)4
= −
2
[
2(x− 2)
(
x− 3
2
)]
(x− 2)4 = −
4(x− 2)
(
x− 3
2
)
(x− 2)4 = −
4
(
x− 3
2
)
(x− 2)4 = −
4x− 6
(x− 2)3 .
Exemplo 3.24 Seja f : R\0 → R dada por f(x) = x2 − 1
x
. Utilizando as regras de
derivac¸a˜o temos f ′(x) = 2x +
1
x2
= 2x + x−2, uma vez que f pode ser escrita como sendo
f(x) = x2 − x−1.
Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas 35
Exemplo 3.25 Seja f : R→ R func¸a˜o definida por f(x) = (3x5− 1)(2− x4). Temos que f
e´ o produto de duas func¸o˜es deriva´veis. Aplicando a regra do produto temos
f ′(x) = (3x5 − 1)′(2− x4) + (3x5 − 1)(2− x4)′ = (15x4)(2− x4) + (3x5 − 1)(−4x3)
= 30x4 − 15x8 − 12x8 + 4x3 = 30x4 − 27x8 + 4x3.
3.5 Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Vamos passar agora ao ca´lculo da derivada das func¸o˜es trigonnome´tricas, da func¸a˜o expo-
nencial e logar´ıtima. Para isso utilizaremos os seguintes limites fundamentais
lim
x→0
senx
x
= 1 lim
x→0
1− cosx
x
= 0 lim
h→0
ah − 1
h
= ln a lim
h→0
(1 +
1
h
)
h
= e
Teorema 3.1
(a) Se f(x) = senx, enta˜o f ′(x) = cosx.
De fato, vamos usar a definic¸a˜o de limite para mostrarmos a afirmac¸a˜o acima.
f ′(x) = lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
= lim
h→0
senx cosh + cosxsenh− senx
h
= lim
h→0
senx(cos h− 1) + cos xsenh
h
= lim
h→0
[
senx
(
cos h− 1
h
)
+ cosx
(
senh
h
)]
.
Usando os limites fundamentais lim
x→0
senx
x
= 1 e lim
x→0
1− cos x
x
= 0, enta˜o
f ′(x) = senx · 0 + cosx · 1 = cos x.
(b) Se f(x) = cos x, enta˜o f ′(x) = −senx.
De maneira ana´loga ao feito no item anterior:
f ′(x) = lim
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
= lim
h→0
cosx cos h− senxsenh− cosx
h
= lim
h→0
cosx(cos h− 1)− senxsenh
h
= lim
h→0
[
cosx
(
cosh− 1
h
)
− senx
(
senh
h
)]
.
36 Derivadas
Usando os limites fundamentais lim
x→0
senx
x
= 1 e lim
x→0
1− cosx
x
= 0, enta˜o
f ′(x) = cosx · 0− senx · 1 = −senx.
(c) Se f(x) = tan x, enta˜o f ′(x) = sec2 x.
Sabendo que tanx =
senx
cosx
usaremos a regra da derivada do quociente
f ′(x) = (tanx)′ =
( senx
cosx
)′
=
cos x(senx)′ − senx(cos x)′
cos2 x
=
cosx(cos x)− senx(−senx)
cos2 x
=
cos2 x+ sen2x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x.
(d) Se f(x) = cot x, enta˜o f ′(x) = − csc2 x.
Sabendo que cotx =
1
tanx
, temos
f ′(x) =
tan x · (1)′ − 1 · (tanx)′
tan2 x
=
0− sec2 x
tan2 x
= −
1
cos2 x
sen2x
cos2 x
= − 1
sen2x
= − csc2 x.
(e) Se f(x) = sec x, enta˜o f ′(x) = sec x tanx.
Sabendo que sec x =
1
cosx
, temos
f ′(x) =
−(cos x)′
cos2 x
=
senx
cos2 x
=
1
cosx
senx
cosx
= sec x tanx.
(f) Se f(x) = csc x, enta˜o f ′(x) = − csc x cot x.
Sabendo que csc x =
1
senx
, temos
f ′(x) =
−(senx)′
sen2x
= − cosx
sen2x
= − 1
senx
cos x
senx
= − csc x cot x.
Exemplo 3.26 Sejam f(x) = senx, g(x) = cosx e h(x) = tanx. Calcule f ′(0), g′
(pi
2
)
e
h′
(pi
2
)
.
Derivadas das Func¸o˜es Exponencial e Logar´ıtmica 37
Soluc¸a˜o: Pelo teorema acima temos
• f ′(x) = cosx⇒ f ′(0) = sen(0) = 0
• g′(x) = −senx⇒ g′
(pi
2
)
= −1
• h′(x) = sec x⇒ h′(x) = 1
cos2(x)
⇒ h′
(pi
4
)
=
1
cos2
(pi
4
) = 1(√
2
2
)2 = 11
2
= 2
Exemplo 3.27 Dada f(x) = x2senx, determine f ′(x).
Soluc¸a˜o: Usando derivada do produto e a derivada trigonome´trica temos:
f ′(x) = (x2)′senx+ x2(senx)′ = 2xsenx+ x2 cosx.
Exemplo 3.28 Determine f ′(pi), com f(x) =
sec x
1 + tanx
.
Soluc¸a˜o: Usando derivada do quociente e as derivada trigonome´trica temos:
f ′(x) =
(sec x)′(1 + tanx)− sec x(1 + tanx)′
(1 + tanx)2
=
(sec x tanx)(1 + tan x)− sec x(sec2 x)
(1 + tan x)2
=
(sec x tan x)(1 + tan x)− sec x(1 + tan2 x)
(1 + tan x)2
=
sec x tan x+ sec x tan2 x− sec x− sec2 x tan2 x)
(1 + tanx)2
=
sec x tan x− sec x
(1 + tan x)2
=
sec x(1 − tan x)
(1 + tan x)2
=⇒ f ′(pi) = sec(pi)(1− tan
2 pi)
(1 + tan pi)2
=
(−1)(1− 02)
(1 + 0)2
= −1
3.6 Derivadas das Func¸o˜es Exponencial e Logar´ıtmica
Assumiremos os seguintes limites fundamentais para calcular as derivadas das func¸o˜es
exponencial e logar´ıtmica
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a lim
u→0
(1 + u)
1
u = e
38 Derivadas
(i) Seja f : R→ R dada por f(x) =ax, a > 0, a 6= 1, temos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax(ah − 1
h
= (lim
h→0
ax)
(
lim
h→0
ah − 1
h
)
= ax ln a.
