Edo Equações Diferenciais Ordinárias

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EquaEquaçções Diferenciais Ordinões Diferenciais Ordinááriasrias
Uma revisãoUma revisão
11
DefiniDefiniçção de EDOão de EDO
„ Definição : ““Uma equaUma equaçção diferencial ão diferencial 
ordinordináária ria éé uma equauma equaçção que contão que contéém uma m uma 
ou vou váárias derivadas da funrias derivadas da funçção incão incóógnita.gnita.””
(Kreyzig). (Kreyzig). 
„„ EDOEDO´´s são equas são equaçções que possuem apenas ões que possuem apenas 
derivadas em reladerivadas em relaçção a uma ão a uma úúnica varinica variáávelvel
22
NotaNotaççãoão
„„ Existem diferentes notaExistem diferentes notaçções para ões para 
derivadas. derivadas. 
„„ Livros com diferentes interesses usam Livros com diferentes interesses usam 
diferentes notadiferentes notaçções.ões.
„„ As vezes a escolha da uma determinada As vezes a escolha da uma determinada 
notanotaçção facilitarão facilitaráá a resolua resoluçção.ão.
33
„„ Quocientes de derivadas são Quocientes de derivadas são úúteis para o mteis para o méétodo de separatodo de separaçção de ão de 
varivariááveis.veis.
„„ Linha, concisaLinha, concisa
„„ Pontos, usada por Newton para derivadas em relaPontos, usada por Newton para derivadas em relaçção ao tempoão ao tempo
 3
3
2
2
dx
yd
dx
yd
dx
dy ,,
yyy ′′′′′′ ,,
 yyy ������ ,,
44
ExemplosExemplos
22''''''2
''
'
)2(2
04
cos
yxyeyyx
yy
xy
x +=+
=+
=
55
ExemplosExemplos
22
2
2
3
3
2
2
2
22
04
yx
dx
yde
dx
dy
dx
ydx
y
dx
yd
x
dx
dy
x )(
cos
+=+
=+
=
66
AplicaAplicaççõesões
„„ Engenharia, fEngenharia, fíísica, biomatemsica, biomatemáática, tica, 
economia, etc.economia, etc.
„„ Circuitos elCircuitos eléétricostricos
„„ Mecânica dos fluidosMecânica dos fluidos
„„ VibraVibraççõesões
„„ Modelos populacionaisModelos populacionais
„„ etc.etc.
77
Definição : Uma equação que envolve derivadas até
ordem n, é chamada de equação diferencial ordinária 
(EDO) de ordem n e pode ser escrita na forma:
Definição: A solução da equação é qualquer função y = 
f(x) que é definida em [a,b] e tem n derivadas neste 
intervalo e que satisfaz a equação diferencial.
y x f x y x y x y xn n( ) ( )( ) ( , ( ), ( ), , ( ))= ′ −… 1
bxa ≤≤
88
EdoEdo´´s versus Edps versus Edp´´ss
„„ EdoEdo´´s são equas são equaçções diferencias onde a funões diferencias onde a funçção ão 
incincóógnita depende apenas de uma gnita depende apenas de uma úúnica nica 
varivariáável.vel.
„„ EdpEdp´´s são equas são equaçções diferenciais onde a funões diferenciais onde a funçção ão 
incincóógnita depende de duas o mais varignita depende de duas o mais variááveis.veis.
„„ Uma boa familiaridade com EdoUma boa familiaridade com Edo´´s s éé necessnecessáária ria 
para comepara começçar a considerar a resoluar a considerar a resoluçção de ão de 
EdpEdp´´s.s.
99
Equações diferenciais parciais
ÆSão requeridas e de fronteira.
ÆEdp´s lineares de primeira ordem são muito 
semelhantes com as Edo´s. 
ÆEdp´s de segunda ordem descrevem um grande 
número de problemas reais.
1010
ÆDescrevendo a função do potencial em um campo de forças 
conservativo – ( Laplace ) 
- Elíptico
ÆDescrevendo o perfil de temperatura – o problema de condução 
de calor
- Parabólico
ÆDescrevendo a vibração de uma membrana.
