Apostila Equações Diferenciais - Prof. jones Corso

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UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIEˆNCIAS TECNOLO´GICAS - CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DMAT
APOSTILA DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS
ORDINA´RIAS
JONES CORSO
Joinville - 2014
ii
Suma´rio
1 INTRODUC¸A˜O 1
1.1 Noc¸o˜es elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Nomenclatura usual para classificar ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Equac¸o˜es diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Soluc¸a˜o particular e soluc¸a˜o geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno . . . . . . . . . . . 7
2 EQUAC¸OES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 11
2.1 Equac¸o˜es com varia´veis separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Equac¸o˜es Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Equac¸a˜o de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Aplicac¸o˜es das ED de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.1 Problemas de variac¸a˜o de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.2 Equac¸a˜o do movimento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.3 Circuitos em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 EQUAC¸O˜ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 23
3.1 EDL: Teoria das soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Dependeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Independeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3 Soluc¸o˜es linearmente independentes. O Wronskiano . . . . . . . . . 24
iii
3.2 A equac¸a˜o caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Soluc¸a˜o geral - sistema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 Soluc¸a˜o em termos das ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Me´todo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Aplicac¸a˜o f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n 37
4.1 Equac¸o˜es de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Equac¸o˜es de ordem superior usando coeficientes a determinar . . . . . . . . 39
4.3 Equac¸a˜o de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 SE´RIES NUME´RICAS 43
5.1 Me´todo de Se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 O me´todo da Se´rie de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 Soluc¸a˜o em Se´rie de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Me´todo de Fro¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Equac¸a˜o de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Func¸o˜es de Bessel de segunda espe´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 A TRANSFORMADA DE LAPLACE 51
6.1 Definic¸a˜o da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 Transformadas inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3.1 Me´todo do complemento do quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.2 Me´todo das frac¸o˜es parciais (FP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.3 Func¸a˜o Degrau Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3.4 Func¸a˜o impulso unita´rio ou func¸a˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . 58
6.3.5 Convoluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Resoluc¸a˜o, pela TL, de EDL com coeficientes constantes . . . . . . . . . . 60
6.4.1 Transformadas de Laplace de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4.2 Soluc¸a˜o do problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
iv
7 SISTEMA DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 63
7.1 Reduc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem 63
7.2 Ca´lculo de eAt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2.1 Uso da Transformada de Laplace para o Ca´lculo de eAt . . . . . . . 68
7.3 Resoluc¸a˜o de sist. lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . 69
8 FO´RMULAS 71
Refereˆncias Bibliogra´ficas 74
v
vi
Cap´ıtulo 1
INTRODUC¸A˜O
1.1 Noc¸o˜es elementares
Uma equac¸a˜o da forma F
(
x, y, y′, y”, ..., y(n)
)
= 0, onde a inco´gnita x e´ uma func¸a˜o de
uma varia´vel, chama-se equac¸a˜o diferencial ordina´ria. Muitas leis gerais da F´ısica, Biologia
e Economia encontram sua espressa˜o natural nestas equac¸o˜es. Por outro lado, inu´meras
questo˜es na pro´pria matema´tica (por exemplo, em Topologia e Geometria Diferenciais e no
Ca´lculo de Variac¸o˜es) sa˜o formuladas por equac¸o˜es diferenciais ordina´rias ou se reduzem
a elas.
O estudo das equac¸o˜es diferenciais comec¸ou com os me´todos do Ca´lculo Diferencial e
Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no u´ltimo quarto do se´culo XVII
para resolver problemas motivados por considerac¸o˜es f´ısicas e geome´tricas. Esses me´todos,
na sua evoluc¸a˜o, conduziram gradualmente a` consolidac¸a˜o das Equac¸o˜es diferenciais como
um novo ramo da matema´tica, que em meados do se´culo XVIII se transformou numa
disciplina independente.
Neste esta´gio, a procura e ana´lise de soluc¸o˜es tornou-se uma finalidade pro´pria.
Tambe´m nesta e´poca ficaram conhecidos os me´todos elementares de resoluc¸a˜o (integrac¸a˜o)
de va´rios tipos especiais de equac¸o˜es diferenciais, tais como as de varia´veis separa´veis
(x′ = f (x) g (t)), as lineares (x′ = a (t) x + b (t)), as de Bernoulli (x′ = p (t)x + q (t)xn),
as de Clairaut (f (x′) + tx′ = x), as de Riccati (x′ = a0 (t) + a1 (t)x+ a2 (t)x2).
A natureza daquilo que era considerado soluc¸a˜o foi mudando gradualmente, num pro-
cesso que acompanhou e, a`s vezes, propiciou o desenvolvimento do pro´prio conceito de
func¸a˜o. Inicialmente buscavam-se soluc¸o˜es expressas em termos de func¸o˜es elementares,
isto e´, polinomiais, racionais, trigonome´tricas e exponenciais. Posteriormente passou-se
2 1.1. Noc¸o˜es elementares
a considerar satisfato´rio expressar a soluc¸a˜o na forma de uma integral (quadratura) con-
tendo operac¸o˜es elementares envolvendo estas func¸o˜es, ainda que a mesma na˜o admitisse
uma expressa˜o em termos destas. Quando estes dois caminhos deixaram de resolver os
problemas focalizados, surgiram as soluc¸o˜es expressas por meio de se´ries infinitas (ainda
sem a preocupac¸a˜o com a ana´lise da convergeˆncia das mesmas).
Em fins do se´culo XVIII a Teoria das Equac¸o˜es Diferenciais se transformou numa
das disciplinas matema´ticas mais importantes e o me´todo mais efetivo para a pesquisa
cient´ıfica. As contribuic¸o˜es de Euler, Lagrange, Laplace e outros expandiram notavelmente
o conhecimento dentro do Ca´lculo das Variac¸o˜es, Mecaˆnica Celeste, Teoria das Oscilac¸o˜es,
Elasticidade, Dinaˆmica de Fluidos, etc. Nesta e´poca iniciou-se tambe´m a descoberta das
relac¸o˜esdas equac¸o˜es diferenciais com as func¸o˜es de varia´vel complexa, se´ries de poteˆncias
e trigonome´tricas e func¸o˜es especiais (conhecidas posteriormente como de Bessel, etc.). O
grau que o conhecimento matema´tico atingiu nesta primeira fase ficou registrado na obra
de Euler ”Institutiones Calculi Integralis”em quatro volumes, o u´ltimo deles publicado
em 1794.
No se´culo XIX os fundamentos da Ana´lise Matema´tica experimentaram uma revisa˜o
e reformulac¸a˜o gerais visando maior rigor e exatida˜o. Assim, os conceitos de limite,
derivada, convergeˆncia de se´ries nume´ricas e se´ries de func¸o˜es e outros processos infinitos
foram definidos em termos aritme´ticos. A integral, que no se´culo anterior era concebida
como primitiva, foi definida como limite de uma sequeˆncia de somas. Este movimento
de fundamentac¸a˜o na˜o deixou de atingir as equac¸o˜es diferenciais. Enquanto no se´culo
anterior procurava-se uma soluc¸a˜o geral para uma dada equac¸a˜o diferencial, passou-se a
considerar como questa˜o pre´via em cada problema a existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es
satisfazendo dados iniciais (este e´ o problema de Cauchy). Tomava-se enta˜o uma classe
ampla de equac¸o˜es diferenfciais, como as lineares, por exemplo, para as quais a existeˆncia
e unicidade das soluc¸o˜es estava aceita e procuravam-se propriedades gerais destas soluc¸o˜es
a partir de caracter´ısticas das func¸o˜es que definiam a equac¸a˜o diferencial. Por outro lado,
o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis aplicado a certas equac¸o˜es diferenciais parciais con-
duziu a equac¸o˜es ordina´rias que na˜o admitem soluc¸o˜es em termos de func¸o˜es elementares
conhecidadas, como e´ o caso das equac¸o˜es de Sturm-Liouville e das equac¸o˜es de Fuchs
(lineares com coeficientes anal´ıticos complexos com singularidades isoladas regulares). As
primeiras fornecem um exemplo caracter´ıstico de um problema linear de contorno, en-
quanto que as equac¸o˜es Fuchsianas sistematizam va´rios tipos de equac¸o˜es especiais surgi-
1.1. Noc¸o˜es elementares 3
das originalmente no se´culo XVIII em trabalhos de Euler e Bernoulli e estudadas tambe´m
por Gauss e Riemann. Incluem equac¸o˜es de relevaˆncia da F´ısica-Matema´tica, como as de
Bessel, de Legendre e de Gauss (ou hipergeome´trica).
Um marco de refereˆncia fundamental na evoluc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais e´ o trabalho
de Poincare´ ”Me´moire sur les courbes de´finies par une e´quation differentielle”(1881) no
qual sa˜o lanc¸adas as bases da Teoria Qualitativa das Equac¸o˜es Diferenciais. Esta teoria
visa a descric¸a˜o da configurac¸a˜o global das soluc¸o˜es e o efeito de pequenas perturbac¸o˜es
das condic¸o˜es iniciais (estabilidade). O estudo da estabilidade de um sistema, de grande
importaˆncia na tecnologia contemporaˆnea, teve sua origem em questo˜es de Mecaˆnica
Celeste estudadas inicialmente por Newton, Lagrange e Laplace. Pergunta-se se uma
pequena perturbac¸a˜o na posic¸a˜o e velocidade de um corpo celeste o coloca em uma o´rbita
que se afasta ou converge para a o´rbita original. O problema geral da estabilidade foi
simultaneamente estudado por Liapounov, que juntamente com Poincare´, e´ considerado
fundador da Teoria Qualitativa das Equac¸o˜es Diferenciais.
Outro aspecto da Teoria Qualitativa, tambe´m estudado por Poincare´, visa descrever
o comportamento assinto´tico das soluc¸o˜es e a estrutura de seus conjuntos limites. O
comportamento assinto´tico de uma soluc¸a˜o se obtem quando se faz a varia´vel independente
(tempo) tender para infinito. O conjunto limite pode ser um ponto de equil´ıbrio, uma
soluc¸a˜o perio´dica ou outro conjunto mais complicado. A Teoria de Poincare´-Bendixson,
responde a este tipo de questo˜es no plano e em superf´ıcies bidimensionais, respectivamente.
O estudo de oscilac¸o˜es na˜o lineares de fenoˆmenos ele´tricos realizado no primeiro quarto
do se´culo passado conduziu a equac¸o˜es especiais de segunda ordem tais como as de Van
der Pol e Lienard.
A introduc¸a˜o do conceito de estabilidade estrutural por Andronov e Pontrjagin (1937)
e os trabalhos de Peixoto (1958-62) relativos a` caracterizac¸a˜o, abertura e densidade das
equac¸o˜es diferenciais estruturalmente esta´veis em superf´ıcies constituem um marco fun-
damental para o desenvolvimento contemporaˆneo das equac¸o˜es diferenciais. Trata-se de
determinar as condic¸o˜es necessa´rias e suficientes para que o retrato de fase de uma equac¸a˜o
diferencial na˜o experimente mudanc¸as qualitativas bruscas por pequenas perturbac¸o˜es das
func¸o˜es que as definem.
Ao estudar um fenoˆmeno varia´vel, expresso por uma func¸a˜o y = f (x), e´ comum
acharmos uma lei que o governe dada por uma relac¸a˜o entre a varia´vel independente, a
func¸a˜o e suas derivadas ou diferenciais.
4 1.3. Nomenclatura usual para classificar ED
Definic¸a˜o 1.1 Chama-se equac¸a˜o diferencial a uma equac¸a˜o F
(
x, y, y′, y”, ..., y(n)
)
= 0
que estabelece uma relac¸a˜o entre a varia´vel independente x, a func¸a˜o inco´gnita y e suas
derivadas y′, y”, . . . , y(n), se y = f(x) e´ a func¸a˜o de uma so´ varia´vel independente x a
equac¸a˜o diferencial diz-se ordina´ria.
Um exemplo simples e´ dado por uma relac¸a˜o do tipo dy
dx
− 1 = 0. Procura-se enta˜o
uma func¸a˜o y = f(x) que satisfac¸a a equac¸a˜o, e que no caso e´ fa´cil ver que se trata de
f(x) = x, ou tambe´m f(x) = x + c, onde c e´ uma constante qualquer. Veˆ-se enta˜o que
a equac¸a˜o dada define uma famı´lia de curvas no plano, que sa˜o retas todas paralelas, de
declividade 1.
1.2 Notac¸a˜o
Usam-se frequ¨entemente os s´ımbolos y′, y′′, y′′′, y(4), ..., y(n) para representar as derivadas
de ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta,..., ene´sima de y em relac¸a˜o
a` varia´vel independente x. Assim, y” representa d
2y
dx2
se a varia´vel independente e´ x, mas
representa d
2y
dp2
se a varia´vel independente e´ p. Se a varia´vel independente e´ o tempo,
usualmente denotada por t, e´ comum substitu´ırem-se as linhas por pontos. Assim, y˙,
··
y e
···
y representam dy
dt
, d
2y
dt2
e d
3y
dt3
, respectivamente.