Como caso particular, podemos obter a derivada da func¸a˜o f(x) = ex, ou seja, a = e,
da´ı pela expressa˜o acima temos f ′(x) = ex ln e = ex.
(ii) Seja f : (0,∞)→ R dada por f(x) = ln x, assim
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
ln x+ h− ln a
h
= lim
h→0
ln
(
x+ h
x
)
h
= lim
h→0
1
h
· ln
(
1 +
h
x
)
= lim
h→0
ln
(
1 +
h
x
) 1
h
,
fazendo a mudanc¸a de varia´vel u =
h
x
, temos
f ′(x) = lim
h→0
ln
(
1 +
h
x
) 1
h
= lim
u→0
ln(1 + u)
1
ux = lim
u→0
ln(1 + u)
1
u
· 1
x
=
1
x
· lim
u→0
ln(1 + u)
1
u =
1
x
· ln
(
lim
u→0
(1 + u)
1
u
)
=
1
x
· ln e = 1
x
, x > 0.
Assim, se f(x) = ln x, enta˜o f ′(x) =
1
x
.
Podemos encontrar a derivada da func¸a˜o logar´ıtma g(x) = loga x, a > 0 (logaritmo de x na
base a) conhecendo-se a derivada de f(x) = ln x, basta fazer a mudanc¸a de base na func¸a˜o
g, ou seja,
g(x) = loga x =
ln x
ln a
=
1
ln a
· ln x
Como
1
ln a
e´ uma constante, temos g′(x) =
1
ln a
(ln x)′ =
1
ln a
· 1
x
=
1
x ln a
, x > 0.
Exemplo 3.29 Sejam f, g func¸o˜es dadas por f(x) = 2x e g(x) = log3 x. Determine as
equac¸o˜es das retas tangentes a ambos os gra´ficos no ponto de abcissa x = 1.
Regra da Cadeia 39
3.7 Regra da Cadeia
Teorema 3.2 (Regra da Cadeia) Se f e g forem func¸o˜es deriva´veis e F = f ◦ g for a
func¸a˜o composta definida por F (x) = f(g(x)), enta˜o F e´ deriva´vel e sua derivada F ′ e´ dada
por
F ′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
Mudando de notac¸a˜o, se y = f(u) e u = g(x), podemos escrever a igualdade acima da forma
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
Exemplo 3.30 Calcule as seguintes derivadas
(a) h(x) = (2x+ 1)10.
Soluc¸a˜o: Usando a regra da cadeia, com f(x) = x10 e g(x) = 2x+1 da´ı f ′(x) = 10x9
e g′(x) = 2, portanto temos
h′(x) = (f(g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x) = 10(2x+ 1)9 · 2 = 20(2x+ 1)9.
(b) h(x) = sen2x.
Soluc¸a˜o: Usando a regra da cadeia, com f(x) = x2 e g(x) = senx da´ı f ′(x) = 2x e
g′(x) = cosx, portanto temos
h′(x) = (f(g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x) = 2(senx) cosx = 2senx cosx = sen2x.
De outra forma usando a derivada do produto, temos:
h(x) = senxsenx⇒ h′(x) = (senx)′senx+ senx(senx)′ = cos xsenx+ senx cosx
= 2senx cosx = sen2x
(c) h(x) = ln(
√
x).
Soluc¸a˜o: Usando a regra da cadeia, com f(x) = ln x e g(x) =
√
x da´ı
f ′(x) =
1
x
e g′(x) =
1
2
√
x
, portanto temos
h′(x) = (f(g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x) =
1√
x
· 1
2
√
x
=
1
2x
.
40 Derivadas
De outra forma usando as propriedades do logaritmo temos que h(x) = ln x
1
2 =
1
2
ln x,
da´ı:
h′(x) =
(
1
2
ln x
)′
=
1
2
(ln x)′ =
1
2
· 1
x
=
1
2x
(d) h(x) =
(
2x+ 1
3x− 1
)4
.
Soluc¸a˜o: Usando a regra da cadeia, com f(x) = x4 e g(x) =
2x+ 1
3x− 1 da´ı
g′(x) =
(
2x+ 1
3x− 1
)′
=
(2x+ 1)′(3x− 1)− (2x+ 1)(3x− 1)′
(3x− 1)2
=
2(3x− 1)− (2x+ 1)3
(3x− 1)2 =
6x− 2− 6x− 3
(3x− 1)2 =
−5
(3x− 1)2
e f ′(x) = 4x3. Portanto temos
h′(x) = (f(g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x) = 4
(
2x+ 1
3x− 1
)3
·
( −5
(3x− 1)2
)
= 4
(
2x+ 1
3x− 1
)3
· −5
(3x− 1)2 = −20 ·
(2x+ 1)3
(3x− 1)5 .
(e) h(x) = sen(2x).
Soluc¸a˜o: Usando a regra da cadeia temos h′(x) = cos(2x) · 2 = 2 cos(2x)
Usando as propriedades da func¸a˜o seno e a derivada do produto temos h(x) = 2senx cos x,
da´ı
h′(x) = 2[(sinx)′ cosx+ senx(cosx)′] = 2(cosx cosx− senxsenx)
= 2(cos2 x− sen2x) = 2 cos(2x)
(f) h(x) = tan(x2 + 1).
Soluc¸a˜o: Usando a regra da cadeia, com f(x) = tanx e g(x) = x2 + 1, temos
h′(x) = f(g(x)) · g′(x) = (sec2(x2 + 1))(2) = 2 sec2(x2 + 1).
Derivac¸a˜o Impl´ıcita 41
3.7.1 Derivada de uma Func¸a˜o Poteˆncia (Expoente Racional)
Utilizando a regra da cadeia e a regra da derivac¸a˜o de n
√
x podemos deduzir a regra
de derivac¸a˜o de func¸o˜es com expoentes racionais dados por f(x) = xp, onde p =
m
n
e´ um
racional.
Consideremos uma func¸a˜o f dada por xp = x
m
n . Note que podemos reescrever a func¸a˜o
como sendo
x
m
n =
(
x
1
n
)m
,
que e´ a equac¸a˜o das func¸o˜es g(x) = x
1
n e h(x) = xm cujas derivadas ja´ sa˜o conhecidas.
