07 Retas P2

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A reta 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
A Reta 
Retas paralelas aos planos coordenados 
 
• Vetores diretores paralelos ao plano 
correspondente; 
 
• Uma das componentes do vetor diretor é 
NULA. 
 
 
A Reta 
Retas paralelas aos planos coordenados 
 
𝐴(−1, 2, 4) 
𝑣 = (2, 3, 𝟎) 
𝒓 // 𝒙𝑶𝒚 
A Reta 
Retas paralelas aos planos coordenados 
 
𝐴(1, 5, 3) 
𝑣 = (−1, 𝟎, 2) 
𝒓 // 𝒙𝑶𝒛 
A Reta 
Retas paralelas aos eixos coordenados 
 
• Vetores diretores paralelos a 𝑖 𝑜𝑢 𝑗 𝑜𝑢 𝑘; 
 
• Duas das componentes do vetor diretor 
são NULAS. 
 
 
A Reta 
Retas paralelas aos eixos coordenados 
 
𝐴(2, 3, 4) 
𝑣 = (𝟎, 𝟎, 3) 
𝒓 // 𝑶𝒛 
A Reta 
Retas paralelas aos eixos coordenados 
 
𝑟: 
𝑥 = 2
𝑦 = 3
𝑧 = 4 + 3𝑡
 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 
𝑟: 
𝑥 = 2
𝑦 = 3
 
A Reta 
Retas paralelas aos eixos coordenados 
 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 
𝑂𝑥: 
𝑦 = 0
𝑧 = 0
 
𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂çã𝒐 
𝑂𝑦: 
𝑥 = 0
𝑧 = 0
 
𝑂𝑧: 
𝑥 = 0
𝑦 = 0
 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
A Reta 
Ângulo entre duas retas 
 
cos 𝜃 = 
𝑣1 ∙ 𝑣2
𝑣1 𝑣2
 
θ – Menor ângulo 
formado entre os vetores 
diretores de r1 e r2 
0 ≤ 𝜃 ≤ 90° 
A Reta 
Ângulo entre duas retas 
 
Exemplo 1: Calcular o ângulo entre as retas 
 
 
𝑟1: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = −1 − 2𝑡
 𝑟2: 
𝑥 + 2
−2
=
𝑦 − 3
1
=
𝑧
1
 
A Reta 
Retas Ortogonais 
 
𝑟1⏊𝑟2 ↔ 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0 
𝑟3 𝑒 𝑟1: 𝑂𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 
 𝑟2 𝑒 𝑟1: 𝑂𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 
 e 
 Concorrentes 
Perpendiculares 
𝑟2 
𝑟1 
𝑟3 
A Reta 
Retas Ortogonais 
 
Exemplo 2: Verifique se as retas são 
ortogonais 
 
 
𝑟1: 
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑧 = 4𝑥
 𝑟2: 
𝑥 − 3
−2
=
𝑦 − 4
1
=
𝑧
1
 
A Reta 
Reta Ortogonal a duas retas 
 
𝑟1 
𝑟2 
𝑟𝑎 𝑟𝑏 
𝑣 1 
𝑣 2 
𝑣 
 
𝑣 ∙ 𝑣 1 = 0
𝑣 ∙ 𝑣 2 = 0
 
𝑟𝑎 𝑒 𝑟𝑏 tem direção de 𝑣 
𝑣 = 𝑣 1 𝑥 𝑣 2 
𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝑽𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 
A Reta 
Reta Ortogonal a duas retas 
 
Exemplo 3: Determinar equações paramétricas 
da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, -1) e é 
ortogonal às retas: 
 
 
𝑟2: 
𝑥 = 5
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 1 − 𝑡
 𝑟1: 
𝑥
2
=
𝑦
3
=
𝑧 − 1
−4
 
A Reta 
Intersecção de duas retas 
 
𝑟1 
𝑟2 
𝐼 
Retas coplanares 
Concorrentes 
𝑟1 
𝑟2 
Paralelas 
A Reta 
Intersecção de duas retas 
 
Retas reversas 
𝑟2 
𝑟1 
A Reta 
Reta Ortogonal a duas retas 
 
Exemplo 4: Verifique se as retas r1 e r2 são 
concorrentes. Caso afirmativo, determine o 
ponto de intersecção. 
 
 
𝑟2: 
𝑥 = 5 + 3𝑡
𝑦 = −3 − 2𝑡
𝑧 = 4 + 𝑡
 
𝐼) 
𝑟1: 
𝑥 = 3 + ℎ
𝑦 = 1 + 2ℎ
𝑧 = 2 − ℎ
 
A Reta 
Reta Ortogonal a duas retas 
 
Exemplo 4: Verifique se as retas r1 e r2 são 
concorrentes. Caso afirmativo, determine o 
ponto de intersecção. 
 
 
𝑟2: 
𝑥 = −𝑡
𝑦 = 4 − 𝑡
𝑧 = 2 + 2𝑡
 
𝐼𝐼) 
𝑟1: 
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥
 
A Reta 
Reta Ortogonal a duas retas 
 
Exemplo 4: Verifique se as retas r1 e r2 são 
concorrentes. Caso afirmativo, determine o 
ponto de intersecção. 
 
 𝐼𝐼𝐼) 
𝑟1: 
𝑦 = −3𝑥 + 2
𝑧 = 2𝑥 − 5
 𝑟2: 
𝑥 + 2
2
=
𝑦 − 1
−6
=
𝑧
4
 
A Reta 
Exercícios 
 
1) Escrever equações reduzidas na variável z 
da reta que passa por A(-1,6,3) e B(2,2,1). 
 
2) Determinar equações paramétricas da reta 
que passa por A(4,-1,3) e tem direção de 
3𝑖 − 2𝑗 . 
 
3) Determinar o ângulo que a reta que passa 
por A(3,-1,4) e B(1,3,2) forma com sua 
projeção sobre o plano xy. 
Prazo para entregar: 
16/08/16 
A Reta 
Exercícios 
 
4) Dados o ponto A(3, 4, -2) e a reta: 
 
 
 
determine equações paramétricas da reta que 
passa por A e é perpendicular a r. 
 
 
𝑟: 
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2 − 𝑡
𝑧 = 4 + 2𝑡
 
A Reta 
Exercícios 
 
5) Determinar o valor de n para que seja de 
30º o ângulo entre as retas: 
 
𝑟2: 
𝑦 = 𝑛𝑥 + 5
𝑧 = 2𝑥 − 2
 𝑟1: 
𝑥 − 2
4
=
𝑦
5
=
𝑧
3