06 Produto Misto

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Produto Misto 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Definição 
O produto misto dos vetores 
 
𝑢 = 𝑥1𝑖 +𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 
 
𝑣 = 𝑥2𝑖 +𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 
 
𝑤 = 𝑥3𝑖 +𝑦3𝑗 + 𝑧3𝑘 
 
Tomados nessa ordem, se representa por 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 e 
corresponde a um número real. 
 
Notação: 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 ou 𝑢, 𝑣 , 𝑤 
Definição 
O produto misto 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 pode ser obtido mediante o cálculo 
do determinante de uma matriz de ordem 3 
𝑢 = 𝑥1𝑖 +𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 
 
𝑣 = 𝑥2𝑖 +𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 
 
𝑤 = 𝑥3𝑖 +𝑦3𝑗 + 𝑧3𝑘 
𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 =
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
 
Propriedades 
Sejam 𝑢, 𝑣 e 𝑤 vetores e 𝛼 um número real: 
 
I. O produto misto 𝑢, 𝑣 , 𝑤 muda de sinal ao trocarmos a 
posição de dois vetores. 
 
𝑢, 𝑣 , 𝑤 = − 𝑢,𝑤, 𝑣 
 
II. 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 = 𝑢 𝑥 𝑣 ∙ 𝑤 
 
III. 𝑢 + 𝑥 , 𝑣 ,𝑤 = 𝑢, 𝑣 ,𝑤 + 𝑥 , 𝑣 , 𝑤 
Propriedades 
Sejam 𝑢, 𝑣 e 𝑤 vetores e 𝛼 um número real: 
 
IV. 𝛼 𝑢, 𝑣 , 𝑤 = 𝛼𝑢, 𝑣 , 𝑤 = 𝑢, 𝛼𝑣 , 𝑤 = 𝑢, 𝑣 , 𝛼𝑤 
 
V. 𝑢, 𝑣 , 𝑤 = 0 se 𝑢, 𝑣 e 𝑤 forem coplanares 
Produto Misto 
Exemplo 1: Verifique se os vetores abaixo são coplanares. 
 
𝑢 = 2,−1, 1 
 
𝑣 = 1,0,−1 
 
𝑤 = 2,−1,4 
 
Interpretação Geométrica do 
Módulo do Produto Misto 
Qual o Volume do Paralelepípedo? 
 
I. Área da Base (Paralelogramo) 
 
𝐴 = 𝑣 𝑥 𝑤 
 
II. Altura 
 
ℎ = 𝑢 cos 𝜃 
 
III. Volume 
 
𝑉 = 𝐴 ∙ ℎ 
ℎ 
𝑤 
𝑣 
𝑢 
𝑣 𝑥 𝑤 
𝜃 
𝑉 = 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 
Interpretação Geométrica do 
Módulo do Produto Misto 
1. Volume do Paralelepípedo 
 
𝑉 = 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷 
 
2. Volume do Prisma 
 
𝑉𝑝 =
1
2
𝑉 =
1
2
𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷 
 
3. Volume do Tetraedro ABCD 
 
𝑉𝑇 =
1
3
𝑉𝑝 =
1
6
𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷 
 
Produto Misto 
Exemplo 2: Sejam A(1,2,-1) , B(5,0,1) , C(2,-1,1) e D(6,1,-3) 
vértices de um tetraedro. Calcular: 
 
a) O volume do paralelepípedo formado por estes pontos. 
 
b) O volume do prisma formado por estes pontos. 
 
c) O volume do tetraedro ABCD. 
 
d) A altura do tetraedro relativa ao vértice D.