Assim:
f ′(x) = m
(
x
1
n
)m−1
· 1
n
x
1
n
−1 =
m
n
· xm−1n · x 1−nn = m
n
· xmn − 1n+ 1n−1 = m
n
· xmn −1.
Logo se f(x) = xp, enta˜o f ′(x) = pxp−1 seguinda a mesma regra de derivac¸a˜o para
polinoˆmios.
Exemplo 3.31 Seja f(x) = x
4
3 , determine f ′(x).
Soluc¸a˜o: Pela regra dada acima temos f ′(x) =
4
3
x
4
3
−1 =
4
3
x
4−3
3 =
4
3
x
1
3 .
3.8 Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Ate´ o momento vimos te´cnicas para derivac¸a˜o de func¸o˜es reais f expressas explicitamente
em func¸a˜o da veria´vel dependente, como por exemplo f : R → R dada por f(x) = x2senx,
onde f e´ escrita expl´ıcita como func¸a˜o de x.
Muitas vezes na˜o conseguimos explicitar y em func¸a˜o de x em algumas relac¸o˜es, como
por exemplo em x2 + y2 = 1, se tentarmos escrever y em func¸a˜o de x ter´ıamos
y = ±
√
1− x2,
o que na˜o define uma func¸a˜o visto que o mesmo valor de x e´ associado a dois valores distintos
de y.
42 Derivadas
Felizmente na˜o precisamos explicitar y em termos de x para calcular a derivada y′(
ou
dy
dx
)
na equac¸a˜o resultante. Para isso, usaremos o me´todo de derivac¸a˜o impl´ıcita que
consiste em derivar ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x e isolar y′ na equac¸a˜o resul-
tante.
Exemplo 3.32 Se x2 + y2 = 1, determine
dy
dx
.
Soluc¸a˜o: Derivando em relac¸a˜o a x usando a regra da cadeia , temos
2x+ 2y · dy
dx
= 0 da´ı x+ y · dy
dx
= 0
Logo para y 6= 0, temos dy
dx
= −x
y
.
Exemplo 3.33 Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 1 no ponto(√
2
2
,
√
2
2
)
.
Soluc¸a˜o: Pelo exemplo anterior temos que para y 6= 0, dy
dx
= −x
y
. Logo no ponto
(√
2
2
,
√
2
2
)
encontramos
dy
dx
= −
√
2
2√
2
2
= −1. Assim, a equac¸a˜o da reta tangente neste
ponto e´ dada por(
y −
√
2
2
)
= −1
(
x−
√
2
2
)
assim y = −x+
√
2
2
+
√
2
2
, e portanto y = −x+
√
2.
Exemplo 3.34 Considere o fo´lio de Descartes cuja equac¸a˜o e´ dada por x3 + y3 = 6xy.
(a) Determine
dy
dx
.
(b) Determine a reta tangente no ponto (3, 3).
(c) Em quais pontos no primeiro quadrante a reta tangente e´ horizontal?
Soluc¸a˜o: (a) Derivando implicitamente e utilizando a regra da cadeia, temos
3x2 + 3y2 · dy
dx
= 6
(
y + x · dy
dx
)
Derivadas de Ordem Superior 43
Isolando
dy
dx
, temos
(3y2 − 6x)dy
dx
= 6y − 3x2 que implica dy
dx
=
6y − 3x2
3y2 − 6x
(b)
dy
dx
=
6 · 3− 3 · 32
3 · 32 − 6 · 3 =
18− 27
27− 18 = −1
Logo a equac¸a˜o da reta tengente e´ dada por
(y − 3) = −1(x− 3) logo y = −x + 6.
(c) Devemos encontrar x > 0, y > 0 tais que
dy
dx
= 0. Desta forma
6y − 3x2
3y2 − 6x = 0⇒ 6y − 3x
2 = 0⇒ 6y = 3x2 ⇒ 2y = x2 =⇒ y = x
2
2
O ponto deve satisfazer a equac¸a˜o x3 + y3 = 6xy. Assim, substituindo y =
x2
2
, encontramos
x3 +
(
x2
2
)3
= 6x
(
x2
2
)
assim x3 +
x6
8
= 3x3 da´ı
x6
8
− 2x3 = 0
logo x3
(
x3
8
− 2
)
= 0 e portanto x3 = 0 ou x3 = 16
Logo, x = 0 ou x = 2 3
√
2.
Portanto, a reta tangente e´ horizontal nos pontos
(0, 0) e (2
3
√
2, 2
3
√
4).
3.9 Derivadas de Ordem Superior
Consideremos f : A → R uma func¸a˜o deriva´vel. A func¸a˜o f ′ : A → R e´ dita derivadade f , ou derivada primeira de f . De maneira ana´loga, podemos definir a derivada de f ′ que
sera´ chamada a derivada segunda de f . Neste caso;
(f ′)′ = lim
h→0
f ′(x+ h)− f ′(x)
h
,
44 Derivadas
e escrevemos (f ′)′ = f” quando o limite existir. Podemos tambe´m escrever f (2) ou
d2f
dx2
.
De maneira ana´loga, podemos definir a derivada terceira de f . De modo geral podemos
definir a derivada n-e´sima de f , denotada por f (n) ou
dnf
dxn
, n ∈ N.
Exemplo 3.35 Seja f : R→ R dada por f(x) = 3x2 − 4x. Calcule f ′, f ′′, f ′′′.
Soluc¸a˜o: Podemos utilizar as regras de derivac¸a˜o conhecidas uma vez que ja´ sabemos que
as func¸o˜es polinomiais sa˜o deriva´veis. Desta forma,
f ′(x) = 6x− 4 da´ı f ′′(x) = 6 que implica f ′′′(x) = 0.
Exemplo 3.36 Seja f : R\{0} → R dada por f(x) = 1
x
. Utilizando as regras de derivac¸a˜o,
temos
f ′(x) =
d
dx
(
x−1
)
= − 1
x2
f ′′(x) =
d2
dx2
(
1
x
)
=
d
dx
(
− 1
x2
)
=
d
dx
(−x−2) = 2
x3
f ′′′(x) =
d
dx
(
d2
dx2
(
1
x
))
=
d
dx
(
2
x3
)
=
d
dx
(
2x−3
)
= − 6
x4
.
