Aula Estudo das Elipses

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ESTUDO DAS ELIPSES
Por definição, uma elipse é o conjunto dos pontos P=(x, y) do plano tais que a soma das distâncias do ponto “P” em questão a dois pontos fixos “F1” e “F2” (focos) é constante.
Distâncias:
Sendo: 2a > 2c ou a > c)
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ELIPSE COM EIXO MAIOR SOBRE O EIXO “X”
Em outras
 palavras:
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ELIPSE COM EIXO MAIOR SOBRE O EIXO “X”
Chama-se equação reduzida da elipse a equação que o ponto P(x, y), ponto genérico da curva, vai satisfazer.
A dedução da equação reduzida da elipse com eixo maior sobre o eixo “X” é imediata:
P  elipse  PF1 + PF2 = 2a
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ELIPSE COM EIXO MAIOR SOBRE O EIXO “X”
Após manipulações algébricas, tem-se: 
Elevando-se ambos os membros da equação acima ao quadrado, fazendo manipulações algébricas e introduzindo-se (b2 = a2 - c2), tem-se: 
Equação da elipse horizontal com o centro na origem.
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ELIPSE COM EIXO MAIOR SOBRE O EIXO “Y”
Para o caso do eixo maior da elipse estar sobre o eixo “Y”, as coordenadas “x” e “y” invertem os papéis.
PF1 + PF2 = 2a
Após manipulações algébricas, tem-se: 
Equação da elipse vertical com o centro na origem.
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EXCENTRICIDADE
Trata-se de um parâmetro que caracteriza a forma assumida pela elipse, definido como:
Tem-se que:
e  1  a elipse é muito achatada
e  0  a elipse é quase circular
ESTUDO DAS ELIPSES
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EXERCÍCIOS:
1) Identificar e esboçar a geometria da seguinte equação abaixo mostrando os parâmetros importantes:
ESTUDO DAS ELIPSES
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Solução:
ESTUDO DAS ELIPSES


 (0,  1,41)
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ESTUDO DAS ELIPSES
X
Y
V(3,0)
V(-3,0)
F (2,65; 0)
F(-2,65; 0)
(0 ;1,41)
(0; -1,41)
_1059286984.unknown
_1059287443.unknown
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ESTUDO DAS ELIPSES
2) Identificar e esboçar a geometria da seguinte equação abaixo mostrando os parâmetros importantes:
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ESTUDO DAS ELIPSES
Solução:


  eixo maior: (0,  5/2)	  eixo menor: ( 5/3, 0)
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ESTUDO DAS ELIPSES
X
Y
V(0;-2,5)
V(0;2,5)
F (0;-1,86)
F(0;1,86)
(-1,67;0)
(1,67;0)
_1059286984.unknown
_1059287443.unknown
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ESTUDO DAS ELIPSES
3) Encontrar a equação da elipse de vértices (4,0) e focos (2,0).
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ESTUDO DAS ELIPSES
Solução:
A equação da elipse que procuramos tem eixo maior em “x”, portanto:
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ESTUDO DAS ELIPSES
 onde a =  4 e c =  2
como:
Logo, a equação que procuramos é:
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ESTUDO DAS ELIPSES
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Identifique a geometria. Esboce o gráfico, mostrando os parâmetros importantes:
a) x2/9 + y2/4 = 1
b) x2 /25 + y2 /16 = 1
R.: elipse, V(5,0), F(3,0), eixo menor (0,4)
c) 5x2 + 2y2 = 10
d) y2 + 9x2 = 9
e) 4x2 + 25y2 = 1
f) 10y2 + x2 = 5
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ESTUDO DAS ELIPSES
g) 25x2 + 36y2 = 900
h) 4x2 + 9y2 = 16
2) Ache a equação da elipse que verifica as condições dadas:
a) Vértices V( 8,0)	Focos F(5,0) R.: x2/64 + y2/39 = 1
b) Vértices V(0, 7)	Focos F(0,2) R.: x2/45 + y2/49 = 1
c) Tem centro na origem e passa por (2,3) e (6,1) R.: x2/40 + y2/10 = 1
d) Tem excentricidade 3/4 e vértices V(0,4) R.: x2/7 + y2/16 = 1
e) Interceptos em x 2, interceptos em y 1/3	 R.: x2/4+ 9y2 = 1
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ELIPSE COM CENTRO DESLOCADO
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ELIPSE COM CENTRO DESLOCADO
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ELIPSE COM CENTRO DESLOCADO
Chega-se na seguinte forma da equação geral da elipse:
Após manipulações algébricas da equação geral da elipse na forma: 
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
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ESTUDO DAS ELIPSES
EXEMPLO:
1) Discuta a equação: 16x2 + 9y2 + 64x - 18y - 71 = 0
Esboce o seu gráfico.
SOLUÇÃO:
Escreva a equação na forma: 16(x2 + 4x) + 9(y2 - 2y) = 71
Completando os quadrados das expressões entre parênteses:
 16(x2 + 4x + 4) + 9(y2 - 2y + 1) = 71 + 64 + 9
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ESTUDO DAS ELIPSES
16(x + 2)2 + 9(y - 1)2 = 144
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ESTUDO DAS ELIPSES
Translação de eixos:
Como: x = x0 + x’  x’ = x - x0
Logo: x + 2 = x - x0  x0 = -2
Como: y = y0 + y’  y’ = y - y0
Logo: y -1 = y - y0  y0 = 1
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ESTUDO DAS ELIPSES
a2 = 16  a = 4 
b2 = 9  b = 3 
x0 = -2
y0 = 1
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ESTUDO DAS ELIPSES
EXERCÍCIOS:
1) Ache os vértices e os focos da elipse. Esboce o gráfico, mostrando os focos:
a) 4x2 + 9y2 - 32x - 36y + 64 = 0
b) x2 + 2y2 + 2x - 20y + 43 = 0
c) 9x2 + 16y2 + 54x - 32y - 47 = 0
d) 4x2 + 9y2 + 24x + 18y + 9 = 0