119_AP1-MetDet-2008-1-gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio 
de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Primeira Avaliação Presencial de Métodos Determinísticos – AP1 
 
1ª Questão (2,0 pts) 
Em uma pesquisa feita com 150 empregados de uma firma, verificou-se o 
seguinte: 
- têm casa própria: 38 
- têm curso superior: 42 
- têm plano de saúde: 70 
- têm casa própria e plano de saúde: 34 
- têm casa própria e curso superior: 17 
- têm curso superior e plano de saúde: 24 
- têm casa própria, curso superior e plano de saúde: 15 
 
Qual a porcentagem do número de empregados que não se enquadra em 
nenhuma das situações anteriores? 
 
 Solução: 
O diagrama de Venn facilita a solução. Para construirmos o diagrama, temos 
que lembrar que o conectivo “e” é associado à operação de interseção entre 
conjuntos. A última afirmação nos diz que existem elementos que pertencem 
aos três conjuntos simultaneamente. Seja A o conjunto dos empregados que 
têm casa própria, B o conjunto dos empregados que tem curso superior e C o 
conjunto dos empregados que têm plano de saúde. O problema nos diz que 
n(A ∩ B ∩ C) = 15, n(A ∩ B) = 17, n(A ∩ C) = 34, n(B ∩ C) = 24, n(A) = 38, 
n(B) = 42, n(C) = 70 e n(U) = 120. 
Começamos preenchendo as interseções no diagrama de Venn abaixo. 
 
 
 A 2 2 16 B 60 
 19 15 9 
 
 27 C 
 
 
 
Temos n (A∪B∪C) = 2 + 19 + 15 + 9 +2 + 16 + 27 = 90. O número de empregados 
que não se enquadra em nenhuma das situações anteriores é 150 – 90 = 60. 
x_____60
%100_____150
, .40
150
60006000150 ==→= xx Assim, 40% é a porcentagem dos 
empregados que não se enquadra em nenhuma das situações anteriores. 
 
2ª Questão (2,0 pts) 
Considere o círculo x2 + y2 − 4y − 12 = 0. 
a) Determine o centro C e o raio r do círculo. 
b) Encontre as coordenadas dos pontos A e B, onde o círculo encontra o eixo x. 
 
Solução: 
 
a) Completando os quadrados na equação do círculo; 
 x2 + y2 − 4y − 12 = 0 → x2 + (y-2) 2 - 4 – 12 = 0 → x2 + (y-2) 2 = 16. 
O centro C (0,2) e o raio r = 4. 
b) Um ponto sobre o eixo x possui segunda coordenada y = 0, da equação do 
círculo vem x2 − 12 = 0 → x = 12± . As coordenadas dos pontos onde o círculo 
encontra o eixo x são A( 12 ,0) e B( 12− ,0) . 
 
3ª Questão (2,0 pts) 
a) Determine o domínio da função 
168
402)( 2 +−
+−
=
xx
x
xf . 
b) Efetue: E = 
93
2
3
3
2
−
−
+
−
− y
y
yy
. 
 
 
Solução: 
a) Para que a função exista devemos ter: .01680
168
402 2
2 ≠+−≥+−
+−
xxe
xx
x
 
Calculando as raízes: 
.40)4(0168200402 22 =→=−↔=+−=↔=+− xxxxexx
 
 
 Assim, 
 -∞ 4 20 +∞ 
-2x+40 + + - 
1682 +− xx + + + 
168
402
2 +−
+−
xx
x
 + + - 
 
Logo o domínio da função é dado pelo conjunto D =(-∞ , 20] – {4}. 
 
b) Efetue: E = 
93
2
3
3
2
−
−
+
−
− y
y
yy
. 
 E = 
93
2
3
3
2
−
−
+
−
− y
y
yy
= 
9
)3(2)3(3
2
−
−−−+
y
yyy
 = .
9
15
9
6293
22
−
=
−
−+−+
yy
yyy
 
 
4ª Questão. (2,0 pts) 
Considere as funções 32)( 2 −+= xxxf e 3)( += xxg . 
 
a) Determine os pontos onde os gráficos se interceptam. 
b) Esboce os gráficos no mesmo sistema de eixos coordenados. 
c) Olhando para os gráficos, responda: para que valores de x , )()( xgxf > ? 
Para que valores de x , )()( xgxf = ? Para que valores de x , )()( xgxf < ? 
 
Solução: 
a) Para determinar os pontos onde os gráficos se interceptam basta igualar 
)(xf com )(xg e resolver a equação obtida. As raízes de tal equação são as 
abscissas dos pontos em que os gráficos se interceptam. 
 
 )()( xgxf = 06332 22 =−+⇔+=−+⇔ xxxxx 
2
2
4
2
513
2
6
2
51
2
51
2
2411
21 ==
+−
=−=
−
=
−−
=
±−
=
+±−
=
xx
x
 
Os gráficos se interceptam então nos pontos ( ) )0,3()3(,3 −=−− g e ( ) )5,2()2(,2 =g . 
 
b) 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
yy = x^2+2x-3; -6.000000 <= x <= 6.000000
y = x+3
 
 
c) )()( xgxf > para 3−<x ou 2>x ; )()( xgxf = para 3−=x ou 2=x e 
 )()( xgxf < para 23 <<− x . 
 
 
5ª Questão (2,0 pts) 
Considere a função real definida por 34)( 2 −−−= xxxf . 
a) Determine para que valores do domínio a função f é crescente. 
b) f possui máximo ou mínimo? Determine – o. 
c) Faça em esboço do gráfico de f e conclua que existe inversa f -1 para 
todos os valores 2−>x . Determine o valor de f -1 (-3). 
 
Solução: 
a) e b) Os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função 
quadrática são determinados pela abscissa do vértice. 
O vértice, ponto de máximo (a = -1 < 0), tem coordenadas: 
2
2
4
)1.(2
)4(
−=−=
−
−−
=Vx e 1)1(4
4
4
=
−
−
=
∆
−=
a
yV . 
Assim f é estritamente crescente em ( )2,−∞−
 
e estritamente decrescente no 
intervalo ( )∞− ,2 . 
 
c) Como já calculamos o vértice, para esboçar o gráfico precisamos achar as 
raízes: 
3
2
6
2
241
2
2
2
24
.
2
24
2
44
2
12164
034
21
2
−=−=
−
+
=−=−=
−
−
=
−
±
=
−
±
=
−
−±
=
=−−−
xx
x
xx
 
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
yy = -x^2-4x-3
 
 
Temos que f possui inversa para 2−>x pois f é estritamente decrescente. 
Sabemos que 3)()3(1 −=↔=−− xfxf . 
.400)4(
043343)( 22
−==↔=−−
=−−↔−=−−−↔−=
xouxxx
xxxxxf
 
Logo, 0)3(1 =−−f .