Teoria de controle - Erro em regime permanente

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UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 1 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA 
 
ERRO EM REGIME PERMANENTE 
 
 
Inicialmente veja o sistema realimentado mostrado na figura 1, onde é aplicado um 
degrau na entrada. Este sistema é um controlador de temperatura. 
O sinal de referência, que indica a temperatura desejada, é comparado com o valor 
medido da temperatura. A diferença entre os dois sinais gera o sinal de erro. Este sinal de 
erro é amplificado e aplicado à resistência. A corrente que passa pela resistência irá gerar 
calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para aquecer a resistência é necessário que haja uma tensão na entrada do 
amplificador, para que este sinal possa ser amplificado, e assim gerar tensão e corrente 
que serão aplicados à resistência. O sinal na entrada do amplificador é chamado sinal de 
erro. 
Aumentando-se o ganho do sistema, o valor do erro diminui. Mas sempre será 
necessário que haja um erro. 
Para sistemas como o mostrado na figura acima, sem integrador, sempre haverá um 
erro finito. 
Para que o erro seja zero, deve-se colocar um integrador na malha. 
Sistemas sem integrador são chamados sistemas do tipo 0. Para este tipo de 
sistema o erro, devido a um degrau, é finito. 
Se for aplicada uma rampa na entrada, o sistema da figura acima não conseguirá 
acompanhar e o erro irá aumentar de forma indefinida. Mas se for colocado um integrador, 
o sistema conseguirá acompanhar o sinal de entrada, mas com um erro finito. Para que o 
erro seja zero, deve-se der dois integradores na malha. Desta forma um sistema do tipo 1, 
consegue acompanhar uma rampa na entrada com erro finito. Para não Ter erro deve-se 
colocar um integrado na malha, ou seja Ter o equivalente a dois integradores na malha. 
 
 
CÁLCULO DOS ERROS 
 
erro Referência 
resistência 
Amplificador 
 K 
Medidor de 
temperatura 
Figura 1- sistema realimentado 
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O erro em regime permanente significa o erro que o sistema tem após a resposta 
transitória ter terminado. 
Dado o sistema realimentado mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O erro é definido como: 
 
E(z) = R(z) – B(z) 
 
Para se encontrar o erro em regime, aplica-se o teorema do valor final: 
 
 
 
Para o sinal discreto 
 
A função de transferência do erro é dada por: 
 
 
 
 
O termo G(z)H(z) é chamado função de transferência em malha aberta, e de forma 
geral pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
N é chamado o Tipo do Sistema. Se N=0, tem-se um sistema tipo zero. Se N=1, 
tem-se um sistema tipo um, e assim por diante. 
Define-se Kdc como sendo o ganho DC em malha aberta, com os pólos em z=1 
removidos. Fazendo-se o limite quando z  1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA DEGRAU NA ENTRADA 
A função degrau no domínio do tempo é: r(t)=Ru(t), onde u(t)=1, para t  0. A 
transformada de Laplace é dada por R(s)=R/s. 
C(z) E(z) 
 
 
B(z) 
G(z) 
H(z) 
R(z) 
e*ss = lim e*(t) = lim e(kt) = lim (1 – z
-1)E(z) 
 t k z1 
E(z) = R(z) 
 1 + G(z)H(z) 
 
 
 
G(z)H(z) = K  (z-zi) 
 (z-1)N  (z-pi) 
 
Kdc = K  (z-zi) 
  (z-pj) 
 para z =1 
N=0 – sistema tipo zero 
N=1 – sistema tipo 1 
etc 
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A função degrau, no plano z, tem a função de transferência mostrada a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a equação do degrau na equação do erro, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A constante de erro de posição é definida como: 
 
O erro devido à uma função degrau na entrada é dado por: 
 
 
 
 
Para se ter erro zero, quando se aplica uma sequencia degrau na entrada, Kp deve 
ser infinito. Para kp ser infinito implica que a função G(z)H(z) deve Ter um pólo, ao menos, 
em z=1. 
Para sistemas com tipo 1, o erro será zero. 
 
