Lista14

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 14
1) Deˆ exemplo de polinoˆmios p(x) e q(x) tal que o grau de p(x) + q(x) e´
estritamente menor que o ma´ximo entre os graus de p(x) e q(x).
2) Encontre o resto e o quociente para as seguintes diviso˜es:
(a) 2 + 4x− x3 + 3x4 por 2x+ 1 em Q[x];
(b) x3 + 4x+ 1 por x+ 2 em Z5[x];
(c) x3 + 4x+ 1 por 2x+ 1 em Z5[x];
(d) x3 − (2 + i)x2 + 5 por ix− 1 em C[x];
(e) x4 − 2x3 + 1/3 por pix+ 1 em R[x].
3) Encontre o mdc entre p(x) = x6 + x5 − 2x4 − x3 − x2 + 2x e q(x) =
3x6 + 4x5− 3x3− 4x2 em Q[x]. Depois encontre polinoˆmios a(x) e b(x)
tais que a(x)p(x) + b(x)q(x) e´ igual ao mdc.
4) (a) Enconte o mdc entre x3 + 4x2 + 4x+ 9 e x2 + x− 2 em Q[x], R[x]
e C[x].
(b) Enconte o mdc entre x3 + x2 + x e x2 + x + 1 em Z3[x], Z5[x] e
Z11[x].
5) Um polinoˆmio de grau 3 em Q[x] tem no ma´ximo treˆs ra´ızes. Deˆ
exemplos de polinoˆmios de grau 3 que tenham exatamente 0, 1, 2 e 3
ra´ızes.
6) No exerc´ıcio anterior o polinoˆmio que conte´m exatamente duas ra´ızes
tem uma ra´ız repetida, isto e´, (x− a)2 divide o polinoˆmio. Por que um
polinoˆmio de grau 3 em Q[x] na˜o pode ter exatemante duas ra´ızes sem
que nenhuma delas se repita?
7) Podemos definir a derivada formal de um polinoˆmio p(x) = a0 + a1x+
· · ·+ anxn por p′(x) = a1 + 2a2x+ · · ·+ nanxn−1. Mostre que a e´ uma
raiz repetidade de p(x) se e somente se a e´ ra´ız de p′(x).
8) Deˆ um exemplo de dois polinoˆmios distintos de Z3[x] tais que as res-
pectivas func¸o˜es polinomiais sa˜o as mesmas.
9) Deˆ um exemplo de um polinoˆmio na˜o nulo em p(x) ∈ Z4[x] tal que
p(a) = 0 para todo a ∈ Z4.
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10) Mostre que todas func¸o˜es de Z2 em Z2 podem ser vistas como func¸o˜es
polinomiais.
11) Mostre que se x+ iy e´ uma raiz de um polinoˆmio em R[x] (visto como
polinoˆmio de C[x]) enta˜o x− iy tambe´m e´ uma raiz de p(x).
12) Construa um polinoˆmio em R[x] tal que visto como polinoˆmio em C[x]
tem 1/2, i, 2− i como ra´ızes.
13) Verifique se e´ verdadeiro ou falso:
(a) 〈x〉 = 〈3x〉 em Z[x].
(b) 〈x〉 = 〈3x〉 em Q[x].
14) Quem e´ o ideal 〈4, x〉 em Z[x]? E o ideal 〈4, x2〉?
15) Quem e´ o ideal 〈x2 − 3x+ 2, x2 − 2x+ 1〉 em Q[x]?
16) Considere o conjunto I = {p(x) ∈ Q[x] : p(i) = 0} (pensando p(x)
como um polinoˆmio em C[x]).
(a) Mostre que I e´ ideal de Q[x].
(b) Como Q[x] e´ domı´nio Euclidiano e portanto domı´nio principal,
temos que I e´ um ideal principal. Encontre um gerador para I.
17) Fac¸a o mesmo que o exerc´ıcio 16 para I = {p(x) ∈ C[x] : p(i) = 0}.
18) Fac¸a o mesmo que o exerc´ıcio 16 para I = {p(x) ∈ Q[x] : p(3) =
0 e p(
√
3) = 0}.
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