Exemplo 3.37 Seja f(x) =

 x
3 se x ≤ 1
x2 se x > 1
. Calcule f ′, f ′′ quando existirem.
Soluc¸a˜o: Em pontos x 6= 1 calculemos a derivada utilizando as regras de derivac¸a˜o. No
ponto x = 1, onde ocorre a ”quebra”da func¸a˜o utilizamos a definic¸a˜o.
Como f(x) =

 x
3 se x ≤ 1
x2 se x > 1
devemos verificar se existe o limite lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Para isso calculamos os linites laterais:
lim
h→0+
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0+
(1 + h)2 − (1)2
h
= lim
h→0+
1 + 2h+ h2 − 1
h
= lim
h→0+
h(2 + h)
h
= 2
Derivada da Func¸a˜o Inversa 45
e
lim
h→0−
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0−
(1 + h)3 − (1)3
h
= lim
h→0−
1 + 3h+ 3h2 + h3 − 1
h
= lim
h→0−
h(3 + 3h+ h2)
h
= lim
h→0−
3 + 3h + h2 = 3
Como os limites laterais sa˜o distintos, temos que na˜o existe f ′(1) e consequentemente na˜o
existe f ′′(1). Assim
f ′(x) =

 3x
2 se x < 1
2x se x > 1
f ′′(x) =

 6x se x < 12 se x > 1
3.10 Derivada da Func¸a˜o Inversa
Neste momento encontraremos a derivada das func¸o˜es invers´ıveis g : A → B uma vez
conhecida a derivada de sua inversa f : A→ B, onde A,B ⊂ R. Isto sera´ muito u´til para se
determinar principalmente a derivada das func¸ oes trigonome´tricas inversas.
Teorema 3.3 (Teorema de Derivac¸a˜o da Func¸a˜o Inversa) Se f uma func¸a˜o invers´ıvel
com a inverssa g. Se f for deriva´vel em um ponto y = f(x) com f ′(g(x)) e g cont´ınua em
x, enta˜o g e´ deriva´vel em x e ale´m disso, g′(x) =
1
f ′(y)
, desde que y = g(x).
Observac¸a˜o 3.8 A prova deste resultado sera´ omitida, mas a fo´rmula para a derivada ap-
resentada acima pode ser deduzida facilmente utilizando a regra da cadeia. Temos que como
g e´ a inversa de f , enta˜o
f(g(x)) = x, ∀x ∈ Dom(g).
Derivando com respeito a x, temos
f ′(g(x)) · g′(x) = 1, ou seja,
g′(x) =
1
f ′(g(x))
=
1
f(y)
, y = g(x).
46 Derivadas
Utilizemos tal resultado para determinar as derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas inver-
sas.
(i) g : [−1, 1] −→
[−pi
2
,
pi
2
]
dada por g(x) = arcsin x e´ a func¸a˜o inversa de f :
[−pi
2
,
pi
2
]
−→
[−1, 1] dada por f(y) = seny. Temos que f ′(y) = cos y e ale´m disso cos y 6= 0 se, e
somente se, y 6= ±pi
2
, temos que pelo teorema anterior
g′(x) =
1
f ′(y)
, y = g(x) = arcsin x
=
1
cos y
=
1
cos(arcsin x)
.
Para melhorar a expressa˜o do denominador, para isso observamos que
cos2(arcsin x) + sen2(arcsin x) = 1⇒ cos2(arcsin x) + x2 = 1⇒ (cos(arcsin x))2 = 1− x2
Como −1 < x < 1, pois y ∈
(−pi
2
,
pi
2
)
, temos que 1 − x2 > 0 e assim cos(arcsin x) =
√
1− x2
Logo, g′(x) =
1√
1− x2 ,−1 < x < 1.
(ii) g : [−1, 1] −→ [0, pi] dada por g(x) = arccosx e´ a func¸a˜o inversa de f : [0, pi] −→ [−1, 1]
dada por f(y) = cos y. Temos que f ′(y) = −seny e ale´m disso f ′(y) 6= 0 se, e somente
se, y ∈ (0, pi). Assim pelo teorema anterior, temos
g′(x) = − 1
sen(arccos x)
, x ∈ (−1, 1).
De maneira ana´loga a anterior, temos
(sen(arccosx))2 + (cos(arccosx))2 = 1⇒ (sen(arccosx))2 = 1− x2
Como x ∈ (−1, 1), temos 1− x2 > 0 e assim sen(arccos x) = √1− x2
Logo, g′(x) = − 1√
1− x2 , x ∈ (−1, 1).
(iii) g : R −→
(−pi
2
,
pi
2
)
dada por g(x) = arctan x e´ a inversa da func¸a˜o f :
(−pi
2
,
pi
2
)
−→
R dada por f(y) = tan y, temos que f ′(y) = sec2 y. Pelo teorema anterior, temos
g′(x) =
1
f ′(y)
=
1
sec2(arctanx)
,
Derivada da Func¸a˜o Inversa 47
desde que y = g(x) = arctan x. Utilizando a identidade tan2 z + 1 = sec2 z, temos
sec2(arctan x) = 1 + tan2(arctan x) = 1 + (tan(arctan x))2 = 1 + x2.
Logo, g′(x) =
1
1 + x2
, x ∈ R.
Procedendo de maneira ana´loga, temos que
(iv) Se g(x) = arccotx, enta˜o g′(x) = − 1
1 + x2
, x ∈ R.
(v) Se g(x) = arcsecx, enta˜o g′(x) =
1
|x|√x2 − 1 , |x| > 1.
(vi) Se g(x) = arccosecx, enta˜o g′(x) = − 1|x|√x2 − 1 , |x| > 1.
Exemplo 3.38 Seja f(x) = arcsin x2, determine f’(x).
Soluc¸a˜o: Usando regra da cadeia, e sabendo que se g(x) = arcsin x ⇒ g′(x) = 1√
1− x2 ,
temos que
f ′(x) =
1√
1− x4 · 2x =
2x√
1− x4 .
Exemplo 3.39 Seja f(x) = x arctan(3x), determine f’(x).