 
ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA RAMPA NA ENTRADA 
A função rampa, no domínio do tempo, é: r(t) = Rtus(t). A transformada de Laplace 
da função rampa é: R(s)=R/s2. 
A transformada Z, da função rampa, é dada por: 
R(z) = RTz / (z-1)2 
O erro em regime é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
R(z) = R z 
 z - 1 
onde: R é a amplitude do sinal de 
entrada 
e*ss = lim R = R 
 z1 1 + G(z)H(z) 1 + lim G(z)H(z) 
 z1 
e*ss = R 
 1+ Kp 
 
e*ss = lim (1-z
-1) RTz 1 
 z1 (z-1)2 [1 + G(z)H(z) ] 
e*ss = lim (1-z
-1) 1 R z 
 z1 1 + G(z)H(z) z -1 
Kp = lim G(z)H(z) 
 z1 
E(z) = RTz 1 
 (z-1)2 [1 + G(z)H(z) ] 
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A constante de erro de velocidade é definida como: 
 
 
 
 
 
O erro devido à uma rampa na entrada é dado por: 
 
 
 
 
 Para se Ter erro zero, Kv deve ser infinito. Isto significa que G(z)H(z) deve ter, no 
mínimo, dois pólos em z=1. 
O termo erro de velocidade é usado para indicar o erro para uma entrada rampa. A 
dimensão do erro de velocidade é a mesma que a do erro do sistema, isto é, o erro de 
velocidade não é um erro de velocidade, mas um erro na posição devido à entrada tipo 
rampa. 
 
 
ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA PARÁBOLA NA ENTRADA 
 
A função parábola, no domínio do tempo, é: r(t) = Rt2us(t)/2 
 
A transformada Z, da função parábola, é dada por: 
R(z) = RT2z (z+1) / [2(z-1)3] 
 
O erro em regime é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e*ss = lim R T 
 z1 [1 + G(z)H(z) ] (z -1) 
e*ss = R 
 lim (z -1) G(z)H(z) 
 z1 T 
Kv = 1 lim [(z -1) G(z)H(z) ] 
 T z1 
 e*ss = R 
 Kv 
 
e*ss = T
2 lim R (z + 1) 
 2 z1 (z -1)2 [1 + G(z)H(z) ] 
e*ss = lim (1-z
-1) R T2 (z + 1)z 1 
 z1 2 (z -1)3 [1 + G(z)H(z)] 
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A constante de erro de aceleração é definida como: 
 
 
 
 
O erro devido à uma rampa na entrada é dado por: 
 
 
 
 
 
O termo erro de aceleração, isto é o erro devido a uma entrada em parábola, é um 
erro na posição. 
 
RESUMO DOS ERROS EM REGIME PERMANENTE 
 
TIPO DO 
SISTEMA 
Erro em regime permanente 
Para sinal de entrada 
degrau 
Para sinal de entrada 
rampa 
Para sinal de entrada 
parábola 
Tipo 0 ess=R/(1+Kp) Infinito Infinito 
Tipo 1 ess=0 R/Kv Infinito 
Tipo 2 ess=0 0 R/Ka 
 
 
Exemplo 
a) Determine o ganho K para que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento de 0,7. 
 
 
 
 
 
 
 
O lugar das raízes, junto com o lugar geométrico de  constante, igual a 0,7 é 
mostrado na figura abaixo. 
O ponto de interesse ocorre quando o lugar das raízes encontra o lugar de  
constante (ponto P). Pela figura abaixo é possível observar que este ponto é: z= 0,22j. 
Lembrando que a equação característica é dada por: 1 + K G(s) H(s) =0; KGH= -1; 
|KGH| =1; |K| = | 1/GH| ; 
 
 
 
 
 