Observe-se o uso dos pareˆnteses em y(n) para distinguir da poteˆncia yn.
1.3 Nomenclatura usual para classificar ED
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de ordem n e´ uma igualdade que relaciona a varia´vel
independente a` n-e´sima derivada (e em geral tambe´m a`s derivadas de ordem inferior)
da varia´vel dependente. Assim como ha´ equac¸o˜es alge´bricas de va´rios graus, tambe´m ha´
equac¸o˜es diferenciais de diversas ordens, onde por ordem entendemos a mais alta ordem de
derivada que comparece na equac¸a˜o. Por exemplo, a equac¸a˜o dada acima e´ de 1a ordem,
enquanto a equac¸a˜o y” + y = 0 e´ de 2a ordem. Neste exemplo, veˆ-se que y = sinx e´ uma
soluc¸a˜o, pois y′ = cosx e y′′ = − sinx, e portanto y′′ + y = 0. Aqui outras soluc¸o˜es sa˜o
y = c sinx, para uma constante qualquer c. No entanto y = sin x+ c na˜o e´ soluc¸a˜o.
Chama-se grau da equac¸a˜o diferencial o expoente mais elevado com que comparece a
derivada ou diferencial que determina sua ordem. Nos exemplos anteriores, ambas sa˜o de
1o grau, enquanto a equac¸a˜o yy′′2 − y′3 = yy′
1+x
e´ de 2o grau e de 2a ordem.
1.3. Nomenclatura usual para classificar ED 5
Uma equac¸a˜o diferencial diz-se parcial se comparecem nelas derivadas parciais, como
por exemplo ∂z
∂x
+ ∂z
∂y
= 0.
Como outro exemplo consideremos a equac¸a˜o ∂z
∂x
= 2x.
Analisemos as seguintes equac¸o˜es diferenciais, determinando o grau e a ordem de cada
uma:
Exemplo 1 dy
dx
= 5x+ 3
Exemplo 2 ey d
2y
dx2
+ 2
(
dy
dx
)2
= 1
Exemplo 3 4 d
3y
dx3
+ (sin x) d
2y
dx2
+ 5xy = 0
Exemplo 4
(
d4y
dx4
)3
+ 3y
(
d2y
dx2
)7
+ y3
(
dy
dx
)2
= 5x
Exemplo 5 ∂
2y
∂t2− 4∂2y
∂x2
= 0
Observac¸a˜o 1 Uma equac¸a˜o diferencial e´ chamada ordina´ria (E.D.O.) se a func¸a˜o
inco´gnita depende de apenas uma varia´vel independente. Se a func¸a˜o inco´gnita depende
de mais de uma varia´vel independente, temos uma equac¸a˜o diferencial parcial (E.D.P.),
ou equac¸a˜o de derivadas parciais.
Determine, para cada uma das seguintes equac¸o˜es diferenciais, (a) ordem, (b) grau (se
poss´ıvel), (c) func¸a˜o inco´gnita (FI), (d) varia´vel independente (VI).
Exerc´ıcio 1.1 y′′′ − 5xy′ = ex + 1
Exerc´ıcio 1.2 ty′′ + t2y′ − (sin t)√y = t2 − t+ 1
Exerc´ıcio 1.3 s2 d
2t
ds2
+ st dt
ds
= s
Exerc´ıcio 1.4 5
(
d4b
dp4
)5
+ 7
(
db
dp
)10
+ b3 − b5 = p
Exerc´ıcio 1.5 (y′′)2 − 3yy′ + xy = 0
Exerc´ıcio 1.6 d
nx
dyn
= y2 + 1
6 1.5. Soluc¸o˜es
1.4 Equac¸o˜es diferenciais lineares
Uma E.D.O. de ordem n na func¸a˜o inco´gnita y e na varia´vel independente x e´ linear se
tem a forma
bn(x)
dny
dxn
+ bn−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ b1(x)dy
dx
+ b0(x)y = g(x) (1.1)
As func¸o˜es bj(x)(j = 0, 1, 2, ..., n)e g(x) supo˜em-se conhecidas e dependem apenas da
varia´vel independente x. As combinac¸o˜es atitivas podem ter multiplicadores (coeficientes)
que dependem de x; nenhuma restric¸a˜o e´ feita sobre a natureza dessa dependeˆncia em x.
As equac¸o˜es diferenciais que na˜o podem ser postas sob a forma da equac¸a˜o (1.1) dizem-se
na˜o-lineares.
Ou seja, uma equac¸a˜o diferencial diz-se linear de ordem n quando os termos contendo
a varia´vel dependente e suas derivadas ate´ ordem n sa˜o de 1o grau com relac¸a˜o a esta
varia´vel. Por exemplo, y′′ +xy′+ y = sin x e´ linear de 2a ordem, enquanto y′′ + yy′+ y =
sinx e´ na˜o linear, devido ao termo yy′.
1.5 Soluc¸o˜es
Introduc¸a˜o
O estudo de equac¸o˜es diferenciais tem duas metas principais: descobrir a equac¸a˜o
diferencial que descreve uma situac¸a˜o f´ısica espec´ıfica e, achar a soluc¸a˜o apropriada dessa
equac¸a˜o.
Em a´lgebra tipicamente procuramos nu´meros desconhecidos que satisfazem uma
equac¸a˜o como x3 + 7x2 − 11x + 41 = 0. No caso de uma equac¸a˜o diferencial, por outro
lado, somos desafiados a encontrar func¸o˜es desconhecidas y = f(x) para as quais uma
identidade como y′(x) = 2xy(x) - isto e´, a equac¸a˜o diferencial dy
dx
= 2xy - vale em al-
gum intervalo da reta. Geralmente, vamos querer achar, se poss´ıvel, todas as soluc¸o˜es da
equac¸a˜o diferencial.
Uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial na func¸a˜o inco´gnita y e na varia´vel indepen-
dente x, no intervalo I, e´ uma func¸a˜o y(x) que verifica identicamente a equac¸a˜o para todo
x em I.
Exemplo 6 Determine se y = x2 − 1 e´ uma soluc¸a˜o de (y′)4 + y2 = −1.
1.5. Soluc¸o˜es 7
Exemplo 7 Demonstrar que a func¸a˜o dada sob a forma parame´trica y (x) = x = a sin ty = b cos t e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y′ = − b2xa2y .
Exemplo 8 Demonstrar que a func¸a˜o impl´ıcita (1 + y3)
2
= (1 + x2)
3
e´ soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial y′ =
x(1+y3)
y2(1+x2)
.
Exemplo 9 Determinar a equac¸a˜o diferencial da famı´lia de curvas c1x+ (y − c2)2 = 0.
1.5.1 Soluc¸a˜o particular e soluc¸a˜o geral
Uma soluc¸a˜o particular de uma equac¸a˜o diferencial e´ qualquer soluc¸a˜o da mesma. A
soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ o conjunto de todas as suas soluc¸o˜es.
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y” + 4y = 0 e´ y(x) = c1 sin 2x+ c2 cos 2x. Isto
e´, toda soluc¸a˜o particular da referida equac¸a˜o tem esta forma geral. Algumas soluc¸o˜es
particulares sa˜o:
(a) y = 5 sin 2x− 3 cos 2x (com c1 = 5 e c2 = −3)
(b) y = sin 2x (com c1 = 1 e c2 = 0), e
(c) y ≡ 0 (com c1 = c2 = 0).
A soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o diferencial nem sempre pode ser expressa mediante
uma fo´rmula u´nica. Como exemplo, consideremos a equac¸a˜o diferencial y′ + y2 = 0, que
admite duas soluc¸o˜es y = 1/x e y ≡ 0.
1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno
Um problema de valor inicial consiste em uma equac¸a˜o diferencial, juntamente com
condic¸o˜es subsidia´rias relativas a` func¸a˜o inco´gnita e suas derivadas - tudo dado para
um mesmo valor da varia´vel independente. As condic¸o˜es subsidia´rias sa˜o condic¸o˜es inici-
ais se as condic¸o˜es subsidia´rias se referem a mais de um valor da varia´vel independente,
o problema e´ um problema de valores de contorno, e as condic¸o˜es dizem-se condic¸o˜es de
contorno.
Uma soluc¸a˜o de um problema de valor inicial, ou de valores no contorno, e´ uma func¸a˜o
y(x) que satisfaz na˜o so´ a equac¸a˜o diferencial dada, mas tambe´m todas as condic¸o˜es
subsidia´rias.
8 1.5. Soluc¸o˜es
Exemplo 10 Determine se y(x) = 2e−x + xe−x e´ soluc¸a˜o de y′′ + 2y′ + y = 0.
Exemplo 11 y(x) ≡ 1 e´ soluc¸a˜o de y′′ + 2y′ + y = x?
Exemplo 12 Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x + 1 satisfac¸a
y(pi/8) = 0 e y′(pi/8) =
√
2 .
Nos problemas, determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin x + c2 cosx satisfac¸a as
condic¸o˜es dadas. Determine se tais condic¸o˜es sa˜o iniciais ou de contorno.
Exerc´ıcio 1.7 y(0) = 1, y′(0) = 2 sol. c1 = 2 e c2 = 1
Exerc´ıcio 1.8 y(0) = 1, y′(pi) = 1 sol. c1 = −1 e c2 = 1
Exerc´ıcio 1.9 y(pi/2) = 1, y′(pi/2) = 2 sol. c1 = 1 e c2 = −2
Nos problemas a seguir, determine c1 e c2 de modo que as func¸o˜es dadas satisfac¸am
as condic¸o˜es inicias prescritas.
Exerc´ıcio 1.10 y(x) = c1e
x + c2e
−x + 4 sinx; y(0) = 1, y′(0) = −1 sol. c1 = −2 e
c2 = 3
Exerc´ıcio 1.11 y(x) = c1e
x+ c2e
2x+3e3x; y(0) = 0, y′(0) = 0 sol. c1 = 3 e c2 = −6
Exerc´ıcio 1.12 y(x) = c1 sinx + c2 cos x + 1; y(pi) = 0, y
′(pi) = 0 sol. c1 = 0 e
c2 = 1
Exerc´ıcio 1.13 y(x) = c1e
x + c2xe
x + x2ex; y(1) = 1, y′(1) = −1 sol. c1 = 1 + 3e e
c2 = −2− 2e
Exerc´ıcio 1.14 Demonstrar que a func¸a˜o y = e−5x+c e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ + 5y′ = 0.
Exerc´ıcio 1.15 Mostrar que a func¸a˜o impl´ıcita y(x), x2 + 4xy − y2 = 1 e´ a soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial (x+ 2y) dx+ (2x− y) dy = 0.
Exerc´ıcio 1.16 Verificar se as func¸o˜es: a) y = −e−x; b) y = xe−x e y = 5e−3x , sa˜o
as soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial y′′ − 2y′ − 3y = 0. sol. a) sim, b) na˜o, c) sim
1.5. Soluc¸o˜es 9
Exerc´ıcio 1.17 Determinar as equac¸o˜es diferenciais das famı´lias de curvas: a) y = ecx
e b) y = cx3. sol. a) xy′ − y ln y = 0. b) xy′ − 3y = 0.
Exerc´ıcio 1.18 Determinar a equac¸a˜o diferencial y = (c1 + c2x) e
x + c2. sol.
(ex − 1) y′′ + (1− 2ex) y′ + exy = 0.
Exerc´ıcio 1.19 Determinar a equac¸a˜o diferencial y = c1e
2x+c2e
3x. sol. y′′−5y′+6y =
0.
10 1.5. Soluc¸o˜es
Cap´ıtulo 2
EQUAC¸OES DIFERENCIAIS DE
PRIMEIRA ORDEM
A forma normal de uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem e´M(x, y)dx+N(x, y)dy =
0, onde M(x, y)dx e N(x, y)dy sa˜o as func¸o˜es de x e y.
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial de primeira ordem chama-se a func¸a˜o y =
ϕ(x, c), que e´ a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o para todos os valores da constante arbitra´ria. A
soluc¸a˜o obtida da soluc¸a˜o geral y = ϕ(x, c) para um valor determinado da constante
arbitra´ria, chama-se soluc¸a˜o particular. O gra´fico da soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o difer-
encial chama-se curva integral da equac¸a˜o diferencial. E a interpretac¸a˜o geome´trica da
soluc¸a˜o geral y = ϕ(x, c) e´ a famı´lia das curvas integrais.
2.1 Equac¸o˜es com varia´veis separa´veis
Muitas equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem, Linear ou na˜o, podem ser reduzidas por
manipulac¸o˜es alge´bricas a` forma:
h(y)y′ = g(x) → y′ = dy
dx
(2.1)
h(y)dy = g(x)dx (2.2)
A equac¸a˜o (2.2) e´ chamada equac¸a˜o de varia´veis separa´veis, ou equac¸a˜o separa´vel,
porque as varia´veis x e y foram separadas uma da outra, de tal maneira que x aparece
unicamente no segundo membro, enquanto y surge no primeiro membro. Integrando12 2.1. Equac¸o˜es com varia´veis separa´veis
ambos os membros de (2.2), obtemos:
∫
h(y)dy =
∫
g(x)dx+ c
Exemplo 13 Seja as equac¸o˜es: dy
dx
= y2xe3x+4y e dy
dx
= y + sin x.
