Trabalho servomecanismo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas - ICEB
 Departamento de Matemática- DEMAT
Matemática Aplicada à Eng. Controle e Automação
MTM-146
ESTUDO DIRIGIDO - SÉRIE e TRANSFORMADA DE FOURIER
Discente: Wagner Ferreira Andrade 15.1.1189
Ouro Preto, 27 de março de 2017
1 - HISTÓRIA
1.1 - Servomecanismo
	O servomecanismo está dentro de um conjunto de diferentes tipos de sistemas de controle. Um sistema é um arranjo, conjunto ou coleção de componentes conectados ou relacionados de maneira a formar ou agir como uma unidade. 
Controle é usualmente empregado no sentido de regulação, direcionamento ou comando. Já um sistema de controle seria um arranjo de componentes conectados ou relacionados de maneira a se auto-regular, direcionar, comandar, ou regular, direcionar, comandar um outro sistema.
Existem dois tipos de sistemas de controle: malha aberta e malha fechada. Num sistema de controle em malha aberta não existe uma realimentação do sistema (não há feedback). Um exemplo em malha aberta seria uma máquina de lavar que apenas executa comandos como lavar, secar, centrifugar. Já num sistema em malha fechada existe a realimentação (há feedback). Um exemplo de sistema em malha fechada seria um ar-condicionado onde a realimentação é a temperatura do ambiente em que o ar-condicionado se encontra. A partir dessa temperatura medida e a temperatura que se deseja (set-point) calcula-se o erro (E = Temperatura Desejada - Temperatura Medida). O controle da temperatura então é feito a partir do erro.
O servomecanismo é um sistema de controle em malha fechada e surgiu no contexto do desenvolvimento de certos mecanismos de controle de posição, velocidade e aceleração angular de um servomotor. O servomecanismo serve para solucionar o problema de se fazer a saída do sistema seguir, acompanhar, rastrear uma referência especificada. Essa referência pode ser uma uma posição angular, uma velocidade angular e uma aceleração angular que se deseja aplicar no servomotor para se realizar alguma tarefa.
Sistemas de controle de posição ou velocidade são frequentes em alguns processos e equipamentos industriais como: braços de robôs, antenas de radar, correias transportadoras, misturadores, laminadores entre várias outros.
Foi preciso construir um modelo matemático para solucionar o problema do servomecanismo. Para a construção desse modelo fez-se necessário o conhecimento das transformadas de laplace e da função de transferência.
A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida como sendo a relação entre a transformada de laplace da saída (função resposta) e a transformada de laplace da entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais. Seja a seguinte expressão:
Onde: n ≥ m, X(t) = entrada e y(t) = saída.
Aplicando -se a transformada de laplace na expressão acima, temos:
Utilizando o conceito de função de transferência, resulta:
 
 	G(s): Função de Transferência de um sistema de ordem n.
 
1.2 - O Que é o Modelo Matemático
	Sobre a Modelo Matemático: “Modelo Matemático é uma estrutura Matemática que descreve aproximadamente as características de um fenômeno em questão” (SWETZ, 1992, p.65).
	A Modelagem matemática seria então o conjunto de métodos para desenvolver tais modelos. Visto que a matemática deve adequar-se ao mundo atual, a modelagem matemática vem sendo amplamente utilizada por pesquisadores e professores, que a vêem como uma metodologia eficiente e que auxilia o docente a reduzir o método de ensino tradicional. Com a modelagem, é possível trabalhar temas atuais, sendo que esses temas são escolhidos e discutidos pelos próprios alunos, e mediados pelo professor.
	Modelos podem ser formulados em termos matemáticos que já são familiares; nos cursos superiores, por exemplo, podem ser formulados por meio de derivadas e integrais, números complexos, geometria e afins.
	Quando se diz que deve-se aplicar Modelagem Matemática, o que está sendo dito de fato é que necessita-se transformar a linguagem do mundo real numa linguagem do mundo matemático.
1.3 - Como se chega a um Modelo Matemático a partir da Modelagem
Não existe um padrão, ou uma fórmula para a Modelagem Matemática, pois ela se adapta às situações em que ela é utilizada. Porém, pode-se distinguir algumas etapas no processo de Modelagem:
Escolha do Tema: apresenta-se possíveis temas para que sejam abordados, e escolhe-se um tema dentre os propostos.
Apresentação de um projeto inicial (essa etapa é opcional): familiariza-se com o tema em questão, através de pesquisas, leituras, questionários, e então apresenta-se um breve histórico do tema a ser abordado, e recebe-se sugestões para a elaboração do Modelo Matemático.
Desenvolvimento do Modelo: discute-se os caminhos possíveis para a obtenção do Modelo e desenvolve-se uma espécie de roteiro com os dados e procedimentos da realização da Modelagem, que contém fórmulas, gráficos, códigos de programação para implementação computacional e uma possível resolução do problema apresentado, obtida com o Modelo Matemático utilizado. Caso o resultado não seja satisfatório, deve-se retomar essa etapa até a obtenção de resultado condizente.
Apresentação do Modelo: apresenta-se o Modelo Matemático obtido através da Modelagem.
		