 
 
e*ss = R 
 lim (z -1)2 G(z)H(z) 
 z1 T2 
Ka = 1 lim [(z -1)
2 G(z)H(z) ] 
 T2 z1 
 e*ss = R 
 Ka 
 
 10 
 (z – 0,8) (z + 0,8) 
 
 K 
 
| K | = 1 
 10 
 (z – 0,8 ) (z + 0,8) 
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|K| = | (z + 0,8) (z - 0,8)/10 | no ponto z=0,22j 
 
|K| = | (0,22j + 0,8)(0,22j –0,8)/10 | = 0,83. 0.83/10= 0,069 
 
 Outra forma é utilizar o critério de módulo, que determina que do ponto em que 
acontece o encontro do lugar das raízes com o lugar de qsi constante (ponto P), sejam 
desenhados vetores para os pólos (v1 e v2). O ganho é se obtém como; K= v1.v2/10= 
0,07 
 
 
 
 
 
b) Calcule o erro em regime para um degrau unitário na entrada. 
Kp = 0,7/((1-0,8)(1+0,8))= 0,7/0,36= 1,94 
e = 1/(1+kp) = 1/(2,94) = 0,34 
Análise da resposta: como está sendo aplicado um degrau unitário na entrada, era 
esperado que a saída tivesse também valor unitário, isto é y=1. Mas com o erro é de 0,34, 
isto significa que a saída terá valor de y= 0,66. 
 
c) Calcule o ganho K2 para se ter erro de regime = 0,1 
Para se ter e=0,1 ; como e=1/(1+kp), chegamos a kp=9. 
 
 
 
K2= 9.0,36/10 = 0,324 
 
d) Para o valor de ganho K2, qual o coeficiente de amortecimento e qual o 
significado disto na resposta ao degrau unitário? 
 
 
EXERCÍCIOS: 
Kp = 10 . K2 = 9 
 (1 – 0,8)( 1+0,8) 
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1) a)Calcule o ganho do sistema para se ter kp=50, sendo aplicado uma seqüência 
degrau unitário na entrada. 
 
b) Qual o valor do erro em regime, e da saída em regime. 
c) Determine os pólos em malha fechada. 
 
2) Calcule o erro em regime, sendo aplicada uma rampa na entrada, com R=1. 
 
 
2) a) Determine o erro em regime para k=1, para o sistema abaixo. Use T=1ms: 
b) calcule o valor de K para erro=0,05 e calcule Kp 
c) simule os itens a e b, usando o simulink. 
 
 
3) Para o sistema da questão 2, coloque um integrador: 
 
 
a) Varie o ganho K, e verifique de que forma o ganho k altera o erro em regime. 
b) Que característica o ganho K altera ? 
c) Calcule Kv 
d) Simule este sistema 
 
4) a) Para a questao 3, aplique uma rampa unitária na entrada, varie K e verifique o 
que acontece com o erro em regime. 
b) Para K=1, calcule o erro em regime 
c) para K=30, calcule o erro em regime. 
 10 
(z-1) (z+1) 
 K 5 
 (z-0,9) z 
 100 
s+ 100 
SOZ K 
 100 
s+ 100 
SOZ K 
z 
z-1 
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5) Para os sistemas abaixo, calcule o erro para uma rampa unitária e para um 
degrau unitário aplicados na entrada: 
a) 
b) 
 
 
c) 
 
Resposta: 
Figura Entrada 
degrau 
Entrada rampa 
a Erro finito Erro infinito 
b Erro zero Erro finito 
c Erro zero Erro zero 
 
 
PARA O PLANO S 
 
 Z 
 Z - 0,2 
 
 
 Z 
 Z - 1 
 
 
 Z 
 Z - 0,2 
 
 
 Z 
 Z - 1 
 
 
 Z 
 Z - 1 
 
 
 Z 
 Z - 0,2 
 
 
Kp=lim G(s)H(s) 
 s0 
Kv=lim s G(s)H(s) 
 s0 
Ka=lim s
2
G(s)H(s) 
 s0