Exemplo 14 Seja, y′ = −2xy, resolva pelo me´todo das equac¸o˜es separa´veis.
Exemplo 15 Seja, y′ = 1 + y2, resolva pelo me´todo das equac¸o˜es separa´veis.
Exemplo 16 Seja, dy
dx
= y2 − 4, resolva pelo me´todo das equac¸o˜es separa´veis.
Exemplo 17 Resolver o problema de valor inicial y′ = 3x
2+4x+2
2(y−1) , y(0) = −1.
Resolver pelo me´todo das equac¸o˜es separa´veis :
Exerc´ıcio 2.1 y′ = x
2
y
sol. y = ±
√
2
3
x3 + c
Exerc´ıcio 2.2 y′ = x
2
y(1+x3)
sol. y = ±
√
2
3
ln |1 + x3|+ c
Exerc´ıcio 2.3 y′ + y2 sinx = 0 sol. y = c− 1
cosx
Exerc´ıcio 2.4 y′ = 1 + x+ y2 + xy2 sol. y = tan
(
x+ x
2
2
+ c
)
Exerc´ıcio 2.5 y′ = (cos2 x).(cos2 2y) sol. y = 1
2
arctan
(
1
2
sin 2x+ x+ c
)
Exerc´ıcio 2.6 xy′ = (1− y2)1/2 sol. y = sin (ln |x|+ c)
Exerc´ıcio 2.7 dy
dx
= x−e
−x
y+ey
sol. y = ±√x2 + 2 (−ey + e−x) + c
Determine a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado, em forma expl´ıcita.
Exerc´ıcio 2.8 xdx+ ye−xdy = 0, y(0) = 1 sol. y2 = 2ex (1− x) + c→ c = −1→ y =
[2ex (1− x)− 1] 12
Exerc´ıcio 2.9 y′ = 2x
(y+x2y)
, y(0) = −2 sol. y2
2
= ln |1 + x2| + c → c = 2 → y =
[2 (ln |1 + x2|+ 2)] 12
Exerc´ıcio 2.10 y′ = xy3(1 + x2)−1/2, y(0) = 1 sol. − 1
2y2
= (1 + x2)
1
2 + c →
c = −3
2
→ y = [3− 2√1 + x2]− 12
Exerc´ıcio 2.11 y′ = 2x
1+2y
, y(2) = 0 sol. y + y2 = x2 + c → c = −4 → y =
−1
2
+ 1
2
√
4x2 − 15
2.2. Equac¸o˜es Homogeˆneas 13
2.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas
Iniciemos com a definic¸a˜o de func¸a˜o homogeˆneas
Definic¸a˜o 2.1 Se uma func¸a˜o f satisfaz f(tx, ty) = tnf(x, y) para algum nu´mero real
n, enta˜o dizemos que f e´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n.
Exemplo 18 f(x, y) = x2 − 3xy + 5y2
Exemplo 19 f(x, y) = 3
√
x2 + y2
Exemplo 20 f(x, y) = x3 + y3 + 1
Exemplo 21 f(x, y) = x
2y
+ 4
Se f(x, y) for uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n, podemos escrever
f(x, y) = xnf
(
1,
y
x
)
e f(x, y) = ynf
(
x
y
, 1
)
(2.3)
em que f(1, y
x
) e f(x
y
, 1) sa˜o ambas homogeˆneas de grau zero.
Definic¸a˜o 2.2 Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.4)
e´ chamada de homogeˆnea se ambos os coeficientes M e N sa˜o func¸o˜es homogeˆneas de
mesmo grau.
Em outras palavras, M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e´ homogeˆnea se M(tx, ty) =
tnM(x, y) e N(tx, ty) = tnN(x, y).
Me´todo de Soluc¸a˜o
Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 pode ser resolvida
por meio de uma substituic¸a˜o alge´brica. Especificamente, a substituic¸a˜o y = ux ou
x = vy, em que u e v sa˜o as novas varia´veis independentes, transformara´ a equac¸a˜o em
uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem separa´vel. Seja y = ux; enta˜o, sua diferencial
dy = udx+ xdu. Substituindo em (2.4), temos M(x, ux)dx+N(x, ux)[udx+ xdu] = 0.
Agora, pela propriedade de homogeneidade dada em (2.3), podemos escrever
xnM(1, u)dx+ xnN(1, u)[udx+ xdu] = 0 ou
14 2.3. Equac¸o˜es Exatas
[M(1, u) + uN(1, u)]dx+ xN(1, u)du = 0, assim
dx
x
+ N(1,u)du
M(1,u)+uN(1,u)
= 0.
Exemplo 22 Resolva (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0
Exemplo 23 Resolva o problema de valor inicial x dy
dx
= y + xey/x, y(1) = 1.
Resolva as equac¸o˜es :
Exerc´ıcio 2.12 2x3ydx+ (x4 + y4)dy = 0
Exerc´ıcio 2.13 (y2 + xy)dx+ x2dy = 0
Exerc´ıcio 2.14 (x2 + 2y2)dx = xydy para y(−1) = 1
Exerc´ıcio 2.15 2x2 dy
dx
= 3xy + y2 para y(1) = −2
2.3 Equac¸o˜es Exatas
Definic¸a˜o 2.3 Uma expressa˜o diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy e´ uma diferencial
exata em uma regia˜o R do plano xy se ela corresponde a` diferencial total de alguma func¸a˜o
f(x, y). Uma equac¸a˜o diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e´ chamada de
uma equac¸a˜o exata se a expressa˜o do lado esquerdo e´ uma diferencial exata.
Exemplo 24 A equac¸a˜o x2y3dx+x3y2dy = 0 e´ exata, pois d
(
1
3
x3y3
)
= x2y3dx+x3y2dy.
O teorema seguinte e´ um teste para uma diferencial exata.
Teorema 2.1 Sejam M(x, y)dx e N(x, y)dy func¸o˜es cont´ınuas com derivadas parciais
cont´ınuas em uma regia˜o retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Enta˜o, uma
condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy seja uma diferencial
exata e´
∂M
∂y
=
∂N
∂x
. (2.5)
Me´todo de soluc¸a˜o
2.3. Equac¸o˜es Exatas 15
Dada a equac¸a˜o (2.4) mostre primeiro que ∂M
∂y
= ∂N
∂x
.
Depois suponha que ∂f
∂x
= M(x, y) da´ı podemos encontrar f integrando M(x, y) com
relac¸a˜o a x, considerando y constante. Escrevemos,
f(x, y) =
∫
M(x, y)dx+ g(y), (2.6)
em que a func¸a˜o arbitra´ria g(y) e´ a constante de integrac¸a˜o. Agora, derivando (2.6) com
relac¸a˜o a y e supondo ∂f/∂y = N(x, y):
∂f
∂y
= ∂
∂y
∫
M(x, y)dx+ g′(y) = N(x, y).
Assim,
g′(y) = N(x, y)− ∂
∂y
∫
M(x, y)dx. (2.7)
Finalmente, integre (2.7) com relac¸a˜o a y e substitua o resultado em (2.6). A soluc¸a˜o
e´ f(x, y) = c.
Exemplo 25 Resolva 2xydx+ (x2 − 1)dy = 0.
Exemplo 26 Resolva (e2y − y cos xy)dx+ (2xe2y − x cosxy + 2y)dy = 0.
Exemplo 27 Resolva o problema de valor inicial (cosx sinx− xy2) dx+y(1−x2)dy = 0,
y(0) = 2.
Verifique se a equac¸a˜o dada e´ exata. Se for, resolva.
Exerc´ıcio 2.16 (5x+ 4y) dx+ (4x− 8y3) dy = 0 sol. 5
2
x2 + 4xy − 2y4 = c
Exerc´ıcio 2.17 (2y2x− 3) dx+ (2yx2 + 4) dy = 0 sol. x2y2 − 3x+ 4y = c
Exerc´ıcio 2.18 (y3 − y2 sinx− x) dx + (3xy2 + 2y cos x) dy = 0 sol. xy3 + y2 cos x −
1
2
x2 = c
Exerc´ıcio 2.19 (y ln y − e−xy) dx+
(
1
y
+ x ln y
)
dy = 0 sol. na˜o exata.
Exerc´ıcio 2.20 x dy
dx
= 2xex − y + 6x2 sol. xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c
Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o incial indicada.
Exerc´ıcio 2.21 (x+ y)2 dx+(2xy + x2 − 1) dy = 0, y (1) = 1 sol. 1
3
x3+x2y+xy2−y =
4
3
Exerc´ıcio 2.22 (y2 cos x− 3x2y − 2x) dx+(2y sin x− x3 + ln y) dy = 0, y (0) = e sol.
y2 sinx− x3y − x2 + y ln |y| − y = 0
16 2.4. Fator integrante
2.4 Fator integrante
Em geral, a equac¸a˜o diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.8)
na˜o e´ exata. Por vezes, entretanto, e´ poss´ıvel transformar (2.8) em uma equac¸a˜o diferencial
exata, mediante multiplicac¸a˜o por um fator adequado.
Exemplo 28 A equac¸a˜o ydx− xdy = 0 na˜o e´ exata, pois ∂M
∂y
= 1 e ∂N
∂x
= −1.
Definic¸a˜o 2.4
Uma func¸a˜o I(x, y) e´ um fator integrante de (2.8) se a equac¸a˜o
I(x, y)[M(x, y)dx+N(x, y)dy] = 0 (2.9)
e´ exata.
Considerando a equac¸a˜o
dy
dx
+ p(x)y = g(x) (2.10)
e o fator integrante como
µ(x) = e
∫
p(x)dx, (2.11)
a soluc¸a˜o e´ dada por
y =
∫
µ(x)g(x)dx+ c
µ(x)
. (2.12)
Passos para resoluc¸a˜o
1. Para resolver uma equac¸a˜o linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma (2.10);
2. Identifique P (x) e encontre o fator de integrac¸a˜o equac¸a˜o (2.11);
3. Multiplique a equac¸a˜o obtida em (2.10) pelo fator integrante;
4. O lado esquerdo da equac¸a˜o em (3) e´ a derivada do produto do fator de integrac¸a˜o e a
varia´vel dependente y;
5. Integre ambos os lados da equac¸a˜o encontrada em (4).
Exemplo 29 y′ = 2xy − x
2.5. Equac¸a˜o de Bernoulli 17
Exemplo 30 y′ + 3y = x+ e−2x
Exemplo 31 Determine a soluc¸a˜o do problema de valor inicial y′−y = 2xe2x e y(0) = 1.
Resolver pelo me´todo do fator integrante:
Exerc´ıcio 2.23 y′ − 2y = x2e2x sol. y = e2x
(
x3
3
+ c
)
Exerc´ıcio 2.24 y′ + y = xe−x + 1 sol. y = 1 + e−x
(
x2
2
+ c
)
Exerc´ıcio 2.25 y′ +
(
1
x
)
y = 3 cos 2x sol. y = 3
2
(
sin 2x+ 1
2x
cos 2x
)
+ c
x
Exerc´ıcio 2.26 y′ − y = 2.ex sol. y = ex (2x+ c)
Exerc´ıcio 2.27 xy′ + 2y = sinx sol. y = 1
x
(
1
x
sin x− cos x+ c
x
)
Exerc´ıcio 2.28 y′ + 2xy = 2xe−x2
sol. y = e−x
2
(x2 + c)
Exerc´ıcio 2.29 (1 + x2)y′ + 4xy = (1 + x2)−2 sol. y = (arctanx+ c) (1 + x2)−2
Exerc´ıcio 2.30 xy′ + (x+ 1)y = x sol. y = 1 + 1
x
(
c
ex
− 1)
Determine a soluc¸a˜o do problema de valor inicial:
Exerc´ıcio 2.31 y′ + 2y = xe−2x, y(1) = 0 sol. y = e
−x2
2
(x2 − 1)
Exerc´ıcio 2.32 xy′ + 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 1
2
y > 0 sol. y = x
2
4
− x
3
+ 1
2
+ 1
12x2
Exerc´ıcio 2.33 xy′ + 2y = sinx, y(pi
2
) = 1 sol. y = x−2
(
−x cosx+ sin x+ pi2
4
− 1
)
Exerc´ıcio 2.34 x3y′ + 4x2y = e−x, y(−1) = 0 sol. y = − x+1
x4ex
2.5 Equac¸a˜o de Bernoulli
A equac¸a˜o de Bernoulli
dy
dx
+ P (x)y = Q(x)yn, n 6= 1 (2.13)
pode ser reduzida para uma equac¸a˜o linear e ter sua soluc¸a˜o, atrave´s dos me´todos descritos
anteriormente.
