1ALGEBRA LINEAR 1ª LISTA EXERCICIOS 14 2

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CATÓLICA
ÁLGEBRA LINEAR I 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS PROF. CLÁUDIO MACIEL
Aluno:____________________________________________ Turma:_______ Período_______
 Matrizes
Operações.
Adição: 
 Seja A = (aij)mxn e B = (bij)mxn → A + B = C, C = ( aij + bij)mxn 
 Propriedades: 1) (A + B) = B + A
 2) (A + B) + C = A + ( B + C)
 3) A + 0 = 0 + A = A
 4) A + ( – A ) = 0 ; para A, B, C, 0 Є Mmxn(R). 0 = matriz nula. 
Produto por um escalar: 
 Sejam A = (aij)mxn e k Є R → kA = ( kaij)mxn.
 Propriedades: 1) ( k.k1) = k ( k1.A) 
 2) ( k + k1).A = k.A + k1.A
 3) k.( A + B ) = k.A + k.B 
 4) 1.A = A, para A, B Є Mmxn(R) e k, k1 Є R 
Produto de Matrizes: 
 Sejam A = (aij)mxn e B = (bjp)nxp → A.B = C, C = ( cip)mxp e cip = A(m).B(n).
 Propriedades: 1) (A.B).C = A.(B.C)
 2) A.(B + C) = A.B + A.C
 3) (B + C).A = B.A + C.A 
 4) k.(A.B) = (k.A).B = A.(kB)
 ONB: 1) A.B ≠ B.A 
 
 2) A2 = A.A ; A3 = A2.A ; A4 = A3.A ; ... ; An+1 = An.A e A0 = In 
 3) Matriz Identidade ( ou unitária) In = (aij) tal que 
 4) Polinômios de uma matriz: f(A)= a0In + a1A + a2A2 + ... + an An. 
 
 5) Matriz Escalar 
.
 6) AT = matriz transposta de A e (AB) T = BTAT 
 6) Traço de A: tr(A) = a11+a22+a33+ ... + ann. 
 Propriedades: 1) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
 2) tr(kA) = k tr(A)
 3) tr (AT) = tr (A), 
 4) tr (AB) = tr (BA).
Matriz Inversível ( ou não singular): Seja An ЄMn (R) → A.A – 1 = In . 
 Propriedade: 
, Ak são inversíveis.
Matrizes Quadradas Reais Especiais.
Matriz Simétirca.
 Uma matriz A é simétrica se A = AT, isto é, os seus elementos simétricos são iguais aij = aji. 
Exemplo: 
 
Matriz Anti-Simétrica.
 Uma matriz A é anti-simétrica se A = – AT, isto é, se cada aij = – aji e isto implica que aii = 0 ( os elementos da diagonal principal são todos nulos).
Exemplo: 
 
Matriz Ortogonal.
 Uma matriz inversível A é ortogonal se AT = A-1, isto é AAT = AA-1 = In. 
Exemplo: 
Matriz Normal.
 Uma matriz real A é normal se comuta com sua transposta, isto é, AAT = ATA.
Obs: Se A é simétrica, ortogonal ou anti-simétrica então A é normal.
Exemplo: 
.
EXERCÍCIOS:
1º) Considere as matrizes 
 
. 
 Calcule:
a) 5.A – 2B b) 2.A + 3B c) 2C – 3D d) AB e) (AB)C f) A(BC) g) A2 e A3 
 h) AD i) BD l) CD m) AT n) BT o) (AB)T p) BTAT q) (A+B)T r) AT + BT s) (2.A)T t) 2.AT u) (AT)T v) ATBT x) - AT 
2º) Calcule. 
3º) Sejam 
 Calcule: a) f (A) para f (x) = x3 – 2x2 – 5 e g(A) para g (x) = x2 – 3x + 17 
 b) f (B) para f (x) = x2 + 2x – 22 e g(B) para g (x) = x2 – 3x – 6 
4º) Calcule a inversa, se possível, de cada matriz: 
 
5º) No conjunto M3x2 ( R ) , considere as matrizes. 
 