Soluc¸a˜o: Usando regra da cadeia, a derivada do produto e que se g(x) = arctan x⇒ g′(x) =
1
1 + x2
, temos que
f ′(x) = x · 1
1 + (3x)2
· 3 + 1 · arctan(3x) = 3x
1 + 9x2
+ arctan(3x).
Vamos utilizar o Teorema da Derivada da Func¸a˜o Inversa para determinar a derivada de
func¸o˜es ja´ conhecidas
(i) Seja g : (0,∞) → R dada por g(x) = ln x. Temos que f : R → (0,∞) dada por
f(x) = ey e´ a inversa de g. Sabemos que f ′(y) = ey, y 6= 0, para todo y ∈ R. Assim,
pelo Teorema da Derivada da Func¸a˜o Inversa, temos que g′(x) =
1
f ′(y)
, onde
y = g(x) = ln x⇒ g′(x) = 1
elnx
=
1
x
48 Derivadas
(ii) g : [0,∞) → [0,∞) dada por f(x) = √x e´ invers´ıvel e f : [0,∞) → [0,∞) dada por
f(y) = y2 e´ a sua inversa. Temos que f ′(y) = 2y e f ′(y) 6= 0 se, e somente se, y 6= 0.
Pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa, temos
g′(x) =
1
f ′(y)
, y 6= 0, y = g(x)
=
1
2y
=
1
2
√
x
, x 6= 0.
Cap´ıtulo 4
Aplicac¸o˜es de Derivada
4.1 Construc¸a˜o de Gra´ficos
4.1.1 Ma´ximos e Mı´nimos
Dada uma func¸a˜o real f , estamos interessados em encontrar os pontos do domı´nio de f onde
f atinge o seu maior ou menor valor.
Definic¸a˜o 4.1 :
(i) Uma func¸a˜o f tem um ma´ximo local (ou relativo) em c ∈ Dom(f), se existe um
intervalo aberto I contendo c tal que f(x) ≤ f(c) para todo x ∈ I ∩Dom(f).
(ii) Uma func¸a˜o f tem um mı´nimo local (ou relativo) em d ∈ Dom(f), se existe um
intervalo aberto I contendo d tal que f(x) ≥ f(d) para todo x ∈ I ∩Dom(f).
c
f(c)
d
f(d)
b
b
b
b
49
50 Aplicac¸o˜es de Derivada
Definic¸a˜o 4.2 :
(i) Uma func¸a˜o f tem um ma´ximo global (ou absoluto) em c ∈ Dom(f), se f(x) ≤ f(c)
para todo x ∈ Dom(f).
(ii) Uma func¸a˜o f tem um mı´nimo global (ou absoluto) em c ∈ Dom(f), se f(x) ≥ f(c)
para todo x ∈ Dom(f).
Exemplo 4.1 Se f(x) = x2, enta˜o f possui um mı´nimo global em x = 0, pois
0 = f(0) ≤ x2 = f(x), ∀x ∈ R.
Exemplo 4.2 Analogamente f(x) = −x2 possui um ma´ximo global em x = 0, pois
0 = f(0) ≥ x2 = f(x), ∀x ∈ R.
Exemplo 4.3 Se f(x) = (x− 1)3 ⇒ f ′(x) = 3(x− 1)2 e assim f ′(1) = 0. Mas, f(x) < 0 se
x < 1 e f(x) > 0 se x > 1 enta˜o f na˜o tem extremo relativo ou absoluto em x = 1.
Teorema 4.1 Seja f uma func¸a˜o deriva´vel em um ponto c ∈ Dom(f). Se c e´ um ponto de
ma´ximo ou mı´nimo de f , enta˜o f ′(c) = 0.
Observac¸a˜o 4.1 O teorema acima exige que f seja deriva´vel em c, mas podemos ter c um
ponto de ma´ximo oumı´nimo sem que f ′(c) exista. Um exemplo disto e´ a func¸a˜o f : R→ R
dada por f(x) = |x|. O ponto x = 0 e´ mı´nimo de f e f ′(0) na˜o existe.
Definic¸a˜o 4.3 Diremos que um ponto c ∈ Dom(f) e´ um ponto cr´ıtico de f se f ′(c) = 0 ou
f ′(c) na˜o existe.
Exemplo 4.4 Determine os pontos cr´ıticos de
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x+ 3
Calculemos para quais valores de x temos f ′(x) = 0. f ′(x) = 3x2 − 6x + 3, assim
usando a fo´rmula de Bhaskara achamos que x = 1 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f(x).
Construc¸a˜o de Gra´ficos 51
(b) h(x) = |x2 − 1|
Resolvendo o mo´dulo temos que h(x) =

 x
2 − 1 se x ≤ −1 ou x ≥ 1
−x2 + 1 se − 1 < x < 1
. Assim
h′(x) =

 2x se x ≤ −1 ou x ≥ 1−2x se − 1 < x < 1
Portanto h′(x) = 0⇔ x = 0, da´ı este e´ o u´nico ponto cr´ıtico de h.
(c) g(x) = senx cos x.
Sabendo que sen2x = 2senx cos x, temos que
g(x) =
sen2x
2
⇒ g′(x) = 1
2
(cos 2x) · 2 = cos 2x.
Assim
g′(x) = 0⇒ cos 2x = 0⇒ 2x = 1
2
pi + kpi, k ∈ Z⇒ x = 1
4
pi +
1
2
kpi, k ∈ Z.
Teorema 4.2 Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo fechado e limitado.
Enta˜o f assume ma´ximo absoluto e mı´nimo absoluto em [a, b].
Observac¸a˜o 4.2 Desta forma, dada uma func¸a˜o f , os candidatos a ponto de ma´ximo ou
mı´nimo sa˜o os pontos cr´ıticos de f . Para saber qual e´ o ponto de ma´ximo e qual e´ o ponto
de mı´nimo devemos comparar a imagem de tais pontos cr´ıticos e decidir qual e´ a maior e
menor imagem.
Exemplo 4.5 Seja f : [−2, 1]→ R dada por f(x) = x3−3x2+3x−1, determine os ma´ximos
e mı´nimos de f .
Soluc¸a˜o: Temos que f ′(x) = 3x2− 6x+3, pelo exemplo anterior temos que x = 1 e´ o u´nico
ponto cr´ıtico de f . Calculando a imagem de f no ponto cr´ıtico temos
f(1) = 13 − 3 · 12 + 3 = 1 − 1 = 0, calculemos o valor de f nos extremos do intervalo:
f(−2) = −8− 12− 6− 1 = −27 e f(1) = 0, portanto x = 1 e´ um ponto de ma´ximo de f .