18 2.6. Equac¸a˜o de Ricatti
Teorema 2.2 A equac¸a˜o diferencial de Bernoulli na˜o-linear dy
dx
+P (x)y = Q(x)yn, sendo
n 6= 0 ou 1, pode ser transformada numa equac¸a˜o diferencial linear atrave´s da mudanc¸a
de varia´veis z = y1−n que resulta numa equac¸a˜o diferencial linear em z.
Exemplo 32 Resolver a equac¸a˜o (1 + x2) dy
dx
+ xy = x3y3.
Exemplo 33 Resolver a equac¸a˜o dy
dx
= 4
x
y + x
√
y.
Resolva a equac¸a˜o diferencial de Bernoulli.
Exerc´ıcio 2.35 dy
dx
− y
x
= −y2
x
sol. y = x
x+c
Exerc´ıcio 2.36 dy
dx
+ y
x
= xy2 sol. y = 1
cx−x2
Exerc´ıcio 2.37 3 (1 + x2) dy
dx
= 2xy (y3 − 1) sol. y = 1
3
√
1+c(1+x2)
Exerc´ıcio 2.38 x2 dy
dx
− 2xy = 3y4 para y(1) = 1
2
sol. y = 1
(− 95x−1+ 495 x−6)
1
3
2.6 Equac¸a˜o de Ricatti
A equac¸a˜o diferencial na˜o-linear
dy
dx
= P (x) +Q(x)y +R(x)y2 (2.14)
e´ chamada de equac¸a˜o de Ricatti. Se y1 e´ uma soluc¸a˜o particular para (2.14), enta˜o as
substituic¸o˜es
y = y1 + u e
dy
dx
=
dy1
dx
+
du
dx
em (2.14) produzem a seguinte equac¸a˜o diferencial para u:
du
dx
− (Q+ 2y1R)u = Ru2. (2.15)
Como (2.15) e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida
a` equac¸a˜o linear
dz
dx
+ (Q+ 2y1R)z = −R (2.16)
atrave´s da substituic¸a˜o z = u−1.
Exemplo 34 Resolva dy
dx
= 2− 2xy + xy2 para y = 2x.
2.7. Aplicac¸o˜es das ED de Primeira Ordem 19
Resolva a equac¸a˜o de Ricatti dada; y1 e´ uma soluc¸a˜o conhecida para a equac¸a˜o.
Exerc´ıcio 2.39 dy
dx
= −2− y + y2, y1 = 2 sol. y = 2 + 1ce−3x− 1
3
Exerc´ıcio 2.40 dy
dx
= − 4
x2
− 1
x
y + y2, y1 =
2
x
sol. y = 2
x
+ 1
cx−3−x
4
Exerc´ıcio 2.41 dy
dx
= e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex sol. y = −ex + 1ce−x−1
Exerc´ıcio 2.42 dy
dx
= sec2x− (tanx)y + y2, y1 = tanx
2.7 Aplicac¸o˜es das ED de Primeira Ordem
2.7.1 Problemas de variac¸a˜o de temperatura
A lei de variac¸a˜o de temperatura de Newton afirma que a taxa de variac¸a˜o de temperatura
de um corpo e´ proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre o corpo e o meio ambiente.
Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Enta˜o, a taxa
de variac¸a˜o da temperatura do corpo e´ dT
dt
, e a lei de Newton relativa a` variac¸a˜o de
temperatura pode ser formulado como
dT
dt
= −k (T − Tm) , ou como dT
dt
+ kT = kTm (2.17)
onde k e´ uma constante positiva de proporcionalidade.
Escolhendo-se para k um valor positivo, torna-se necessa´rio o sinal negativo na lei de
Newton, a fim de tornar dT
dt
negativa em um processo de resfriamento. Note-se que, em
tal processo, T > Tm; assim T − Tm e´ positiva.
A equac¸a˜o (2.17) e´ a diferencial linear. A soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o e´:
T = Tm + Ce
−kt, onde C e´ a constante arbitra´ria.
Se T |t=0 = T0, enta˜o: C = T0 − Tm.
Assim, a soluc¸a˜o tem a forma: T = Tm + (T0 − Tm) e−kt.
Resulta dessa fo´rmula que para t suficientemente grande a temperatura T depende
pouco de T0.
2.7.2 Equac¸a˜o do movimento de um corpo
Equac¸a˜o do movimento de um corpo para um meio em que a resisteˆncia e´
proporcional a` velocidade
20 2.7. Aplicac¸o˜es das ED de Primeira Ordem
Deixe-se cair um corpo de massa m de uma certa altura. Pede-se para estabelecer a
lei de variac¸a˜o da velocidade da queda V , se o corpo experimentar uma resisteˆncia do ar
proporcional a` velocidade (sendo o coeficiente de proporcionalidade k), isto e´, encontrar
V = f(t).
Em virutde da segunda lei de Newton mdV
dt
= F , em que dV
dt
e´ a acelerac¸a˜o do
corpo em movimento (a derivada da velocidade em relac¸a˜o ao tempo) e F , a forc¸a que
age sobre o corpo no sentido do movimento. Esta forc¸a e´ constitu´ıda por duas forc¸as: pela
forc¸a de gravidade mg e pela resisteˆncia do ar −kV (toma-se o sinal menos porque
esta forc¸a e´ oposta a` velocidade). Assim,
m
dV
dt
= mg − kV . (2.18)
Temos uma equac¸a˜o diferencial sobre a func¸a˜o desconhecida V. (E´ a equac¸a˜o do movi-
mento de certos tipos de para-quedas). A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial (2.18)
e´:
V = Ce
−
k
m
t
+
mg
k
. (2.19)
Para encontrar a constante arbitra´ria C, vamos supor uma condic¸a˜o suplementar: uma
velocidade inicial V0 (que, em especial, pode ser nula) foi comunicada ao corpo na partida;
suporemos que esta velocidade incial e´ conhecida. Enta˜o, a func¸a˜o procurada V = f(t)
deve ser tal que se tenha para t = 0 (no comec¸o do movimento) V = V0. Substituindo
t = 0, V = V0 na equac¸a˜o (2.19), temos: V0 = C +
mg
k
, de onde C = V0 − mg
k
Assim, a dependeˆncia entre V e t e´:
V =
(
V0 − mg
k
)
e
−
k
m
t
+
mg
k
. (2.20)
Resulta desta fo´rmula que para t suficientemente grande a velocidade V depende
pouco de V0.
2.7.3 Circuitos em se´rie
A equac¸a˜o ba´sica que rege a quantidade de corrente i em um circu´ıto simples do tipo RL
consistindo de uma resisteˆncia R, um indutor L e uma forc¸a eletromotriz E e´:
L
di
dt
+Ri = E(t), (2.21)
2.7. Aplicac¸o˜es das ED de Primeira Ordem 21
onde i(0) = i0.
Esta equac¸a˜o e´ linear; sua soluc¸a˜o e´:
i(t) = i0e
−
R
L
t
+
E
R
1− e−RL t
 = (i0 − E
R
)
e
−
R
L
t
+
E
R
.
A quantidade
(
i0 − E
R
)
e
−
R
L
t
na soluc¸a˜o e´ chamada corrente transito´ria, pois tende
a zero quando t → ∞. A quantidade E
R
e´ chamada corrente estaciona´ria. Quando
t→∞, a corrente i tende para a corrente estaciona´ria.
Para um circu´ıto do tipo RC consistindo de uma resisteˆncia, um capacitor C, uma
forc¸a eletromotriz, e sem indutaˆncia, a equac¸a˜o que rege a quantidade de carga ele´trica
q no capacitor e´
R
dq
dt
+
1
C
q = E(t). (2.22)
A relac¸a˜o entre q e i e´ i =
dq
dt
.
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ q(t) = q0(t)e
−
1
RC
t
+ CE.
Exemplo 35 Uma bateria de 12 volts e´ conectada a um circuito em se´rie no qual a indutaˆ
ncia e´ de
1
2
henry e a resisteˆncia, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial
e´ zero.
Exemplo 36 Quando um bolo e´ retirado do forno, sua temperatura e´ de 300oF . Treˆs
minutos depois, sua temperatura passa para 200oF . Quanto tempo levara´ para sua tem-
peratura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado
for de exatamente 70oF?
Exerc´ıcio 2.43 Uma forc¸a eletromatriz (fem) de 30 volts e´ aplicada a um circuito em
se´rie L−R no qual a indutaˆncia e´ de 0, 5 henry e a resisteˆncia, 50 ohms. Encontre a
corrente i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quando t→∞. Sol. i = 35
(
1− e−100t).
Para t→∞, temos i = 35 .
Exerc´ıcio 2.44 Uma forc¸a eletromotiva de 100 volts e´ aplicada a um circuito R−C em
se´rie no qual a resisteˆncia e´ de 200 ohms e a capacitaˆncia, 10−4 farad. Encontre a carga
q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t). Sol. q (t) = 1100
(
1− e−50t) e,
i = dqdt temos i (t) =
1
2e
−50t.
22 2.7. Aplicac¸o˜es das ED de Primeira Ordem
Exerc´ıcio2.45 Um termoˆmetro e´ retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de
fora, em que a temperatura e´ de 5oC. Apo´s 1 minuto, o termoˆmetro marcava 20oC; apo´s
5 minutos, 10oC. Qual a temperatura da sala? Sol. T ∼= 24, 7411 que e´ a temperatura da
sala.
Cap´ıtulo 3
EQUAC¸O˜ES LINEARES DE
SEGUNDA ORDEM
3.1 EDL: Teoria das soluc¸o˜es
3.1.1 Dependeˆncia linear
Um conjunto de func¸o˜es {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} e´ linearmente dependente em a ≤ x ≤
b se existem constantes c1, c2, . . . , cn, na˜o todas nulas, tais que
c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cnyn(x) ≡ 0, em a ≤ x ≤ b (3.1)
Exemplo 37 O conjunto {x, 5x, 1, sin x} e´ linearmente dependente em [−5, 1] pois ex-
istem constantes c1 = −5, c2 = 1, c3 = 0 e c4 = 0, na˜o todas nulas, tais que (3.1) se
verifica. Em particular, −5x+ 1 · 5x+ 0 · 1 + 0 · sinx ≡ 0
Note que c1 = c2 = . . . = cn = 0 e´ um conjunto de constantes que sempre satisfaz (3.1).
Um conjunto de func¸o˜es e´ linearmente dependente se existe outro conjunto de constantes,
na˜o todas nulas, tais que (3.1) se verifica.
3.1.2 Independeˆncia linear
Um conjunto de func¸o˜es {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} e´ linearmente independente em a ≤
x ≤ b se na˜o e´ linearmente dependente a´ı; isto e´, se as u´nicas constantes que satisfazem
(3.1) em a ≤ x ≤ b sa˜o c1 = c2 = . . . = cn = 0.
24 3.1. EDL: Teoria das soluc¸o˜es
3.1.3 Soluc¸o˜es linearmente independentes. O Wronskiano
Teorema 3.1 A equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea de ordem n L(y) = 0 sempre tem
n soluc¸o˜es linearmente independentes. Se {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} representam essas
soluc¸o˜es, enta˜o a soluc¸a˜o geral de L(y) = 0 e´
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cnyn(x) (3.2)
onde c1, c2, . . . , cn sa˜o constantes arbitra´rias.
O teorema (3.1) acima realc¸a a importaˆncia de podermos determinar se um conjunto
de soluc¸o˜es de L(y) = 0 e´ linearmente independente ou na˜o. Em geral, o problema na˜o
pode ser resolvido diretamente a partir de (3.1); na˜o se pode experimentar todos os valores
poss´ıveis dos c′s. Existe, entretanto, um outro me´todo para abordar o problema.
Seja {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} um conjunto de func¸o˜es no intervalo I, cada uma das
quais possui n− 1 derivadas. Enta˜o o determinante na forma seguinte
W (y1, . . . , yn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y2 · · · yn
y′1 y
′
2 · · · y′n
...
...
. . .
...
y
(n−1)
1 y
(n−1)
2 · · · y(n−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(3.3)
e´ chamado o determinante de Wronskiano do dado conjunto de func¸o˜es. Se um conjunto
de func¸o˜es {y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x)} e´ linearmente dependente no intervalo I enta˜o
Wronskiano de W (y1, y2, . . . , yn) ≡ 0 neste intervalo.
Exemplo 38 As func¸o˜es y1 = e
−x, y2 = ex, y3 = e2x sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o y′′′− 2y′′−
y′ + 2y = 0.
Mostrar que as func¸o˜es dadas formam um sistema fundamental das equac¸o˜es diferen-
ciais correspondentes.
