CAT181 Cinemática Direta

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Cinemática Direta
Prof. Samuel Gonçalves Carvalho
UFOP – Escola de Minas
Introdução
O objetivo da cinemática direta é calcular a posição e a
orientação do efetuador com relação a um sistema de
coordenadas fixo, em função das variáveis das juntas, sendo
elas de rotação (R) ou prismática (P). No caso de um robô
articulado do tipo RRR-RRR:
Θi, i = 1,2, ... ,6
Cinemática Direta 
de Posição e 
Orientação
xn , yn , zn , n, s, a 
Posição Orientação
São as coordenadas 
cartesianas do 
efetuador.
São vetores unitários cujos 
componentes são os cossenos 
diretores dos ângulos dos eixos do 
sistema de coordenadas O6 com os 
eixos do sistema de coordenadas O0.
Introdução
A obtenção das equações de cinemática direta por meio
da geometria e trigonometria é relativamente fácil para
manipuladores muito simples, como no caso do
manipulador planar.
Para robôs mais complexos, vamos utilizar a
representação de Denavit-Hartenberg, consagrada em
mecanismos e em robótica. Tal representação permite
tratar qualquer tipo de manipulador de uma maneira
sistemática, facilitando muito a obtenção das equações
da cinemática direta de posição.
1 - Cadeias Cinemáticas
Um robô é composto por juntas de revolução e/ou
prismáticas que unem elos rígidos fomando uma cadeia
cinemática.
Um extremo da cadeia está fixada à base, enquanto que
a outra termina no efetuador.
Cada junta adiciona um grau de mobilidade e está
associada a uma variável de junta (ângulo ou
deslocamento).
1 - Cadeias Cinemáticas
Dado o manipulador a seguir:
A cadeia cinemática deste manipulador é constituída por
n+1 elos, numerados de 0 a n, começando com o elo 0
sendo a base. Os elos são unidos por juntas numeradas
de 1 a n.
Base (elo 0)
Portanto, a junta i une o elo i ao elo i-1.
1 - Cadeias Cinemáticas
Seja Ti-1,i a matriz de transformação homogênea do
sistema do elo i para o sistema do elo i-1. Como cada
junta tem apenas um GDL, a matriz Ti-1,i é função apenas
da variável da junta, qi:
Ti-1,i = Ti-1,i (qi)
Onde, qi Θi: variável da junta R
di: variável da junta P
Considerando que cada junta fornece um grau de
mobilidade associado a uma variável de junta, temos
T0n(q) = T01(q1) . T12(q2) ... Tn-1,n(qn) (1.1)
1 - Cadeias Cinemáticas
A transformação homogênea descrevendo a posição e
orientação do efetuador com respeito à base do
manipulador é dada por:
T0e(q) = T0nTne
Onde, Tne é a transformada homogênea do efetuador
para o sistema de coordenada n.
Cada transformada homogênea é dada por:
Ti-1,i =
Ri−1,i pi−1,i
0 1
Matriz de Rotação Vetor posição
1 - Cadeias Cinemáticas
A matriz de transformação homogênea do sistema On para o
sistema O0 é dada por:
T0n =
R0n p0n
0 1
(1.2)
Portanto, a cinemática direta resume-se em determinar as matrizes
de TH dadas pelas eqs (1.1) e (1.2) e igualá-las, obtendo-se 12
equações, sendo 3 elementos correspondentes ao vetor posição e
9 elementos referentes à matriz de rotação.
É possível obter-se uma simplificação utilizando a chamada 
representação de Denavit-Hartenberg.
2 – Representação de Denavit-Hartenberg
Na representação DH cada matriz Ti-1,i é representada pelo produto 
de quatro transformações básicas:
Ti-1,i = Rotz,θi . Transz,di . Transx,ai . Rotx,αi (2.1)
Rotz,θ: representa a rotação θ em torno do eixo z (sinal positivo dado pela 
regra da mão direita);
Transz,d: representa a translação d ao longo do eixo z (sinal positivo 
quando a translação concorda com o sentido do eixo);
Transx,a: representa a translação a ao longo do eixo x (sinal positivo 
quando a translação concorda com o sentido do eixo)
Rotx,α: representa a rotação α em torno do eixo x (sinal positivo dado 
pela regra da mão direita).
2 – Representação de Denavit-Hartenberg
Conforme visto anteriormente, a matriz de transformação
homogênea é caracterizada por seis grandezas: três ângulos de
rotação e três coordenadas do vetor posição.
Na representação DH, existem apenas quatro parâmetros (ai, αi, di,
θi), por isso dizemos que a representação DH simplifica a obtenção
da cinemática direta.
ai: comprimento
αi: torção
di: excentricidade
θi: ângulo da junta
2 – Representação de Denavit-Hartenberg
Desenvolvendo a equação (2.1), temos:
Ti-1,i =
Cθi −S𝜃𝑖 0 0
S𝜃𝑖 C𝜃𝑖 0 0
0
0
0
0
1 0
0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1 di
0 1
1 0 0 ai
0 1 0 0
0
0
0
0
1 0
0 1
1 0 0 0
0 C𝛼𝑖 −S𝛼𝑖 0
0
0
S𝛼𝑖
0
C𝛼𝑖 0
0 1
2 – Representação de Denavit-Hartenberg
Ti-1,i =
Cθi −S𝜃𝑖C𝛼𝑖 S𝜃𝑖S𝛼𝑖 𝑎𝑖C𝜃𝑖
S𝜃𝑖 C𝜃𝑖C𝛼𝑖 −C𝜃𝑖S𝛼𝑖 𝑎𝑖S𝜃𝑖
0
0
S𝛼𝑖
0
C𝛼𝑖 di
0 1
Na representação DH, existem apenas quatro parâmetros. Tal
redução na quantidade de parâmetros é possível devido a uma
certa liberdade de escolha da posição da origem e dos eixos
coordenados do sistema do membro i, se forem satisfeitas as
seguintes condições DH:
DH1: o eixo x1 é perpendicular ao eixo z0;
DH2: o eixo x1 intercepta o eixo z0;
2 – Representação de Denavit-Hartenberg
Condições DH:
DH1: o eixo x1 é perpendicular ao eixo z0;
DH2: o eixo x1 intercepta o eixo z0;
2 – Representação de Denavit-Hartenberg
Com base na figura acima pode-se dar uma interpretação física a cada 
parâmetro:
ai: distância, ao longo de xi, de Oi à interseção dos eixos xi e zi-1
(ou a distância mais curta entre os eixos zi-1 e zi);
di: distância, ao longo de zi-1, de Oi-1 à interseção dos eixos xi e 
zi-1;
2 – Representação de Denavit-Hartenberg
Com base na figura acima pode-se dar uma interpretação física a cada 
parâmetro:
αi: ângulo do eixo zi-1 para o eixo zi, medido em torno de xi
(sinal dado pela regra da mão direita);
θi: ângulo do eixo xi-1 para o eixo xi, medido em torno de zi-1, 
(sinal dado pela regra da mão direita).
Referências
• Spong. M., W., Hutchinson, S., Vidyasagar, M., Robot Modeling 
and Control. 1st ed. New York, NY, US: Wiley, 2005.
• Craig, J.J., Robótica. 3ª ed. Pearson, 2013. 
• Notas de Aula, Prof. José Alberto Naves Cocota Júnior, DECAT-
UFOP.