ALA - Aula 14, 15 e 16 - Espaços Vetoriais

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Milene Pimenta 
Observação: 
Os elementos do espaço vetorial V são 
chamados vetores. 
Exemplos de Espaços Vetoriais 
Propriedades da Adição 
Propriedades da Multiplicação por 
um escalar 
Propriedades dos Espaços Vetoriais 
Subespaços Vetoriais 
Sejam V um espaço vetorial e S um 
subconjunto não-vazio de V. 
 
 
S é um subespaço vetorial de V se S 
é um espaço vetorial em relação à 
adição e à multiplicação por escalar 
definidas em V. 
Teorema: Um subconjunto S não 
vazio, de um espaço vetorial V é um 
subespaço vetorial de V se estiverem 
satisfeitas as condições. 
Demonstração: 
Observação: 
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
Exemplo 3: 
Combinação Linear 
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
Soma de dois Subespaços Vetoriais 
Exemplo: 
Soma direta de dois Subespaços Vetoriais 
Exemplo: 
Interseção de dois Subespaços Vetoriais 
Exemplo: 
Subespaços Gerados 
Exemplos: 
Dependência e independência linear 
 Definição: Seja V um espaço vetorial. 
 Os vetores v1, v2, . . ., vm,  V dizem-se 
linearmente dependentes, se existem 
escalares α1, α2, ... , αm  ℝ, não 
simultaneamente nulos, tais que α1v1 + 
α2v2 + ... + αmvm = 0. 
 Caso contrário, se diz que os vetores são 
linearmente independentes . 
Base e dimensão: 
Definição: Um conjunto S = {u1, u2, ..., um} de 
vetores é uma base de V, se valem as 
seguintes condições: 
 
i) Os vetores u1, u2, ... , um são linearmente 
independentes. 
ii) O vetores u1, u2, ... , um geram V. 
Definição: Um conjunto B = {u1, u2, ... , un} 
de vetores é uma base de V, 
 se todo vetor v ∈ V pode se escrever de 
maneira única como combinação linear 
dos vetores da base. Neste caso, 
dizemos que o espaço vetorial V tem 
dimensão finita n, ou que é n-
dimensional e se escreve dim V = n. 
Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão 
finita. Então, toda base de V tem o mesmo 
número de elementos. 
 
Por definição, o espaço vetorial {0} tem dimensão 0. 
 
Quando um espaço vetorial não tem dimensão finita 
dizemos que este espaço é de dimensão infinita. 
Exemplos: 
•{(1,0), (0,1)} é uma base do R2 (base canônica) 
•{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base do R3 (base canônica) 
•{(1,1,1), (1,0,1), (1,1,0 )} é uma base do R3 
•{(1,0), (0,1), (1,1)} não é uma base do R2 . O conjunto gera 
o R2 , mas não é L.I. 
Teorema: Sejam v1, v2, ...vn vetores não nulos que geram 
um espaço vetorial V. Então, entre v1, v2, ...vn podemos 
extrair uma base para V. 
 
Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R e V = [v1, v2, 
....vn ]. Então qualquer subconjunto de V com mais de n 
vetores é necessariamente L.D. 
Exemplos: 
•Três vetores no plano (R2) são sempre L.D. 
•Quatro vetores no espaço (R3) são sempre 
L.D. 
Observação: O Teorema anterior é equivalente a “Um espaço 
vetorial gerado por n vetores tem no máximo n vetores L.I.” e tem 
como conseqüência que 
Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo 
número de vetores. Este número é chamado de dimensão de V 
e denotado por dim V. 
Definição. 
Diz-se que uma base b = {v1, v2, ..., vn} de um 
espaço vetorial euclidiano V é base ortonormal 
 
se vi . vj = , 
 
 
isto é, b é uma base ortogonal com vetores unitários. 
Base Ortonormal 
 
Componentes de um Vetor 
 
Teorema. 
Fixada uma base b = {v1, v2, .., vn} de um espaço 
vetorial V, cada vetor v  V se escreve de forma única 
como combinação linear dos vetores da base b , isto é, 
existem e são únicos os escalares 
 a1, a2, ..., an, tal que 
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn 
Definição. 
Os escalares a1, a2, .., an, que comparecem no 
teorema anterior, são chamados coordenadas de v em 
relação à base b . Usamos, como expressão dessa 
idéia, a notação 
 
 
 
que é lida do seguinte modo: as coordenadas do vetor 
v, em relação a base b, são a1, a2, ... e an.