Exerc´ıcio 3.1 ex, e2x, e3x , y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0 Sol. 2e6x 6= 0
Exerc´ıcio 3.2 e−x, ex, xex , y′′′ − y′′ − y′ + y = 0 Sol. 4ex 6= 0
Exerc´ıcio 3.3 x1/2 , x−1/2, 1, x2y′′′ + 3xy′′ + 3
4
y′ = 0 Sol. 1
4
x−3 6= 0
Exerc´ıcio 3.4 ex, xex, x2ex, x3ex, y(4) − 4y′′′ + 6y′′ − 4y′ + y = 0 Sol. 12e4x 6= 0
3.2. A equac¸a˜o caracter´ıstica 25
3.2 A equac¸a˜o caracter´ıstica
Iniciemos considerando as equac¸o˜es homogeˆneas, isto e´, as equac¸o˜es da forma:
y′′ + ay′ + by = 0 (3.4)
onde a e b sa˜o constantes.
Suponhamos que a e b sa˜o reais e que o intervalo de variac¸a˜o de x e´ o eixo dos x.
Lembremos que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea linear de 1a ordem com coeficientes
constantes y′ + ky = 0 e´ uma func¸a˜o exponencial, a saber,
y = ce−kx (3.5)
de onde temos y = eλx, possa ser uma soluc¸a˜o de (3.4) se λ for escolhido adequadamente.
Substituindo (3.5) e suas derivadas y′ = λeλx e y′′ = λ2eλx , na equac¸a˜o (3.4). Enta˜o
(3.5) sera´ uma soluc¸a˜o de (3.4) se λ for uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o do 2o grau.
λ2 + aλ+ b = 0 (3.6)
Esta equac¸a˜o e´ chamada a equac¸a˜o caracter´ıstica (ou equac¸a˜o auxiliar) de (3.4). Suas
ra´ızes sa˜o: (λ− λ1)(λ− λ2) = 0 ou
λ1 =
1
2
(
−a+
√
a2 − 4b
)
, λ2 =
1
2
(
−a−
√
a2 − 4b
)
, (3.7)
Em vista da deduc¸a˜o segue-se que as func¸o˜es
y1 = e
λ1x e y2 = e
λ2x (3.8)
sa˜o soluc¸o˜es de (3.4).
Da a´lgebra elementar decorre, pelo fato de a e b serem reais, que a equac¸a˜o carac-
ter´ıstica (3.6) pode possuir: duas ra´ızes reais distintas; duas ra´ızes complexas conjugadas
ou, uma raiz dupla real.
Determinar as soluc¸o˜es das equac¸o˜es:
Exemplo 39 y′′ + y′ − 2y = 0
Exemplo 40 y′′ + y = 0
26 3.3. Soluc¸a˜o geral - sistema fundamental
Exemplo 41 y′′ − 2y′ + y = 0
Determinar as soluc¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais seguintes:
Exerc´ıcio 3.5 y′′ − 9y = 0
Exerc´ıcio 3.6 y′′ + 2y′ = 0
Exerc´ıcio 3.7 y′′ − 3y′ + 2y = 0
Exerc´ıcio 3.8 y′′ + w2y = 0
Exerc´ıcio 3.9 y′′ + 4y′ + 5y = 0
Exerc´ıcio 3.10 y′′ + 2y′ + 5y = 0
Determinar uma equac¸a˜o diferencial da forma (3.4) da qual as seguintes func¸o˜es sa˜o
soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 3.11 e−x, e−2x sol. y′′ + 3y′ + 2y = 0
Exerc´ıcio 3.12 1, e2x sol. y′′ − 2y′ = 0
Exerc´ıcio 3.13 e3ix, e−3ix sol. y′′ + 9y = 0
Exerc´ıcio 3.14 e(−3+4i)x, e(−3−4i)x sol. y′′ + 6y′ + 25y = 0
3.3 Soluc¸a˜o geral - sistema fundamental
Uma soluc¸a˜o de uma E.D.O. de segunda ordem (linear ou na˜o) e´ chamada uma soluc¸a˜o
geral se ela conte´m duas constantes arbitra´rias independentes (o intervalo de variac¸a˜o
das constantes pode ser restrito em alguns casos a fim de evitar expresso˜es imagina´rias
e outras degenerac¸o˜es). Aqui, independeˆncia significa que a mesma soluc¸a˜o na˜o pode ser
reduzida a uma forma contendo somente uma constante arbitra´ria ou nenhuma. Quando
atribu´ımos valores definidos a estas duas constantes, enta˜o a soluc¸a˜o obtida e´ chamada
uma soluc¸a˜o particular.
Consideremos a equac¸a˜o linear homogeˆnea
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 (3.9)
3.3. Soluc¸a˜o geral - sistema fundamental 27
e desejamos mostrar que uma soluc¸a˜o geral de tal equac¸a˜o pode ser facilmente obtida se
duas soluc¸o˜es adequadas y1 e y2 sa˜o conhecidas.
Se y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es de (3.9) em um dado intervalo I, enta˜o, temos:
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) (3.10)
onde c1 e c2 sa˜o constantes arbitra´rias, sera´ uma soluc¸a˜o de (3.9) no intervalo I. De vez
que ela encerra duas constantes arbitra´rias, ela sera´ uma soluc¸a˜o geral de (3.9), desde que
na˜o possa ser reduzida a uma expressa˜o contendo menos que duas constantes arbitra´rias.
3.3.1 Soluc¸a˜o em termos das ra´ızes
A soluc¸a˜o de (3.4) se obte´m diretamente a partir das ra´ızes de (3.7). Ha´ treˆs casos a
considerar.
• caso 1. λ1 e λ2 sa˜o ambas reais e distintas. eλ1x e eλ2x sa˜o duas soluc¸o˜es
linearmente independentes. A soluc¸a˜o geral e´
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ou y(x) = c1e
λ1x + c2e
λ2x (3.11)
• caso 2. λ1 = p+iq, complexo. Como, em (3.4) e (3.6), a e b supo˜em-se reais, as ra´ızes
de (3.5) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz e´ λ2 = p−iq. Duas
soluc¸o˜es linearmente independentes sa˜o e(p+iq)x e e(p−iq)x. O que nos interessa agora
e´ obter soluc¸o˜es reais a partir destas soluc¸o˜es complexas. Isto sera´ feito aplicando
as relac¸o˜es de Euler.
eiqx = cos qx+ i sin qx e e−iqx = cos qx− i sin qx
De onde no´s obtemos y(x) = c1e
px cos qx+ c2e
px sin qx ou
y(x) = epx(c1 cos qx+ c2 sin qx) (3.12)
onde c1 e c2 sa˜o constantes arbitra´rias reais.
28 3.3. Soluc¸a˜o geral - sistema fundamental
• caso 3. λ1 = λ2. eλ1x e xeλ1x sa˜o duas soluc¸o˜es LI; a soluc¸a˜o geral e´
y(x) = c1e
λ1x + c2xe
λ1x (3.13)
Observac¸a˜o 2 As soluc¸o˜es acima na˜o sa˜o va´lidas se a equac¸a˜o diferencial na˜o e´ linear
ou se na˜o tem coeficientes constantes.
Determinar uma soluc¸a˜o geraldas seguintes equac¸o˜es diferenciais:
Exemplo 42 y′′ + y′ − 2y = 0 sol. y(x) = c1ex + c2e−2x
Exemplo 43 y′′ − 2y′ + 10y = 0 sol. y(x) = ex(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)
Exemplo 44 y′′ + 8y′ + 16y = 0 sol. y(x) = (c1 + c2x) e−4x
Resolver o problema de valor inicial:
Exemplo 45 y′′ − 4y′ + 13y = 0 y(0) = 4, y′(0) = 1
Exemplo 46 y′′ + 4y′ − 21y = 0 y(0) = 3, y′(0) = 0
Determinar uma soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es diferenciais:
Exerc´ıcio 3.15 y′′ − y′ − 12y = 0 sol. y(x) = c1e4x + c2e−3x
Exerc´ıcio 3.16 y′′ + 4y′ + 5y = 0 sol. y(x) = e−2x (c1 cosx+ c2 sinx)
Exerc´ıcio 3.17 y′′ + 0, 2y′ + 0, 26y = 0 sol. y(x) = e−
x
10
(
c1 cos
x
2
+ c2 sin
x
2
)
Exerc´ıcio 3.18 4y′′ + 17y′ + 4y = 0 sol. y(x) = c1e−
x
4 + c2e
−4x
Exerc´ıcio 3.19 y′′ + 5y′ + 12, 5y = 0 sol. y(x) = e−
5x
2
(
c1 cos
5x
2
+ c2 sin
5x
2
)
Exerc´ıcio 3.20 2y′′ + 2y′ + y = 0 sol. y(x) = e−
x
2
(
c1 cos
x
2
+ c2 sin
x
2
)
Exerc´ıcio 3.21 25y′′ − 20y′ + 4y = 0 sol. y(x) = (c1 + c2x) e 25x
Exerc´ıcio 3.22 y′′ + 0, 25y = 0 sol. y(x) = c1 cos x2 + c2 sin
x
2
Exerc´ıcio 3.23 y′′ + 2αy′ + (α2 + 1)y = 0 sol. y(x) = e−αx (c1 cos x+ c2 sinx)
3.4. Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas 29
Exerc´ıcio 3.24 4y′′ − 4y′ − 3y = 0 sol. y(x) = c1e−x2 + c2e 32x
Resolver o problema de valor inicial proposto.
Exerc´ıcio 3.25 y′′ + 2y′ + 10y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3 sol. y(x) = e−x sin 3x
Exerc´ıcio 3.26 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1 sol. y(x) = (2− 7
3
x
)
e
2
3
x
Exerc´ıcio 3.27 y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2 sol. y(x) = 2xe3x
Exerc´ıcio 3.28 9y′′ + 6y′ + 82y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2 sol. y(x) =
e−
x
3
(− cos 3x+ 5
9
sin 3x
)
Exerc´ıcio 3.29 y′′ − 3y′ + 2y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0 sol. y(x) = e2x − ex sin 3x
Exerc´ıcio 3.30 y′′+4y′+5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −3 sol. y(x) = e−2x (cosx− sinx)
Exerc´ıcio 3.31 y′′+4y′+4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1 sol. y(x) = (7 + 5x) e−2(x+1)
3.4 Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas
Temos
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = r(x) (3.14)
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 (3.15)
Teorema 3.2 Uma soluc¸a˜o geral y (x) da equac¸a˜o diferencial linear (3.14) e´ a soma de
uma soluc¸a˜o geral yh (x) da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente (3.15) e de uma soluc¸a˜o
particular arbitra´ria yp (x) de (3.14).
y(x) = yh(x) + yp(x) (3.16)
Em cada caso verificar que yp(x) e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial dada
e determinar uma soluc¸a˜o geral.
Exemplo 47 y” + y = 2ex yp(x) = e
x
Exemplo 48 y” + y = 2 cosx yp(x) = x sin x
30 3.4. Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas
Em cada caso verificar que yp(x) e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial dada
e determinar uma soluc¸a˜o geral.
Exerc´ıcio 3.32 y′′ − y = 2ex, yp(x) = xex sol y (x) = c1ex + c2e−x + xex
Exerc´ıcio 3.33 y′′−3y′+2y = 2x2−6x+2, yp(x) = x2 sol y (x) = c1e2x+c2ex+x2
Exerc´ıcio 3.34 y′′ + 4y = −12 sin 2x, yp(x) = 3x cos 2x sol y (x) = c1 cos 2x +
c2 sin 2x+ 3x cos 2x
Exerc´ıcio 3.35 y′′ + 9y = 18x, yp(x) = 2x sol y (x) = c1 cos 3x+ c2 sin 3x+ 2x
Exerc´ıcio 3.36 y′′+y = 2 sinx, yp(x) = −x cosx sol y (x) = (c1 − x) cos x+c2 sin x
3.4.1 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas
O me´todo a ser utilizado e´ dos coeficientes a determinar. Este me´todo e´ adequado para
equac¸o˜es com coeficientes constantes
y′′ + ay′ + by = r(x) (3.17)
onde r(x) e´ tal que a forma de uma soluc¸a˜o particular yp(x) de (3.17) pode ser prognos-
ticada; por exemplo, r pode ser uma poteˆncia u´nica de x, um polinoˆmio, uma func¸a˜o
exponencial, um seno, um coseno, ou uma soma de tais func¸o˜es. O me´todo consiste em
imaginar para yp(x) uma expressa˜o semelhante a` de r(x), contendo coeficientes inco´gnitas
que sa˜o determinados substituindo yp(x) e suas derivadas em (3.17).
Resolver as equac¸o˜es na˜o homogeˆnea.
Exemplo 49 y′′ + 4y = 8x2
Exemplo 50 y′′ − y′ − 2y = 10 cosx
Termo em r (x) Escolha para yp (x)
Kxn(n = 0, 1, . . .) Knx
n+Kn−1xn−1+ . . .+K1x+K0
Kepx cepx
K cos qx
K sin qx
 K1 cos qx+K2 sin qx
3.4. Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas 31
Observac¸a˜o 3 Se r (x) e´ uma soma de func¸o˜es da primeira coluna, escolhemos para yp (x) a
soma das func¸o˜es nas linhas correspondentes.
