Lista_5_Algebra_2_2014

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Faculdade de Formac¸a˜o de Professores
Prof. Fa´bio Souza
Disciplina: A´lgebra II
Lista de Exerc´ıcios V
1. Sejam (G, ∗) e (G1, ∗1) grupos e f : G→ G1 um homomorfismo.
(a) Usando induc¸a˜o, mostre que f(xn) = (f(x))n, ∀n ∈ N.
(b) Mostre que f(xn) = (f(x))n, ∀n ∈ Z.
(c) Mostre que se g ∈ G e´ tal que O(g) = n, enta˜o O(f(g))|n.
(d) O que pode ser dito se f for injetora e g ∈ G e´ tal que
O(g) =∞?
2. Seja f : (Z,+)→ (Q∗, ·) definida por f(x) =
{
1 se x e´ ı´mpar
−1 se x e´ par
(a) Mostre que f e´ um homomorfismo.
(b) Encontre o Nuc f .
(c) Conclua que Z
2Z ' {−1, 1}.
3. Mostre que g : Z15 → Z15 definida por g(x) = x3 e´ um homomorfismo.
Encontre Nuc g e Img.
4. Seja f : (G, ∗1)→ (G1, ∗2) um isomorfismo.
(a) Mostre que dado g ∈ G1, O(f(g)) = O(g).
(b) Mostre que G1 e´ abeliano se e somente se G2 tambe´m o e´.
(c) Deˆ exemplos de grupos G1 e G2 tais que apenas um deles e´
abeliano e exista um homomorfismo entre eles.
5. S4 ' Z6 × Z4? Justifique.
6. Seja g : R4 → (M2×2(R),+) definida por g(a, b, c, d) =
(
a b
c d
)
.
(a) Mostre que g e´ um homomorfismo.
(b) Encontre Nuc g.
1
(c) Mostre que R4 'M2×2(R).
7. Deˆ exemplo de um homomorfismo f : G→ G1 e H < G tais que
Nuc f ⊂ H. Verifique que f−1(f(H)) = H, no exemplo anterior dado.
8. Sejam G,H e J grupos. Mostre que:
(a) G ' G
(b) Se G ' H, enta˜o H ' G
(c) Se G ' H e H ' J , enta˜o G ' J
(O isomorfismo e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia entre grupos)
9. Sejam (G, ∗), (G1, ∗1) grupos e f : G→ G1 um homomorfismo
sobrejetor. Mostre que se J CG1, enta˜o f−1 CG e f−1(J) ⊃ Nuc f .
10. Sejam (G1, ∗1), (G2, ∗2) grupos e f : G1 → G2 um isomorfismo.
Mostre que a gera G1 se e somente se f(a) gera G2.
11. Seja G um grupo. Mostre que Aut(G) e´ um grupo com a operac¸a˜o de
composic¸a˜o de func¸o˜es.
12. Encontre Aut(Z12).
13. Sejam (G, ∗) um grupo e g ∈ G. Mostre que a aplicac¸a˜o fg : G→ G
definida por fg(x) = g ∗ x ∗ g−1 e´ um automorfismo de G.
O automorfismo fg definido acima e´ chamado um automorfismo
interno de G. O conjunto de todos os automorfismos internos de G
sera´ denotado por In(G).
Mostre que In(G)C Aut(G).
14. Sejam G um grupo e H < G. Dizemos que H e´ subgrupo
caracter´ıstico de G se σ(H) ⊂ H, ∀ σ ∈ Aut(G). Notac¸a˜o: H EG.
(a) Conclua que se H E G, enta˜o H CG.
(b) Mostre que se K EH e H CG, enta˜o K CG.
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