20217 COMPRIMENTO DE CURVA PLANA ou ARCO

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COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS 
(ARCOS) 
Se tomarmos uma curva (f(x)) num intervalo [a,b], para calcular seu comprimento devemos 
dividi-la em subintervalos com ∆x0. 
 
Se ∆x0 as secantes à curva nos pontos limites dos intervalos acabam por formar um conjunto 
de semirretas que vão aproximar-se com a curva dada (Fig. Abaixo Esquerda). Na figura abaixo e à 
direita, podemos ver que o cálculo da curva pode ser feito pela soma das hipotenusas Lk do triângulo 
formado pelos “n” triângulos cujos catetos são ∆x e ∆y. 
 
Assim, a distância entre Po e Pn (comprimento da curva L) é o somatório 



n
i
yxL
1
22 )()(
 
Fazendo ∆x0, temos: 



n
ix
yxL
1
22
0
)()(lim
 ou, traduzindo a soma de 
Riemann em uma integral definida: 
 
 
b
a
dxxfL 2)]('[1
 
 
Da mesma forma pode-se tomar o intervalo [c,d] em “y”, para calcular o comprimento, 
bastando realizar a integração na variável y, por: 
 
 
d
c
dyyfL 2)]('[1
 
 
 Ex: Calcule o comprimento do arco da curva 
3
2
xy 
 do ponto (1, 1) a (8, 4). 
Prof. João Henrique Bley – Cálculo II