• Pn (x)= eαx
 sin βxcos βx
• Caso em que a soluc¸a˜o homogeˆnea e´ igual ao valor da func¸a˜o r (x), conforme (3.14)
xs[(A0x
n + A1x
n−1 + ...+ An)eα cos βx+ (B0xn +B1xn−1 + ...+Bn)eα sin βx]
s→ e´ o menor inteiro na˜o negativo (s = 0, 1, 2, ...) que assegura na˜o haver nenhum termo
em yi (x) que seja soluc¸a˜o homogeˆnea correspondente.
Exemplo 51 y′′ − 3y′ + 2y = 4x+ e3x
Exemplo 52 y′′ − y = ex cos x
Determinar uma soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es diferenciais.
Exerc´ıcio 3.37 y′′ + y = x2 + x sol y (x) = x2 + x− 2 + c1 cos+ c2 sin x
Exerc´ıcio 3.38 y′′ + 5y′ + 6y = 9x4 − x sol y (x) = c1e−2x + c2e−3x + 96x4 − 5x3 +
19
2
x2 − 11x+ 6
Exerc´ıcio 3.39 y′′ − y′ − 2y = sin x sol y (x) = c1e2x + c2e−x + 110 cosx− 310 sinx
Exerc´ıcio 3.40 y′′ + y′ − 6y = 52 cos 2x sol y (x) = c1e2x + c2e−3x − 5 cos 2x+ sin 2x
Exerc´ıcio 3.41 y′′ + y′ − 2y = 3ex sol y (x) = c1ex + c2e−2x + xex
Exerc´ıcio 3.42 y′′ + y = 2 sinx sol y (x) = c1 cos x+ c2 sin x− x cosx
Exerc´ıcio 3.43 y′′ − 2y′ + 2y = 2ex cosx sol y (x) = ex (c1 cos x+ c2 sinx+ x sinx)
Exerc´ıcio 3.44 y′′ + y = −x− x2 sol c1 cos x+ c2 sin x− x2 − x+ 2
Exerc´ıcio 3.45 y′′ + y = sin x sol c1 cos x+ c2 sin x− 12x cos x
Exerc´ıcio 3.46 y′′ + 4y = e−x sol c1 cos 2x+ c2 sin 2x+ 15e
−x
Exerc´ıcio 3.47 y′′ − y′ − 2y = 4 sinx sol c1e2x + c2e−x + 49 cos x− 43 sinx
Resolver os seguintes problemas de valor inicial
32 3.4. Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas
Exerc´ıcio 3.48 y′′−2y′+y = 2x2−8x+4; y(0) = 3, y′(0) = 3 sol y (x) = 3ex+2x2
Exerc´ıcio 3.49 y′′ − y′ − 2y = 10 sinx; y(0) = 2, y′(0) = −3 sol y (x) = 1
3
e2x +
2
3
e−x + cosx− 3 sin x
Exerc´ıcio 3.50 y′′−y′−2y = 3e2x; y(0) = 0, y′(0) = −2 sol y (x) = e−x−e2x+xe2x
Exerc´ıcio 3.51 y′′+2y′+2y = −2 cos 2x− 4 sin 2x; y(0) = 1, y′(0) = 1 sol y (x) =
e−x sinx+ cos 2x
Exerc´ıcio 3.52 y′′ + 4y′ + 8y = 4 cosx + 7 sinx; y(0) = 1, y′(0) = −1 sol y (x) =
e−2x cos 2x+ sin x
3.4.2 Me´todo Geral
Para resolver equac¸o˜es diferenciais lineares de 2a ordem com coeficientes constantes na˜o-
homogeˆneas pelo me´todo dos coeficientes a determinar nos deparamos com uma limitac¸a˜o
que e´ o tipo da func¸a˜o r(x). Se esta na˜o for um polinoˆmio, uma func¸a˜o trigonome´trica ou
uma exponencial necessitamos de um me´todo geral que supere esta deficieˆncia.
Ha´ um me´todo geral para resolver tais equac¸o˜es, no qual r(x) pode ser uma das func¸o˜es
ja´ citadas, bem como ln x, tan, sec x, 1
x
, etc. Esse me´todo e´ conhecido como variac¸a˜o de
paraˆmetros.
Consideremos a equac¸a˜o
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = r(x) (3.18)
Supondo que f , g e r sa˜o func¸o˜es cont´ınuas sobre um intervalo I.
Sabemos que a equac¸a˜o homogeˆnea corresponde y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 possui uma
soluc¸a˜o geral yh (x) sobre I, que apresenta a formaua soluc¸a˜o geral sera´: y = yh + yp.
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente sera´ dada por
yh (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) . (3.19)
A ide´ia do me´todo e´ trocar c1 e c2 em (3.19) por func¸o˜es u(x) e v (x) de tal maneira
que a substituic¸a˜o resulte em uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o dada (3.18). Assim,
teremos
yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) , (3.20)
3.4. Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas 33
seja uma soluc¸a˜o particular de (3.18) sobre I. Derivando vem
y′p = u
′y1 + uy′1 + v
′y2 + vy′2. (3.21)
Suponhamos que u′y1+v′y2 = 0, pois e´ uma soluc¸a˜o para a homogeˆnea correspondente.
Isso reduz (3.21) a:
y′p = uy
′
1 + vy
′
2. (3.22)
Derivando novamente, vem:
y′′p = u
′y′1 + uy
′′
1 + v
′y′2 + vy
′′
2 .(3.23)
Substituindo (3.20), (3.22) e (3.23) em (3.18), vem:
u′y′1 + uy
′′
1 + v
′y′2 + vy
′′
2 + f(x)(uy
′
1 + vy
′
2) + g(x)(uy1 + vy2) = r(x)
u′y′1 + uy
′′
1 + v
′y′2 + vy
′′
2 + fuy
′
1 + fvy
′
2 + guy1 + gvy2 = r(x)
u(y′′1 + fy
′
1 + gy1) + v(y
′′
2 + fy
′
2 + gy2) + u
′y′1 + v
′y′2 = r(x)
As expresso˜es entre pareˆnteses na u´ltima linha sa˜o nulas, pois sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
homogeˆnea correspondente a (3.18). Enta˜o so´ resta:
u′y′1 + v
′y′2 = r(x). (3.24)
Anteriormente, foi suposto que u′y1 + v′y2 = 0. Tomemos esta expressa˜o, juntamente
com (3.24), e formemos um sistema de equac¸o˜es em u′ e v′:
 u′y1 + v′y2 = 0u′y′1 + v′y′2 = r(x)
Resolvendo pela regra de Cramer, teremos:
D =
∣∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣∣∣=W (y1, y2) = y1y′2−y′1y2
Du′=
∣∣∣∣∣∣ 0 y2r(x) y′2
∣∣∣∣∣∣= −r(x)y2
Dv′=
∣∣∣∣∣∣ y1 0y′1 r(x)
∣∣∣∣∣∣= r(x)y1
Enta˜o, u′ = Du′
W
= −r(x)y2
W
e v′ = Dv′
W
= r(x)y1
W
. (Repare que D e´ o wronskiano formado
com y1 e y2).
Integrando, vem: u = − ∫ r(x)y2
W
dx e v =
∫ r(x)y1
W
dx.
Logo, uma soluc¸a˜o particular para (3.18), pode ser escrita: yp = −y1
∫ r(x)y2
W
dx +
34 3.5. Aplicac¸a˜o f´ısica
y2
∫ r(x)y1
W
dx.
Portanto, a soluc¸a˜o geral de (3.18) sera´: y = c1y1+ c2y2−y1
∫ r(x)y2
W
dx+y2
∫ r(x)y1
W
dx.
Exemplo 53 Resolver a equac¸a˜o y′′ + y = secx.
Exemplo 54 Resolver a equac¸a˜o y′′ − 4y′ + 4y = (x+ 1)e2x.
Exemplo 55 Resolver a equac¸a˜o 4y′′ + 36y = csc3 x
Encontre a soluc¸a˜o geral, usando o me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros.
Exerc´ıcio 3.53 y′′ + y = csc x sol y (x) = c1 cosx+ c2 sinx− x cos x+ sin x ln (sin x)
Exerc´ıcio 3.54 y′′ − 4y′ + 4y = e2x
x
sol y (x) = (c1 + c2x+ x lnx− x) e2x
Exerc´ıcio 3.55 y′′ + 2y′ + y = e−x cos x sol y (x) = (c1 + c2x− cos x) e−x
Exerc´ıcio 3.56 y′′ − 2y′ + y = x 32 ex sol y (x) =
(
c1 + c2x+
4
35
x
7
2
)
ex
Exerc´ıcio 3.57 y′′ + 2y′ + 2y = e
−x
cos3 x
sol y (x) = e−x
(
c1 cos x+ c2 sin x− 12 cos 2xcosx
)
Exerc´ıcio 3.58 y′′ + y = tanx sol y (x) = c1 sin x+ c2 cos x− cos x log |sec x+ tanx|
3.5 Aplicac¸a˜o f´ısica
Consideremos um sistema f´ısico cujas pequenas oscilac¸o˜es sejam regidas pela equac¸a˜o
diferencial
x¨+ a1x˙+ a0x = f(t) (3.25)
Aqui, conhecem-se a func¸a˜o f(t) e as constantes a1 e a0.
Se f(t) ≡ 0 e a1 = 0, o movimento e´ livre e na˜o-amortecido. Se f(t) e´ identicamente
nula mas a1 na˜o e´ zero, o movimento e´ livre e amortecido. Para o movimento amortecido,
ha´ treˆs casos separados e considerar, conforme as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica associada
sejam (1) reais e distintas, (2) iguais, ou (3) complexas conjugadas. Esses treˆs casos se
classificam, respectivamente, como (1) superamortecido, (2) criticamente amortecido, e
(3) oscilato´rio amortecido (ou, em problemas de eletricidade, subamortecido). Se f(t)
na˜o e´ identicamente nula, o movimento se diz forc¸ado.
Um movimento ou corrente se diz transito´rio se se desvanece (isto e´, tende a zero)
quando t → ∞. Um movimento (ou corrente) estaciona´rio e´ um movimento que na˜o
3.5. Aplicac¸a˜o f´ısica 35
e´ transito´rio nem se torna ilimitado. Sistemas livres amortecidos sempre originam movi-
mentos transito´rios, enquanto sistemas forc¸ados amortecidos (admitindo senoidal a forc¸a
exterior) originam ambos os movimentos - transito´rio e estaciona´rio.
Movimento de uma mola vibrante
x¨+
a
m
x˙+
k
m
x =
F (t)
m
onde m→ massa; k → constante e a→ resisteˆncia do ar.
Carga do capacitor
L
d2q
dt2
+R
dq
dt
+
1
C
q = E(t).
As condic¸o˜es iniciais para q sa˜o q (0) = q0 e
dq
dt
|t=0 = I (0) = I0.
Corrente
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
1
C
I =
dE(t)
dt
.
A primeira condic¸a˜o inicial e´ I (0) = I. A segunda condic¸a˜o inicial e´ obtida de dI
dt
|t=0 =
1
L
E (0)− R
L
I0 − 1LC q0.
Exemplo 56 Uma massa de 10 kg se acha suspensa de uma mola cuja constante e´
140N/m . Po˜e-se a massa em movimento, a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio, com uma
velocidade inicial de 1m/s no sentido ”para cima ”e com uma forc¸a externa aplicada
F (t) = 5 sin t. Determine o movimento subsequ¨ente da massa se a resisteˆncia do ar e´
dada por 90N .
Exemplo 57 Um peso de 128 lb acha-se suspenso de uma mola, cuja constante e´ 64 lb/pe˙.
Po˜e-se o peso em movimento sem velocidade inicial, deslocando-o de 6 polegadas ”para
cima ”de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e simultaneamente aplicando-lhe uma forc¸a externa
F (t) = 8 sin 4t. Desprezando a resisteˆncia do ar, determine o movimento subsequ¨ente do
peso.
Exemplo 58 Um circu´ıto RCL tem R = 180 ohms, C = 1
280
farad, L = 20 henries,
e uma voltagem aplicada de E(t) = 10 sin t. Admitindo que na˜o haja carga inicial no
capacitor, mas uma corrente inicial de 1 ampe´re em t = 0 quando se aplica inicialmente
a voltagem, determine a carga subsequ¨ente no capacitor.
Exerc´ıcio 3.59 Um circu´ıto RCL tem R = 10 ohms, C = 10−2 farad, L = 1
2
henries, e
uma voltagem aplicada de E(t) = 12 volts. Admitindo que na˜o haja corrente inicial nem
36 3.5. Aplicac¸a˜o f´ısica
carga inicial quando t = 0, ao se aplicar inicialmente a voltagem, determine a corrente
subsequ¨ente no sistema.
Exerc´ıcio 3.60 Uma massa de 1
4
slug se acha suspensa de uma mola, distendendo-a de
6 polegadas ale´m de seu comprimento natural. Po˜e-se enta˜o a massa em movimento,
a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio, com uma velocidade inicial de 4 pe´s/s ”para cima ”.
