Lista15

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 15
1) Use o lema de Gauss e teorema da raiz racional para fatorar os seguintes
polinoˆmios em Q[x] e em Z[x].
(a) 2x3 + 7x2 − 2x− 1
(b) 2x2 − 12x+ 6
(c) 2x3 − 17x2 − 10x+ 9
(d) x4 − 5x2 + 4
2) Use o teorema da raiz racional para concluir que 3
√
2 e´ irracional.
3) Suponha que α ∈ C e´ raiz de um polinoˆmio p(x) ∈ Q[x] irredut´ıvel em
Q[x]. Mostre que se f(x) ∈ Q[x] e´ tal que f(α) = 0 enta˜o p(x)|f(x).
4) Sejam f(x) ∈ Z[x] e n ∈ Z. Defina o polinoˆmio g(x) = f(x + n).
Mostre que f(x) e´ irredut´ıvel se e somente se g(x) e´ irredut´ıvel.
5) Use o crite´rio de Eisenstein para verificar que os polinoˆmios 5x3−6x2+
2x− 14 e 4x5 + 5x3 − 15x+ 20 sa˜o irredut´ıveis em Z[x].
6) Mostre que f(x) = x5 + 5x+ 4 e´ irredut´ıvel em Z[x] usando o exerc´ıcio
4 para g(x) = f(x+ 1).
7) Considerando a classe do polinoˆmio em algum Zn[x], mostre que os
seguintes polinoˆmios sa˜o irredut´ıveis em Z[x]
(a) 123x3 + 7x2 − 21.
(b) 61x2 − 30x+ 27.
8) (Precisa de ca´lculo) Mostre que x3 + x+ 7 tem apenas uma raiz real.
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