A derivada de uma func¸a˜o f nos fornece tambe´m uma forma de estabelecer onde f e´
crescente e onde f e´ decrescente. Para fazer esta discussa˜o devemos lembrar a definic¸a˜o de
func¸a˜o crescente e decrescente.
52 Aplicac¸o˜es de Derivada
Definic¸a˜o 4.4 Seja f : I → R uma func¸a˜o
(i) Diremos que f e´ crescente em I, se para quaisque x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2).
(ii) Diremos que f e´ decrescente em I, se para quaisque x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2).
Podemos determinar os intervalos onde uma func¸a˜o deriva´vel e´ crescente ou decrescente
fazendo um estudo do sinal da derivada.
Teorema 4.3 Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Enta˜o
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ crescente em [a, b].
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ decrescente em [a, b].
Exemplo 4.6 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o f : R→ R
dada por f(x) =
x3
3
− x
2
2
− 2x+ 3.
Soluc¸a˜o: Calculando f ′(x), temos
f ′(x) = x2 − x+ 2 = (x+ 1)(x− 2).
Construc¸a˜o de Gra´ficos 53
Como a func¸a˜o e´ deriva´vel em todos seu domı´nio, segue que os u´nicos pontos cr´ıticos de f
sa˜o x = −1 e x = 2. Pelo teorema anterior devemos estudar o sinal da primeira derivada.
Observe que a prmeira derivada e´ uma func¸a˜o quadra´tica que se anula em x = −1 e x = 2.
+
+
++
-
--
-
+
(x+ 1)
(x− 2)
(x+ 1)(x− 2)
−1
−1
2
2
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
Pela ilustrac¸a˜o acima, temos
f ′(x) > 0, para x ∈ (−∞,−1) ∪ (2,+∞)
e
f ′(x) < 0, para x ∈ (−1, 2).
Desta forma, f e´ crescente em (−∞,−1] ∪ [2,+∞) e decrescente em [−1, 2].
Teorema 4.4 (Teste da Primeira Derivada) Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua e
deriva´vel e c um ponto cr´ıtico de f
(i) Se f ′(x) > 0 para x < c e f ′(x) < 0 para x > c, enta˜o f tem um ma´ximo local em c.
(ii) Se f ′(x) < 0 para x < c e f ′(x) > 0 para x > c, enta˜o f tem um mı´nimo local em c.
Exemplo 4.7 Determinar os pontos cr´ıticos de f(x) = (x + 2)2(x − 1)3. Classifique tais
pontos cr´ıticos.
Soluc¸a˜o: Calculando f ′(x), temos
f ′(x) = 2(x+ 2)(x− 1)3 + (x+ 2)2 · 3 · (x− 1)2
= (x− 1)2(x+ 2)[2(x− 1) + 3(x+ 2)]
= (x− 1)2(x+ 2)(5x+ 4).
54 Aplicac¸o˜es de Derivada
Como a func¸a˜o e´ deriva´vel em todos seu domı´nio, segue que os pontos cr´ıticos de f sa˜o x = 1,
x = −2 e x = −4
5
. Pelo teorema anterior devemos estudar o sinal da primeira derivada.
Assim pelo teste da derivada primeira, temos que x = −2 e´ ponto de ma´ximo local de f
e −4
5
e´ mı´nimo local de f .
4.1.2 Concavidade e Pontos de Inflexa˜o
A concavidade de uma func¸a˜o sera´ de grande importaˆncia para a construc¸a˜o do gra´fico de
func¸o˜es reais. Primeiramente vamos definir a concavidade de uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o 4.5 Sejam f : I ⊂ R→ R uma func¸a˜o deriva´vel e c ∈ I.
(i) Diremos que o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima no ponto (c, f(c)) se existir um
intervalo aberto I contendo c tal que se x ∈ I, x 6= c, o ponto (x, f(x)) estara´ acima
da reta tangente ao gra´fico em (c, f(c)).
(ii) Diremos que o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo no ponto (c, f(c)) se existir um
intervalo aberto I contendo c tal que se x ∈ I, x 6= c, o ponto (x, f(x)) estara´ abaixo
da reta tangente ao gra´fico em (c, f(c)).
A segunda derivada de func¸o˜es deriva´veis nos fornece informac¸o˜es sobre a concavidade
do gra´fico da mesma.
Teorema 4.5 Sejam f : (a, b)→ R func¸a˜o deriva´vel e c ∈ (a, b). Enta˜o
(i) Se f ′′(c) > 0, o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima em (c, f(c)).
(i) Se f ′′(c) < 0, o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo em (c, f(c)).
Exemplo 4.8 Seja f : R → R dada por f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1. Determinemos os
intervalos onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo e intervalos onde e´ coˆncavo para cima.
Soluc¸a˜o: Para isso, precisamos estudar o sinal da segunda derivada. Temos que
f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9
f ′′(x) = 6x− 12
Construc¸a˜o de Gra´ficos 55
Note que f ′′(x) > 0 se, e somente se, 6x− 12 > 0, ou seja, x > 2. Analogamente, f ′′(x) < 0
se, e somente se, x < 2. Desta forma, o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima no intervalo (2,+∞)
e e´ coˆncavo para baixo no intervalo (−∞, 2).
Exemplo 4.9 Seja f : R→ R dada por f(x) = e−x22 . Estudaremos a concavidade do gra´fico
de f . Para isso, precisamos o sinal da segunda derivada
f ′(x) = −xe−x
2
2
f ′′(x) = −(e−x
2
2 − x2e−x
2
2 ) = (x2 − 1)e−x
2
2
Uma vex que e−
x
2
2 > 0 para todo x ∈ R, o sinal de f ′′(x) coincide com o sinal de g(x) = x2−1
cujo gra´fico ja´ conhecemos e sabemos estudar o seu sinal.
x
y
++
-1
1-1 -
Temos que f ′′(x) = x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) > 0 para x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞) e f ′′(x) < 0
para x ∈ (−1, 1).
Logo, o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima em (−∞,−1) ∪ (1,∞) e coˆncavo para baixo em
(−1, 1).