Determine o movimento subsequ¨ente da massa, se a resisteˆncia do ar e´ dada por 2x˙ lb.
Exerc´ıcio 3.61 Um circu´ıto RCL, com R = 6 ohms, C = 0, 02 farad, L = 0, 1 henries,
tem uma voltagem aplicada de E(t) = 6 volts. Supondo que na˜o haja corrente inicial nem
carga inicial quando t = 0, ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga
subsequ¨ente no capacitor e a corrente no circu´ıto.
Cap´ıtulo 4
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS
LINEARES DE ORDEM n
4.1 Equac¸o˜es de ordem superior
Em geral, para resolver uma equac¸a˜o diferencial de ordem n
any
(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a2y′′ + a1y′ + a0y = 0, (4.1)
onde os ai, i = 0, 1, . . . , n sa˜o constantes reais, precisamos resolver uma equac¸a˜o polinomial
de grau n
anm
(n) + an−1m(n−1) + · · ·+ a2m2 + a1m+ a0 = 0. (4.2)
Se todas as ra´ızes de (4.2) forem reais e distintas, enta˜o a soluc¸a˜o geral de (4.1) sera´
y = c1e
m1x + c2e
m2x + · · ·+ cnemnx.
E´ um pouco mais dif´ıcil resumir os ana´logos dos casos em que as ra´ızes sa˜o reais
repetidas e as complexas conjugadas, pois as ra´ızes de uma equac¸a˜o auxiliar de grau
superior a 2 podem ocorrer de va´rias formas. Por exemplo, uma equac¸a˜o de quinto grau
pode ter cinco ra´ızes distintas, treˆs ra´ızes distintas e duas ra´ızes complexas, uma raiz
real e quatro ra´ızes complexas, cinco ra´ızes reais iguais ou cinco ra´ızes reais, mas duas
das quais iguais, e assim por diante. Quando m1 e´ uma ra´ız de multiplicidade k de uma
equac¸a˜o auxiliar de grau n (isto e´, k ra´ızes sa˜o iguais a m1), podemos mostrar que as
38 4.1. Equac¸o˜es de ordem superior
soluc¸o˜es linearmente independentes sa˜o
em1x, xem1x, x2em1x, . . . , xk−1em1x
e a soluc¸a˜o geral deve conter a combinac¸a˜o linear
c1e
m1x + c2xe
m1x + c3x
2em1x + · · ·+ ckxk−1em1x.
Finalmente, deve ser lembrado que, se os coeficientes forem reais, ra´ızes complexas da
equac¸a˜o auxiliar aparecera˜o sempre em pares conjugados. Assim, uma equac¸a˜o polinomial
cu´bica, por exemplo, pode ter no ma´ximo duas ra´ızes complexas.
Exemplo 59 Resolva y′′′ + 3y′′ − 4y = 0
Exemplo 60 Resolva d
4y
dx4
+ 2 d
2y
dx2
+ y = 0
Exemplo 61 Resolva 3y′′′ + 5y′′ + 10y′ − 4y = 0
Exemplo 62 Resolva y(6) − 16y′′ = 0.
Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜odiferencial de ordem superior dada.
Exerc´ıcio 4.1 y′′′ − 4y′′ − 5y′ = 0
Exerc´ıcio 4.2 y′′′ − 5y′′ + 3y′+ 9y = 0
Exerc´ıcio 4.3 y(4) + y′′′ + y′′ = 0
Exerc´ıcio 4.4 y(4) − 2y′′ + y = 0
Exerc´ıcio 4.5 d
5u
dr5
+ 5d
4u
dr4
− 2d3u
dr3
− 10d2u
dr2
+ du
dr
+ 5u = 0
Exerc´ıcio 4.6 y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 sol λ1,2,3 = 1 y(t) = c1et + c2tet + c3t2et
Exerc´ıcio 4.7 y(4) + 6y′′′ + 5y′′ − 24y′ − 36y = 0 sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = −3
y(t) = c1e
2t + c2e
−2t + (c3 + c4t)e−3t
Exerc´ıcio 4.8 y(4) + 5y′′ − 36y = 0 sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = ±3i y(t) =
c1e
2t + c2e
−2t + c3 cos 3t+ c4 sin 3t
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exerc´ıcio 4.9 y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = −7
Exerc´ıcio 4.10 y′′′ + 2y′′ − 5y′ − 6y = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 1
4.2. Equac¸o˜es de ordem superior usando coeficientes a determinar 39
4.2 Equac¸o˜es de ordem superior usando coeficientes
a determinar
Exemplo 63 Resolva y′′′ + y′′ = ex cosx
Use coeficientes a determinar para resolver a equac¸a˜o diferencial dada.
Exerc´ıcio 4.11 y′′′ − 6y′′ = 3− cos x
Exerc´ıcio 4.12 y′′′+2y′′− y′− 2y = 1− 4x3 sol. y (x) = c1ex+ c2e−x+ c3e−2x+2x3−
3x2 + 15x− 8
Exerc´ıcio 4.13 yiv−5y”+4y = 10 cosx sol y (x) = c1ex+c2e−x+c3e2x+c4e−2x+cos x
Exerc´ıcio 4.14 y′′′ − 2y′′ − 4y′+ 8y = 6xe2x
Exerc´ıcio 4.15 y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex
Exerc´ıcio 4.16 y′′′ − y′′ − 4y′+ 4y = 5− ex + e2x
Exerc´ıcio 4.17 y(4) + 2y′′ + y = (x− 1)2
Exerc´ıcio 4.18 y(4) − y′′ = 4x+ 2xe−x
Exerc´ıcio 4.19 y′′′ + y′ = tanx
Exerc´ıcio 4.20 y′′′ + 4y′ = sec 2x
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exerc´ıcio 4.21 y′′′ − 2y′′ + y′ = 2− 24ex + 40e5x , y(0) = 1
2
, y′(0) = 5
2
, y′′(0) = −9
2
Exerc´ıcio 4.22 y′′′ + 8y = 2x− 5 + 8e−2x , y(0) = −5, y′(0) = 3, y′′(0) = −4
40 4.3. Equac¸a˜o de Cauchy-Euler
4.3 Equac¸a˜o de Cauchy-Euler
Uma equac¸a˜o diferencial linear da forma
anx
n d
ny
dxn
+ an−1xn−1
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ a1xdy
dx
+ a0y = g(x), (4.3)
onde os coeficientes an, an−1, . . . , a0 sa˜o constantes, e´ conhecida como uma equac¸a˜o de
Cauchy-Euler. A caracter´ıstica observa´vel desse tipo de equac¸a˜o e´ que o grau k = n, n−
1, . . . , 1, 0 dos coeficientes monomiais xk coincide com a ordem k da diferenciac¸a˜o d
ky
dxk
.
Iniciemos a discussa˜o com um exame detalhado das formas da soluc¸a˜o geral de uma
equac¸a˜o homogeˆnea de segunda ordem
x2
d2y
dx2
+ αx
dy
dx
+ βy = 0. (4.4)
onde α e β sa˜o constantes reais.Temos a equac¸a˜o auxiliar
m2 + (α− 1)m+ β = 0 (4.5)
Ha´ treˆs casos diferentes a serem considerados, dependendo de as ra´ızes dessa equac¸a˜o
quadra´tica serem reais e distintas, reais e iguais ou complexas
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de ordem superior segue analogamente. Podemos tambe´m re-
solver a equac¸a˜o na˜o homogeˆnea x2y′′ + αxy′ + βy = g(x) por variac¸a˜o de paraˆmetros,
desde que determinemos primeiro a func¸a˜o complementar yp.
Ra´ızes distintas
Se as ra´ızesm1 em2 desta equac¸a˜o sa˜o reais e distintas, enta˜o as func¸o˜es y1(x) = x
m1
e y2(x) = x
m2 constituem um sistema fundamental de soluc¸o˜es de (4.4) para qualquer
valor de x para os quais estas func¸o˜es sa˜o reais e finitas. A soluc¸a˜o geral correspondente e´
y = c1x
m1 + c2x
m2 (4.6)
Exemplo 64 x2y′′ − 3
2
x.y′ − 3
2
y = 0
Ra´ızes reais e repetidas
A equac¸a˜o auxiliar (4.4) possui uma raiz duplam1 = m2, se e somente se β =
1
4
(α−1)2
e enta˜o m1 = m2 =
1
2
(1− α) sa˜o soluc¸o˜es de (4.3) no caso de uma raiz dupla m de (4.5).
4.3. Equac¸a˜o de Cauchy-Euler 41
A soluc¸a˜o geral correspondente e´:
y (x) = (c1 + c2 ln x)x
m. (4.7)
Exemplo 65 x2y′′ − 3x.y′ + 4y = 0 sol m = 2 → y (x) = (c1 + c2 ln x)x2
Ra´ızes complexas conjugadas
Se as ra´ızes de (4.5) forem um par de nu´meros complexos conjugados m1 = p + qi e
m2 = p− qi, onde p e q > 0 sa˜o reais, enta˜o uma soluc¸a˜o geral sera´
y (x) = xp[c1 cos(q ln x) + c2 sin(q ln x)]. (4.8)
Exemplo 66 4x2y′′ + 17y = 0, y(1) = −1, y′(1) = 0
Equac¸a˜o de terceira ordem
Exemplo 67 Resolva x3 d
3y
dx3
+ 5x2 d
2y
dx2
+ 7x dy
dx
+ 8y = 0
Variac¸a˜o de paraˆmetros
Exemplo 68 x2y′′ − 3xy′ + 3y = 2x4ex
Determinar uma soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es diferenciais:
Exerc´ıcio 4.23 x2y′′ + xy′ − y = 0 sol y(x) = c1x+ c2x−1
Exerc´ıcio 4.24 x2y′′ + xy′ + 4y = 0 sol y(x) = c1 cos(2 ln x) + c2 sin(2 ln x)
Exerc´ıcio 4.25 x2y′′ + xy′ − 4y = 0 sol y(x) = c1x2 + c2x−2
Exerc´ıcio 4.26 x2y′′ + 3, 5xy′ + y = 0 sol y(x) = c1x−2 + c2
√
x
x
Exerc´ıcio 4.27 25x2y′′ + 25xy′ + y = 0 sol y(x) = c1 cos(15 ln x) + c2 sin(
1
5
lnx)
Exerc´ıcio 4.28 x2y′′ − xy′ + 0, 75y = 0 sol y(x) = (c1x+ c2)
√
x
Exerc´ıcio 4.29 x2y′′ + 0, 25y = 0 sol y (x) = (c1 + c2 ln x)
√
x
Exerc´ıcio 4.30 x2y′′ + 5xy′ + 3y = 0 sol y(x) = c1x−1 + c2x−3
Exerc´ıcio 4.31 3x2y′′ +6xy′ + y = 0 sol y(x) = x−1/2
[
c1 cos(
√
3
6
ln x) + c2 sin
√
3
6
ln x)
]
42 4.3. Equac¸a˜o de Cauchy-Euler
Exerc´ıcio 4.32 x3y′′′ − 6y = 0 sol y(x) = c1x3 + c2 cos(
√
2 lnx) + c3 sin
√
2 ln x)
Exerc´ıcio 4.33 3x3y′′′ + xy′ − y = 0
Exerc´ıcio 4.34 x4y(4) + 6x3y′′′ + 9x2y′′ + 3xy′ + y = 0 sol y(x) = c1 cosx+ c2 sinx+
c3x cos x+ c4x sin x)
Resolva a equac¸a˜o diferencial dada por variac¸a˜o de paraˆmetros.
Exerc´ıcio 4.35 2x2y′′ + 5xy′ + y = x2 − x
Exerc´ıcio 4.36 x2y′′ − xy′ + y = 2x sol y(x) = c1x+ c2x ln x+ x(lnx)2
Exerc´ıcio 4.37 x2y′′ − 2xy′ + 2y = x4ex
Exerc´ıcio 4.38 x2y′′ + xy′ − y = lnx sol y(x) = c1x−1 + c2x− lnx
Exerc´ıcio 4.39 x2y′′ + xy′ − y = 1
x+1
Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Exerc´ıcio 4.40 x2y′′ + xy′ − 0, 25y = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1 sol y = √x
Exerc´ıcio 4.41 x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 1 sol y (x) = (1− ln x)x2
Exerc´ıcio 4.42 x2y′′+xy′+y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 2 sol y(x) = cos(lnx)+2 sin(lnx)
Exerc´ıcio 4.43 x2y′′ + xy′ − 2, 25y = 0, y(1) = 2, y′(1) = 0 sol y (x) = √x (x+ 1
x2
)
Exerc´ıcio 4.44 x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0, y(1) = 0, y′(1) = −2 sol y (x) = (1− x2)x
Exerc´ıcio 4.45 x2y′′ − 5xy′ + 8y = 8x6, y(1
2
) = 0, y′(1
2
) = 0
Cap´ıtulo 5
SE´RIES NUME´RICAS
5.1 Me´todo de Se´ries
As equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas lineares com coeficientes constantes podem ser re-
solvidas por me´todos alge´bricos e que as soluc¸o˜es sa˜o func¸o˜es elementares conhecidas do
ca´lculo. No caso de equac¸o˜es com coeficientes varia´veis, a situac¸a˜o e´ mais complicada e
as soluc¸o˜es podem ser func¸o˜es elementares. As equac¸o˜es de Bessel, Legendre e a hiper-
geome´trica sa˜o deste tipo. Como estas e outras equac¸o˜es e suas soluc¸o˜es representam
um papel importante na Matema´tica aplicada a` Engenharia, vamos examinar um me´todo
para resoleˆ-las. As soluc¸o˜es aparecem sob a forma de se´ries de poteˆncias, motivo por que
o me´todo e´ conhecido como me´todo da se´rie de poteˆncias.
