Prova_03

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MINISTE´RIO DA EDUCAC¸A˜O
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
FACULDADE DE CIEˆNCIAS SOCIAIS APLICADAS E EXATAS - FACSAE
CAMPUS DO MUCURI
www.ufvjm.edu.br
Curso: Matema´tica Turma: 4o Per´ıodo
Professor: Weversson D. Sellin Data: 13/02/2014
Aluno(a):.........................................................................................
Valor: 100,00 (Peso 25) Nota:.............
4a Avaliac¸a˜o de A´lgebra I
1. (25,0 pontos) Sejam a, b e c inteiros positivos e suponhamos que a e b sa˜o primos entre si.
Mostre que:
(a) Se b divide o produto ac, enta˜o b divide c.
(b) Se a e b dividem c, enta˜o o produto ab divide c.
2. (25,0 pontos)
(a) Mostre que se A e´ um anel com elemento unidade e I e´ um ideal de A tal que 1 ∈ I, enta˜o
I = A.
(b) Use o item (a) para mostrar que todo corpo K so´ possui os ideais triviais, ou seja, I = (0)
ou I = K.
3. (25,0 pontos) Mostre que Se b ∈ Z e´ na˜o nulo e a = qb + r, onde q, r ∈ Z, enta˜o mdc(a, b) =
mdc(b, r).
4. (25,0 pontos) Sejam a, b, c ∈ Z e m,n ∈ N. Mostre que:
(a) Se mdc(a, c) = 1, enta˜o mdc(a · b, c) = mdc(b, c).
(b) Se mdc(a, b) = 1, enta˜o mdc(am, bn) = 1 (Sugesta˜o: Use a decomposic¸a˜o de a e b em
fatores primos).
Obs.: Sejam a, b ∈ Z. Se mdc(a, b) = 1, enta˜o existem x, y ∈ Z tais que ax+ by = 1.
Boa prova!
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