Exemplo 4.10 Seja f : R→ R dada por f(x) = x− 2
x− 1 . Temos que
f ′(x) =
(x− 1)− (x− 2)
(x− 1)2 =
1
(x− 1)2
f ′′(x) =
0(x− 1)2 − 2(x− 1)
(x− 1)4 = −
2
(x− 1)3
Desta forma, f ′′(x) > 0 quando (x−1) < 0, ou seja, x < 1. Analogamente f ′′(x) < 0 quando
(x−1) > 0, ou seja, x > 1. Logo, o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima em (−∞, 1) e coˆncavo
para baixo em (1,∞).
Definiremos agora ponto de inflexa˜o.
56 Aplicac¸o˜es de Derivada
Definic¸a˜o 4.6 Sejam f : (a, b)→ R e c ∈ (a, b). Diremos que o ponto (c, f(c)) e´ um ponto
de inflexa˜o do gra´fico de f se o gra´fico de f muda de concavidade em (c, f(c)).
Observac¸a˜o 4.3 Pela definic¸a˜o acima para que (c, f(c)) seja ponto de inflexa˜o, devemos
ter necessariamente c ∈ Dom(f).
Exemplo 4.11 Determinemos os pontos de inflexa˜o das func¸o˜es apresentadas anterior-
mente.
O gra´fico de f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1 apresenta um ponto de inflexa˜o em (2, f(2)) = (2, 3).
O gra´fico de f(x) = e−
x
2
2 apresenta dois pontos de inflexa˜o em (−1, f(−1)) = (−1, 0.135) e
(1, f(1)) = (1, 0.135).O gra´fico de f(x) =
x− 2
x− 1 na˜o possui ponto de inflexa˜o, pois x = 1 na˜o pertence ao domı´nio
de f .
4.1.3 Teste da Derivada Segunda
A segunda derivada tambe´m nos permite classificar pontos cr´ıticos de func¸o˜es deriva´ceis.
Teorema 4.6 f : (a, b) → R uma func¸a˜o deriva´vel e c ∈ R tal que f ′(c) = 0, suponhamos
que f ′′(c) exista, enta˜o
(i) Se f ′′(c) < 0, enta˜o f assume um ma´ximo relativo em c
(i) Se f ′′(c) > 0, enta˜o f assume um mı´nimo relativo em c.
Exemplo 4.12 Seja f : R→ R dada por f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1, temos que
f ′(x) = 3x2 = 12x+ 9 = 3(x2 − 4x+ 3)
= 3(x− 1)(x− 3)
Assim x = 1 e x = 3 sa˜o pontos cr´ıticos de f . Utilizaremos o teste da derivada segunda para
classificar tais pontos cr´ıticos, temos f ′′(x) = 6x− 12 = 6(x− 2). Notemos que
f ′′(1) = 6(1− 2) = −6 < 0 e f ′′(3) = 6(3− 2) = 6 > 0.
Desta forma, f atinge ma´ximo em x = 1 e mı´nimo em x = 3.
Construc¸a˜o de Gra´ficos 57
4.1.4 Construc¸a˜o de Gra´ficos
Agora temos ferramentas suficientes para fazer o esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o. O pro-
cedimento abaixo resume as etapas e procedimentos para construc¸a˜o do gra´fico.
• Determinar Dom(f);
• Determinar os pontos de intersec¸a˜o com os eixos (se poss´ıvel);
• Determinar os pontos cr´ıticos;
• Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
• Determinar os ma´ximos e mı´nimos de f ;
• Determinar a concavidade e pontos de inflexa˜o de f ;
• Determinar as ass´ıntotas horizontais e verticais (se existirem);
• Esboc¸ar o gra´fico de f .
Exemplo 4.13 Construa o gra´fico de f(x) =
x2
x2 − 4 .
Soluc¸a˜o:
• Dom(f) = {x ∈ R; x 6= 2} = R− {−2, 2}
• Intersec¸a˜o com o eixo x (basta fazer f(x) = 0)
f(x) = 0⇒ x
2
x2 − 4 = 0⇒ x
2 = 0⇒ x = 0
• Intersec¸a˜o com o eixo y (basta fazer x = 0)
f(0) = 0
• Pontos Cr´ıticos: Como f e´ deriva´vel em todos os pontos do seu domı´nio, devemos
encontrar os pontos onde f ′(x) = 0. A derivada e´ dada por
f ′(x) =
(x2 − 4)2x− x2 · 2x
(x2 − 4)2 =
2x3 − 8x− 2x3
(x2 − 4)2 = −
8x
(x2 − 4)2
Temos que f ′(x) = 0 somente quando x = 0.
58 Aplicac¸o˜es de Derivada
• Crescimento e Decrescimento
f e´ crescente quando f ′(x) > 0, ou seja, x < 0
f e´ crescente quando f ′(x) < 0, ou seja, x > 0
• Ma´ximos e mı´nimos
O u´nico ponto cr´ıtico de f e´ x = 0. Temos que, f ′(x) > 0 para x < 0 e f ′(x) < 0 para
x > 0, ou seja pelo teste da primeira derivada que x = 0 e´ um ponto de ma´ximo local
de f .
• Concavidade e ponto de Inflexa˜o
Calculando a segunda derivada
f ′′(x) = −(x
2 − 4)2 · 8− 8x · 2(x2 − 4)2x
(x2 − 4)4 = −
(x2 − 4) · 8− 3x2
(x2 − 4)3
= −8x
2 − 32− 32x2
(x2 − 4)3 = −
−24x2 − 32
(x2 − 4)3 =
8(3x2 + 4)
(x2 − 4)3
Estudando o sinal da segunda derivada, para isso estudaremos o sinal do numerador e
do denominador
+ +
++
+ +
−
−
+ 3x2 + 4
(x2 − 4)3
f ′′(x)
2−2
−2 2
b b
b b
I
b
J
b
b
b
b
Logo, o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo em (−2, 2) e coˆncavo para cima em (−∞,−2)∪
(2,∞). Temos que f na˜o possui pontos de inflexa˜o uma vez que −2 6∈ Don(f) e
2 6∈ Dom(f).
• Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
Observe que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
x2
x2 − 4 = +∞
Construc¸a˜o de Gra´ficos 59
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2
x2 − 4 = −∞
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
x2
x2 − 4 = −∞
lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
x2
x2 − 4 = +∞
Assim x = 2 e x = −2 sa˜o ass´ıntotas verticais de f . Mas ainda,
lim
x→−∞
x2
x2 − 4 = limx→−∞
x2
x2
(
1− 4
x2
) = lim
x→−∞
1(
1− 4
x2
) = 1
e
lim
x→+∞
x2
x2 − 4 = limx→+∞
x2
x2
(
1− 4
x2
) = lim
x→+∞
1(
1− 4
x2
) = 1
Logo y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal de f .
• Construindo o Gra´fico
60 Aplicac¸o˜es de Derivada
Taxas de Variac¸a˜o 61
4.2 Taxas de Variac¸a˜o
Seja f : I → R uma func¸a˜o. Se y = f(x), temos que quando a varia´vel independente sofre
uma variac¸a˜o ∆x, ou seja, varia de x a x + ∆x, temos que y sofre uma variac¸a˜o ∆y dada
por ∆y = f(x+∆x)− f(x), o quociente
∆y
∆x
=
f(x+∆x)− f(x)
∆x
representa a variac¸a˜o me´dia de y em relac¸a˜o a x. A derivada
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
representa a variac¸a˜o instantaˆnea de f no ponto x, ou simplesmente a taxa de variac¸a˜o de y
em relac¸a˜o a x.
Exemplo 4.14 Suponhamos que uma part´ıcula se mova em linha reta e sua posic¸a˜o em
func¸a˜o do tempo e´ dada por s(t) = t2 + 2t
(a) Qual a variac¸a˜o me´dia da posic¸a˜o no intervalo [1, 3]?
(b) Qual a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o no instante de tempo t = 2?
(c) Qual a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o em um instante de tempo t qualquer? O que ele
representa?
(d) Determine a acelerac¸a˜o em cada instante de tempo t.
Soluc¸a˜o:
(a) A variac¸a˜o me´dia e´ dada pela variac¸a˜o da posic¸a˜o sobre a variac¸a˜o do tempo, assim ,
a variac¸a˜o me´dia da posic¸a˜o sera´
∆s
∆t
=
s(3)− s(1)
3− 1 =
(9 + 6)− (1 + 2)
2
=
12
2
= 6um/ut,
onde um = unidade de medida e ut = unidade de tempo.
(b) A taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o no instante t = 2 e´ dada por
62 Aplicac¸o˜es de Derivada
s′(2) = lim
∆t→0
s(2 + ∆t)− s(2)
∆t
= lim
∆t→0
(2 + ∆t)2 + 2(2 + ∆t)− (4 + 4)
∆t
= lim
∆t→0
(4 + 4∆t + (∆t)2 + 4 + 2∆t)− 8
∆t
= lim
∆t→0
∆t(∆t + 6)
∆t
= lim
∆t→0
(∆t + 6) = 6
(c) Em um ponto t qualquer temos
s′(t) = lim
∆t→0
s(t+∆t)− s(t)
∆t
= lim
∆t→0
(t+∆t)2 + 2(t+∆t)− (t2 + 2t)
∆t
= lim
∆t→0
(t2 + 2t∆t + (∆t)2 + 2t+ 2∆t)− t2 − 2t
∆t
= lim
∆t→0
∆t(∆t + 2t+ 2)
∆t
= lim
∆t→0
(∆t+ 2t+ 2) = 2t+ 2
Esta expressa˜o representa a derivada da part´ıcula em um instante de tempo t qualquer,
ou seja, v(t) = 2t+ 2.
(d) A acelerac¸a˜o e´ a derivada da velocidade que foi obtida na letra c, assim
a′(t) = lim
∆t→0
v(t+∆t)− v(t)
∆t
= lim
∆t→0
2(t+∆t) + 2− (2t + 2)
∆t
= lim
∆t→0
2t+ 2∆t + 2− 2t− 2
∆t
= lim
∆t→0
2∆t
∆t
= lim
∆t→0
2 = 2
Exemplo 4.15 Em um triaˆngulo ∆ABC equila´tero de lado l, l > 0.
(a) Determine a variac¸a˜o me´dia do per´ımetro com respeito ao lado no intervalo [1, 2]?
(b) Qual a taxa de variac¸a˜o do per´ımetro quando l = 2?
(c) Qual a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo quando l = 2?
Taxas de Variac¸a˜o 63
Soluc¸a˜o:
(a) Note que o per´ımetro (p) de um triaˆngulo equilatero e´ p(L) = 3L, assim a variaca˜o do
per´ımetro no intervalo [1, 2] e´
∆P
∆L
=
p(2)− p(1)
2− 1 =
6− 3
1
= 3.
(b) Como per´ımetro e´ p(L) = 3L⇒ dP
dL
= 3, para todo L, e em particular para L = 2.
(c) Primeiro, vamos determinar a ’´area de um triaˆngulo equila´tero. Lembre-se que em
um triaˆngulo equila´tero a altura em relac¸a˜o a qualquer ve´rtice e´ perpendicular ao lado
oposto a este, e toca este lado em seu ponto me´dio (ponto D da figura).Como a area
do triaˆngulo e´ dada por: A =
bh
2
, devemos determinar h em func¸a˜o de L. Usando os
fatos acima, e aplicando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo ADB temos:
L2 = h2 +
(
L
2
)2
⇒ h2 = L2 − L
2
4
⇒ h2 = 3L
2
4
⇒ h = L
√
3
2
,
logo
A =
bh
2
⇒ A =
L · L
√
3
2
2
⇒ A = L
2
√
3
4
Derivando A em relac¸a˜o a L, temos:
dA
dL
=
√
3
4
· 2L = L
√
3
2
, portanto para L = 2⇒
dA
dL
=
2
√
3
2
=
√
3.
64 Aplicac¸o˜es de Derivada
Exemplo 4.16 Um objeto se move sobre a para´bola y = 2x2 + 3x− 1 de tal modo que sua
abcissa varia a´ taxa de 6 unidades por minuto. Qual a taxa de variac¸a˜o de sua ordenada,
quando o objeto estiver no ponto de abcissa x = −1?
Soluc¸a˜o: O problema nos diz que
dx
dt
= 6unid/min, e queremos dy
dt
, logo basta derivarmos
implicitamente em t, portanto
dy
dt
= 4x · dx
dt
+ 3