5.1.1 O me´todo da Se´rie de Poteˆncias
Examinemos a seguir a soluc¸a˜o de ED pelo chamado me´todo da se´rie de poteˆncias, que
fornece soluc¸o˜es sob a forma de se´ries de poteˆncias.
Recordamos que uma se´rie de poteˆncias1 (em poteˆncias de x− a) e´ uma se´rie infinita
da forma ∞∑
n=0
cn(x− a)n= c0+c1(x− a) + c2(x− a)2+ . . ., (5.1)
onde c0, c1, . . . sa˜o constantes, denominados coeficientes da se´rie, a e´ uma constante,
chamada centro, e x e´ uma varia´vel.
1O termo se´rie de poteˆncias isolado, normalmente se refere a uma se´rie da forma ( 5.1),
incluindo o caso particular (5.14), mas na˜o inclui as se´ries de poteˆncias negativas de x tal como
c0 + c1x
−1 + c2x−2 + . . . ou as se´ries envolvendo poteˆncias fraciona´rias de x. Notamos que, em
(5.1), escrevemos, por convenieˆncia, (x− a)0 = 1, mesmo quando x = a.
44 5.1. Me´todo de Se´ries
No caso particular a =0, obtemos uma se´rie de poteˆncias em poteˆncias de x.
∞∑
n=0
cnx
n= c0+c1x+ c2x
2+c3x
3+ . . ., (5.2)
Vamos supor que todas as varia´veis e constantes sa˜o reais.
As se´ries de Maclaurin sa˜o exemplos de se´ries de poteˆncias:
1
1− x=
∞∑
n=0
xn= 1 + x+ x2+x3+ . . . (|x| < 1, se´rie geome´trica) ,
ex=
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .,
cos x =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
= 1−x
2
2!
+
x4
4!
−+ . . .,
sinx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
= x−x
3
3!
+
x5
5!
−+ . . .,
A ide´ia fundamental do me´todo da se´rie de poteˆncias para resolver uma equac¸a˜o
diferencial e´ muito simples e expontaˆnea.
Sendo dada uma equac¸a˜o diferencial, desenvolvemos todas as func¸o˜es dadas que nela
figuram, em se´ries de poteˆncias de x (ou em poteˆncias de x − a, se desejamos a soluc¸a˜o
sob a forma de uma se´rie de poteˆncias de x − a). Em seguida, imaginamos uma soluc¸a˜o
sob a forma de uma se´rie de poteˆncias, digamos
y = c0+c1x+ c2x
2+c3x
3+ . . . =
∞∑
n=0
cnx
n (5.3)
e substitu´ımos esta se´rie e as se´ries obtidas por derivac¸a˜o termo a termo
y′= c1+2c2x+ 3c3x2+ . . . =
∞∑
n=1
ncnx
n−1
y′′= 2c2+3.2c3x+ 4.3c4x2+ . . . =
∞∑
n=2
n (n− 1) cnxn−2 (5.4)
etc, na equac¸a˜o. Adicionando todos os termos que conteˆm a mesma poteˆncia de x, a
5.1. Me´todo de Se´ries 45
equac¸a˜o resultante pode ser escrita
k0 + k1x+ k2x
2 + k3x
3 + . . . = 0 (5.5)
onde as constantes k0, k1, k2, . . . sa˜o expresso˜es que conteˆm os coeficientes inco´gnitos
c0, c1, c2, . . . em (5.15). A fim de que (5.5) se verifique para qualquer x em um inter-
valo dado, devemos ter k0 = 0, k1 = 0, k2 = 0, . . ..
Empregando estas equac¸o˜es podemos determinar os coeficientes c0, c1, c2, . . . sucessi-
vamente.
Exemplo 69 Resolver y′ − y = 0.
Exemplo 70 Resolver y′′ + y = 0.
5.1.2 Soluc¸a˜o em Se´rie de Poteˆncias
Considere a equac¸a˜o diferencial ordina´ria de 2aordem
a0(x)
d2y
dx2
+a1(x)
dy
dx
+a2(x)y = 0 (5.6)
que agora tem coeficientes varia´veis. Queremos obter pelo menos uma soluc¸a˜o y(x), na
forma de uma se´rie de poteˆncias como
y(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)n (5.7)
onde x0 e´ o ponto em torno do qual queremos achar a soluc¸a˜o. Esta expressa˜o e´ uma
se´rie, mas na˜o necessariamente a se´rie de Taylor de alguma func¸a˜o f(x).
Podemos reescrever a equac¸a˜o diferencial na forma normalizada
d2y
dx2
+P 1(x)
dy
dx
+P 2(x)y = 0 (5.8)
onde P1(x) =
a1(x)
a0(x)
e P2(x) =
a2(x)
a0(x)
.
Note que P1(x) e P2(x) sa˜o duas func¸o˜es racionais a qual na˜o se pode escrever a se´rie de
Taylor de uma func¸a˜o racional em torno dos pontos x0 que sa˜o as ra´ızes do denominador.
Definic¸a˜o 5.1 Se ambas as func¸o˜es P1(x) e P2(x) sa˜o anal´ıticas em x0, este ponto e´
46 5.1. Me´todo de Se´ries
dito ordina´rio. Se pelo menos uma das func¸o˜es P1(x) e P2(x) na˜o e´ anal´ıtica em x0, este
ponto e´ dito singular.
Por exemplo, na equac¸a˜o diferencial d
2y
dx2
+ x dy
dx
+ (x2 + 5)y = 0 temos P1(x) = x
e P2(x) = x
2 + 5 que sa˜o polinoˆmios e na˜o tem ponto singular. Todos os pontos sa˜o
ordina´rios. Ja´ a equac¸a˜o diferencial d
2y
dx2
+ 1
x
dy
dx
+ (x2 − 4x + 5)y = 0 onde P1(x) = 1x e
P2(x) = x
2 − 4x+ 5 tem um ponto singular em x0 = 0, apesar de P2(x) ser anal´ıtica em
todos os pontos.
Teorema 5.1 A equac¸a˜o diferencial 5.8 tem duas soluc¸o˜es diferentes, linearmente in-
dependentes, na forma da equac¸a˜o y(x) =
∞∑
n
an(x − x0)n desde que x0 seja um ponto
ordina´rio. Ou seja, se x0 for um ponto ordina´rio de 5.8, atrave´s do me´todo de se´ries e´
poss´ıvel encontrar as duas soluc¸o˜es LI em torno de x0 que formam a soluc¸a˜o geral da
equac¸a˜o diferencial. O que diferencia as duas soluc¸o˜es sa˜o os an.
Como exemplo, no caso das duas equac¸o˜es diferenciais anteriores, a primeira na˜o tem
nenhum ponto singular, e assim podemos achar a soluc¸a˜o para qualquer valor de x0, como,
por exemplo, y(x) =
∞∑
n
an(x− 2)n, y(x) =
∞∑
n
an(x)
n, y(x) =
∞∑
n
an(x+ 4)
n. No entanto,
a segunda tem um ponto singular em x0 = 0. Com certeza ela tem duas soluc¸o˜es LI para
x0 6= 0, isto e´, y(x) =
∞∑
n
an(x− 2)n, y(x) =
∞∑
n
an(x+ 4)
n mas na˜o sabemos ainda o que
ocorre se x0 = 0.
Exemplo 71 Consideremos o me´todo para pontos ordina´rios, a primeira equac¸a˜o difer-
encial do exemplo anterior,
d2y
dx2
+x
dy
dx
+(x2+5)y = 0 (5.9)
que na˜o tem nenhum ponto singular. Vamos achar uma soluc¸a˜o em torno de x0 = 0 (sa˜o
duas soluc¸o˜es, pois x0 = 0 e´ um ponto ordina´rio), na forma
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n (5.10)
Exemplo 72 Considerando a equac¸a˜o diferencial
x
d2y
dx2
+
dy
dx
+2y = 0 (5.11)
com as condic¸o˜es iniciais
 y (1) = 2y′ (1) = 4 . Fazendo a suposic¸a˜o 5.10 e analisando a se´rie
5.2. Me´todo de Fro¨benius 47
em torno do ponto x0 = 1, por causa das condic¸o˜es iniciais que sa˜o dadas nesse ponto.
Enta˜o
y(x) =
∞∑
n=0
an(x− 1)n (5.12)
sera´ nossa soluc¸a˜o tentativa.
Classifique, se houver, os pontos singulares das equac¸o˜es diferenciais abaixo:
Exerc´ıcio 5.1 d
2y
dx2
− 1
x−3
dy
dx
+ 2y = 0
Exerc´ıcio 5.2 (x2 − 9) d2y
dx2
− x−3
2
dy
dx
+ y = 0
Exerc´ıcio 5.3 x3 d
2y
dx2
− x−3
x+4
dy
dx
+ 2xy = 0
Resolva, pelo me´todo de se´ries em torno de x0 = 0, as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
Exerc´ıcio 5.4 d
2y
dx2
+ x dy
dx
+ (2x2 − 1) y = 0
Exerc´ıcio 5.5 (t− 3) d2x
dt2
+ dx
dt
− (t− 1)x = 0
Exerc´ıcio 5.6 d
2y
dx2
− x dy
dx
− xy = 0 com
 y (0) = 1y′ (0) = 0
5.2 Me´todo de Fro¨benius
Analisemos dois casos em que o ponto seja singular.
Definic¸a˜o 5.2 Considere a equac¸a˜o (5.8) d
2y
dx2
+P1(x)
dy
dx
+P2(x)y = 0 sendo x0 um ponto
singular da equac¸a˜o. Se (x− x0)P1 (x) e (x− x0)2 P2 (x) forem ambas anal´ıticas, enta˜o
x0 e´ um ponto singular regular. Se pelo menos uma na˜o for anal´ıtica, x0 e´ um ponto
singular irregular.
Exemplo 73 Seja a equac¸a˜o diferencial d
2y
dx2
+ 1
x−3
dy
dx
+ x
2−1
x−3 y = 0, verifique se tem ponto
singular e se for, verifique se e´ regular ou irregular.
Quando um ponto singular e´ regular, temos o seguinte teorema:
48 5.2. Me´todo de Fro¨benius
Teorema 5.2 Se x0 e´ um ponto singular regular da equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+P1 (x)
dy
dx
+
P2 (x) y = 0 enta˜o existe pelo menos uma soluc¸a˜o na forma
y (x)= |x− x0|r
∞∑
n=0
an (x− x0)n (5.13)
em torno de x0, onde r e´ um paraˆmetro a ser determinado.
Exemplo 74 Seja a equac¸a˜o diferencial d
2y
dx2
+ 1
x
dy
dx
+
(
x−5
2x2
)
y = 0.
O teorema a seguir, estabelece as condic¸o˜es para a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es:
Teorema 5.3 Se x0 e´ um ponto singular regular da equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+P1 (x)
dy
dx
+
P2 (x) y = 0 e r1 e r2 sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o indicial associada a x0, com R (r1) ≥
R (r2), as soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial sa˜o: 1. Se r1− r2 6= N, onde N e´ um nu´mero
natural, as soluc¸o˜es LI em se´rie sa˜o
y1 (x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an (x− x0)n
e
y2 (x) = |x− x0|r2
∞∑
n=0
bn (x− x0)n
2. Se r1 − r2 = N, N 6= 0, as soluc¸o˜es LI em se´rie sa˜o
y1 (x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an (x− x0)n
e
y2 (x) = Cy1 (x) ln |x− x0|+ |x− x0|r2
∞∑
n=0
bn (x− x0)n
onde C e´ uma constante. 3. Se r1 = r2, as soluc¸o˜es LI em se´rie ficam
y1 (x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an(x− x0)n
e
y2 (x) = y1 (x) ln |x− x0|+ |x− x0|r1+1
∞∑
n=0
bn (x− x0)n
Nas soluc¸o˜es acima se percebe que sempre ha´ uma se´rie para o valor maior de r, que
no caso e´ r1, dada por y1(x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an(x− x0)n e o que muda e´ a outra soluc¸a˜o,
5.3. Equac¸a˜o de Bessel 49
y2 (x). Dependendo da equac¸a˜o diferencial do