Lista12

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 12
1) Seja A anel comutativo com unidade. Quando o ideal nulo {0} e´ um
ideal primo? E um ideal maximal?
2) Seja A anel comutativo com unidade. Por que A na˜o e´ nem ideal
maximal, nem ideal primo?
3) Seja A anel comutativo com unidade. Mostre que se a ∈ I enta˜o
〈a〉 ⊆ I.
4) Encontre todos ideais primos e maximais de:
(a) Z;
(b) Z20;
(c) Z× Z;
(d) Z2 × Z3;
(e) Z2 × Z4;
(f) Q;
(g) Q×Q.
5) Seja A anel comutativo. Mostre que se P e´ ideal primo de A e P na˜o
conte´m divisores de zero enta˜o A e´ domı´nio.
6) Seja P ideal pro´prio de um anel comutativo com unidade A. Mostre
que P e´ ideal primo se e somente se toda vez que I · J ⊆ P para I, J
ideais de A enta˜o I ⊆ P ou J ⊆ P .
7) Prove que num anel comutativo com unidade finito, todo ideal primo e´
maximal.
8) Seja A anel comutativo com unidade tal que todo elemento e´ um idem-
potente (tal anel e´ chamado de anel Booleano). Mostre que em A,
todo ideal primo e´ maximal.
9) Seja f : A→ B um homomorfismo de ane´is comutativos.
(a) Mostre que se P e´ ideal primo de B enta˜o f−1(P ) = A ou f−1(P )
e´ ideal primo de A.
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(b) Mostre que se M e´ ideal maximal de B e f e´ sobrejetora enta˜o
f−1(M) e´ ideal maximal de A. Deˆ um exemplo que isto na˜o e´
necessariamente verdade se f na˜o e´ sobrejetora.
10) Use o exerc´ıcio seguinte para mostrar que se A e´ um anel comutativo
com unidade que conte´m um u´nico ideal maximal M enta˜o M conte´m
exatamente os elementos na˜o invers´ıveis de A. Por outro lado, mostre
que se o conjunto X de todos na˜o invers´ıveis e´ um ideal enta˜o X e´ o
u´nico ideal maximal de A.
11) Seja A anel comutativo com unidade e I ideal pro´prio de A, mostre
que existe um ideal maximal M de A tal que I ⊆ M . (Dica: imite
a demonstrac¸a˜o feita em sala para mostrar que A tem ideal maximal
com o conjunto X = {J ideal de A : I ⊆ J, J 6= A}.)
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