Æ - Hiperbólicas
2 2
2 2 0u v
∂ Ω ∂ Ω+ =∂ ∂
2 2
2 2u v t
∂ Ω ∂ Ω ∂Ω+ =∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2u v t
∂ Ω ∂ Ω ∂ Ω+ =∂ ∂ ∂
1111
Ordem de uma equaOrdem de uma equaçção diferencialão diferencial
„„ A ordem de uma equaA ordem de uma equaçção diferencial ão diferencial éé a a 
ordem da maior derivada que aparece na ordem da maior derivada que aparece na 
equaequaçção. ão. 
„„ As equaAs equaçções de primeira ordem podem ser ões de primeira ordem podem ser 
escritas como:escritas como:
),(
),,(
yxfy
or
yyxF
=′
=′ 0
1212
SoluSoluçções de uma Edoões de uma Edo
„„ Uma soluUma soluçção de uma Edo ão de uma Edo éé uma funuma funçção, ão, 
y(x)y(x), que satisfaz a equa, que satisfaz a equaçção diferencial ão diferencial 
em algum intervalo, em algum intervalo, a<x<ba<x<b..
„„ Uma forma de conferir se uma funUma forma de conferir se uma funçção e ão e 
solusoluçção da equaão da equaçção diferencial ão diferencial éé substituir substituir 
na equana equaçção.ão.
1313
SubstituiSubstituiççãoão
„„ Considere a equaConsidere a equaçção diferencial:ão diferencial:
„„ Desejamos saber se Desejamos saber se éé uma soluuma soluçção ão 
(substituindo a ambos lados da equa(substituindo a ambos lados da equaçção):ão):
xyxy allfor,2' =
2xy =
'
' 2
2
lado esquerdo : (2 ) 2 2
lado direito : 2
y x
xy x x x y
y
=
= = =
2 e a soluçaoy x ′∴ = �
1414
SoluSoluçções implões implíícitascitas
„„ As vezes não As vezes não éé conveniente mostrar a soluconveniente mostrar a soluçção ão 
da equada equaçção diferencial implicitamente como ão diferencial implicitamente como 
y=h(x)y=h(x). A forma . A forma H(x,y)=0H(x,y)=0 pode ser mais pode ser mais 
adequadaadequada
2 2
'
1 0 ( 0 )
é a so lução para 
1 1
x y y
yy x x
+ − = >
= − − < <
1515
A forma mais simples de uma EDO é
onde f é contínua para a < x < b.
A solução geral desta equação é:
com constante c determinada por 
)(xfy =′
y x f x dx c( ) ( )= +∫
y x y( )0 0=
1616
Constantes de IntegraConstantes de Integraççãoão
„„ Lembre se de usar a constante de Lembre se de usar a constante de 
integraintegraççãoão
„„ SoluSoluçção geral, ão geral, y = sin x + cy = sin x + c
„„ SoluSoluçção particular, ão particular, y = sin x + 1y = sin x + 1, , 
y = sin x y = sin x –– 22, etc., etc.
cxy
xy
+=⇒
=
sin
cos'
1717
Exemplo Exemplo –– Decaimento RadioativoDecaimento Radioativo
„„ Suponha que estamos modelando o decaimento Suponha que estamos modelando o decaimento 
de um lixo radioativo. Inicialmente temos 2 gr de um lixo radioativo. Inicialmente temos 2 gr 
de radium (de radium (8888RaRa226226) .) .
„„ A equaA equaçção que modela o processo ão que modela o processo éé::
„„ Onde Onde y(t)y(t) éé a quantidade de radium presente e a quantidade de radium presente e 
kk éé uma constante (uma constante (--1.4x101.4x10--1111 secsec--11))
ky
dt
dy =
1818
„„ Usando um pouco de cUsando um pouco de cáálculo temos lculo temos 
que:que:
„„ Isto Isto éé um soluum soluçção geral.ão geral.
„„ Uma soluUma soluçção particular ão particular éé obtida usando obtida usando 
a condia condiçção inicial ão inicial y(0) = 2y(0) = 2..
ktcety =)(
ktety
c
cey
2)(
2
2)0( 0
=⇒
=⇒
==
	Equações Diferenciais Ordinárias �
	Definição de EDO 
	Notação
	Exemplos
	Exemplos
	Aplicações
	Edo´s versus Edp´s
	Ordem de uma equação diferencial
	Soluções de uma Edo
	Substituição
	Soluções implícitas
	Constantes de Integração
	Exemplo – Decaimento Radioativo