Produto Escalar

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Milene Pimenta 
 Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), 
definimos o produto escalar (produto interno) 
entre v e w, como o escalar real: 
 v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3 
 Exemplos: 
 1) O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-
7,12) é:v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48 
 2) O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-
5,2,0) é: v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0 
 
 
 Módulo de um vetor e vetores unitários: 
 O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) 
é definido por: 
 
 Um vetor unitário é o que tem o módulo 
(comprimento) igual a 1. 
 
 
 Exemplo: Existe um importante conjunto com três 
vetores unitários de IR³ : i = (1,0,0); j = (0,1,0); k 
= (0,0,1) 
 Estes três vetores formam a base canônica para o 
espaço IR³, o que significa que todo vetor no espaço 
R³ pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então: v = (a,b,c) 
= a i + b j + c k 
 Versor de um vetor: 
 Para obter um versor de v, isto é, um vetor 
unitário com a mesma direção e sentido que 
um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu 
módulo, isto é: u = v/|v| 
 
 Vetor Paralelo: 
 Para construir um vetor w paralelo a um vetor 
v, basta tomar v multiplicado por um escalar, 
isto é: w = k v 
 
 As três projeções ortogonais do vetor 
v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, 
são respectivamente, dadas por: 
 vx=(0,b,c); 
 vy=(a,0,c); 
 vz=(a,b,0) 
 
 Propriedades do produto escalar 
 Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o 
escalar k: 
 (PE1) v.w = w.v 
 (PE2) v.v = |v| |v| = |v|²  0 
 (PE3) u.(v + w) = u.v + u.w 
 (PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w) 
 (PE5) |k v| = |k| |v| 
 (PE6) |u.v| < |u|.|v| (des. de Schwarz) 
 (PE7) |u+v| < |u|+|v| (des. triangular) 
 Ângulo entre dois vetores: 
 Dados os vetores u e v, seja , o ângulo entre 
eles. Segue que 0    . 
 
 Tem-se que: 
 
||||
.
)cos(
vu
vu

De fato, 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
: 
 
 Condição de Ortogonalidade: 
 Dois vetores v e w são ortogonais se o 
produto escalar entre ambos é nulo, isto é, 
v.w=0. 
 
Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e 
quantos são os vetores ortogonais a v no 
espaço R³? 
 
 Significado físico do produto escalar 
 Se um ponto material se desloca de 0 até 1 
sob ação de uma força F constante, então o 
produto escalar de F pelo vetor 1 é o 
trabalho executado por essa força, como 
exemplifica a figura abaixo. 
 
 Ângulos diretores; 
 Seja o vetor v= ( x, y, z). Os ângulos diretores 
de v são os ângulos ,  e  que v forma com 
os vetores i, j e k, respectivamente. 
 Cossenos Diretores; 
 São os cossenos dos ângulos diretores, ou 
seja, cos(), cos() e cos(). 
 
 
Tem-se que: 
 
 
||
)cos(
v
x

||
)cos(
v
z

||
)cos(
v
y

 Em conseqüência do que já vimos nas seções 
anteriores, temos a seguinte equação: 
 cos2 () + cos2 () + cos2 () = 1 
 Também temos outra forma de referenciar o 
vetor, usando os cossenos diretores: 
 v = ( |v|cos(), |v|cos(), |v|cos()). 
 Segue que: u = (cos(), cos(), cos()) é versor 
de v. 
 Projeção de um vetor: 
 
 O vetor projeção de u sobre v é dado por: 
 
 
 
De fato, temos que e |OA| = |u|cos(). 
 
 
Segue portanto que e 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
||||
.
)cos(
vu
vu

 
 
 
Exercícios 
1) Calcular n de modo que seja de 30 o 
ângulo entre os vetores u = ( 1, n,2) e j. 
2) Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u 
=(1,-1,2) , de modo que u.v = -36. 
3) Sabe-se que |v| = 5, cos() = ½ e cos() = 
¼. Determine v. 
4) Determinar o vetor v, ortogonao ao eixo Oz, 
que satisfaz as condições: v.w=10 e v.u=-5, 
sendo w = (2,,3,-1) e u = (1,-1,2). 
 
5) Calcular o módulo dos vetores u+v e u-v, , 
sabendo que |u| = 4, |v| =3 e o ângulo entre 
u e v é 60. 
6) Determinar o vetor projeção de u = ( 2, 3,4) 
sobre u = ( 1, -1, 0).