 . 
Calcular 
6º) Sejam A = diag( 2,3,5) , B = diag( 7,0,4). Calcule:
a) AB, A2 e B2 b) f(A), onde f(x) = x2 + 3x – 2 c) A-1 e B -1 d) Verificar que
7º) Sejam A = diag(1,2, -3 , B = diag( 2, -5, 0). Calcule:
a) AB, A2 e B2 b) f(A), onde f(x) = x2 + 4x – 3 c) A-1 e B -1 
8º) Calcule x e B, sabendo que 
 é simétrica.
9º) Determine o traço das seguintes matrizes 
10º) Seja 
. Determine os valores de k para os quais A é uma raiz de:
 a) f(x) = x2 – 7x + 10 b) g(x) = x2 – 25 c) h(x) = x2 – 4 
11º) Calcule x,y,z para que A seja simétrica.
 
12º) Para cada número real α consideremos a matriz 
a) Mostrar que 
 b) Calcular 
13º) Determinar se possível x e y em R a fim de que a matriz 
 seja ortogonal
14º) Determinar a em R a fim de que a matriz real 
seja inversível em M3(R). 
15º) Dada a matriz 
 , determine a matriz 
16º) Determinar x , y e z de modo que a matriz A seja ortogonal :
 
17º) Sejam A, B, C , D e X matrizes quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as equações matriciais onde x é a variável.
ADX = ABC b) ABX = C c ) CAXT = C d) DXT = DC 
 e) AX2C = AXBC f) ABCX2D2 = ABCXD g) D-1XD = AC h) CX + 2B = EB
Sistemas 
Escalone , classifique e dê o conjunto solução dos sistemas nas variáveis x, y e z:
1) 
 2) 
 3) 
 
4) 
 5) 
 6) 
 
7) 
 8) 
 9) 
 
10) 
 11) 
 12) 
 13) 
 14) 
 15) 
16) 
 17) 
 18) 
 19) Discutir os sistemas nas variáveis x , y , z .
 a) 
 b) 
 c)
 d) 
 e) 
 f) 
20) Discutir os sistemas lineares em função de k. 
 a) 
 b) 
 e) 
21) Determinar k para que os sistemas tenham soluções próprias.
 a) 
 b) 
 c) 
Vetores
1) Dados os vetores u = < 1,2,3 > , v = < 2,-3,1 > e w = < 3,2,-1> . Determine :
u . v + v .w + u . w 
 b) ( u + v ) . ( 2w – v ) 
2) Dados os vetores 
 , determine : 
 a) 
3) Determine a) u + v + w b) (u + v ) – w c) 2u – v + 3w d) (u . v ) + w 
u = 2i –3j + k , v = 4i + j –3k, w = j + 5k
u = i –2j + 2k, v = 3j + 2k, w = -4i + j –3k
u = 2i + j, v = i –3j + k, w = 4i + k
u = i, v = i + j , w = i + j + k
4) Sejam u = <1,3> , v = <2,1> e w = <4,-1>. Determine o vetor x tal que 2u – v + x =7x + w.
 5) Determine u e v se u + 2v = 3i – k e 3u – v = i + j + k.
 6) Esboce os vetores a, b, 2 a , -3b , a + b e a – b, para:
 a) a = 2i + 3j + 4k b = i –2j +2k 
 b) a = -i + 2j + 3k b = -2j + k
7) Dados os pontos P ( 3, -2, -1) , Q (1, 5, 4) , R ( 2, 0 ,-6) e S ( -4, 1, 5), calcule.
 
8) Dados os vetores u = < 1, 2, 0 >, v = < 3, -2, 4 >, w = < -1, -2, 3 > e os escalares a = 3 e b = 2 
 Verificar as propriedades:
 Soma: Produto 
 1a) u + v = v + u 1 p) ( ab) u = a (bu)
 2 a) ( u + v) + w = u + ( v + w ) 2 p) ( a + b ) u = au + bu
 3 a) u + 0 = u 3 p) a ( u + v ) = au + av
 4 a) u + ( - u) = 0 4 p) 1. u = u 
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