Dentro da etapa 3 (Desenvolvimento do Modelo), deve-se levar em conta as seguintes etapas:
Levantamento de Dados: Procurar entender o problema e obter a maior quantidade de informação e de dados. Distinguir informações obsoletas e dados relevantes.
Definição de Variáveis: Definir variáveis para referenciar um certo dado.
Elaboração de um Plano Matemático: Etapa que envolve muita criatividade, pois é necessário atrelar as informações obtidas e montar um plano que relacione tais informações.
Elaboração do Modelo Matemático: É nesta etapa que se concebe o modelo, ou seja, elabora-se uma equação, ou uma função para ser resolvida e encontrar os valores das variáveis. Nessa etapa, é indispensável o conhecimento de técnicas e conceitos matemáticos para a resolução do problema apresentado.
Obtenção de Resultados: Aplicar o Modelo obtido e validar resultados. Caso o resultado não seja satisfatório, e não atenda às exigências do problema, deve-se refazer os cálculos ou até mesmo verificar possíveis erros no Modelo.
2 - MODELO MATEMÁTICO
Na modelagem matemática de sistemas eletromecânicos tem-se necessidade de: 
Aplicar as Leis de Newton e as relações constitutivas dos elementos mecânicos, para desenvolver as EDO’s que descrevem o movimento do subsistema mecânico;
Aplicar as Leis de Kirchhoff e as relações constitutivas dos elementos elétricos, para desenvolver as EDO’s que descrevem o comportamento do subsistema elétrico;
Aplicar as Leis da Indução Magnética, para modelar a interação entre os subsistemas mecânico e elétrico.
Desenvolve-se, a título de ilustração, o modelo matemático de um sistema eletromecânico.
O controle dos servomotores CC pode ser feito através da:
Corrente de campo, if (no caso do campo magnético ser gerado por um eletroímã);
Corrente da armadura, ia (mais comum).
Considera-se um servo motor CC, controlado pela armadura, conforme exibido na figura 1, onde a corrente de campo do eletroímã if, é constante:
Figura 1 - Servo Motor CC genérico
Na figura 1 identifica-se:
Ra = resistência da armadura [Ω]
La = indutância da armadura [H]
ia = corrente na armadura [A]
if = corrente de campo [A]
ea= voltagem na armadura [V]
eb = força contra-eletromotriz [V]
θ = deslocamento angular do eixo do motor [rad]
T = torque desenvolvido pelo motor [N.m]
J = momento de inércia do motor e da carga, referidos ao eixo do motor [kg.m²]
C = coeficiente de amortecimento viscoso do motor e carga, referidos ao eixo do motor [N.m.s/rad]
Suposição 1: o eixo será estipulado rígido, ou seja, não será levada em conta a sua elasticidade.
Para a modelagem matemática, é necessário aplicaras leis físicas dos vários componentes.
PARTE ELÉTRICA:
Fluxo magnético, ψ: é proporcional à corrente de campo
(1) 					ψ = kf . if
	
Onde kf é uma constante de proporcionalidade.
	Torque desenvolvido pelo motor, T: é proporcional ao produto da corrente da armadura pelo fluxo magnético
					T = k1 . ia . ψ
	Ou					T = k1 . ia . kf . if
Como k1, kf e if são constantes: k1. kf . if = k (constante do motor, fornecida pelo fabricante). Logo:
(2)					T = k . ia
	
Força contra-eletromotriz, eb: quando a armadura está girando, está presente também a lei do gerador, fazendo com que surja uma tensão proporcional à velocidade angular
	
(3)					eb = kb
	
Onde kb é a constante do gerador.
	Lei de Kirchhoff, das malhas para o circuito elétrico da armadura:
	
(4)					La+ Ra . ia + eb = ea
	
PARTE MECÂNICA:
	
2ª Lei de Newton
	Σ Text = J ⇒ T - C= J 
(5)					 J+ C= T
Pela equação (2), obtem-se:
(6)					 J+ C= k . ia	
Função de Transferência do Servo Motor CC:
Considerando todas as condições iniciais nulas, pode-se obter a transformada de laplace, L{f(t)}, das equações (3), (4) e (6).
(7)				Eb(s) = kb.s.Θ(s)
(8)				La.s.Ia(s) + Ra.Ia(s) + Eb(s) = Ea (s)
(9)				 J s2(s) + C s (s) = k . Ia(s)
	Substituindo a equação (7) na (8):
					La.s.Ia(s) + Ra.Ia(s) + kb.s.Θ(s) = Ea (s)
					⇒	Ia(s) = 
	Substituindo Ia(s) em (9), e, manipulando a equação, obtém-se:
				 (J s2 + C.s + ) (s) = Ea (s)
	Considerando ea(t) como entrada e θ(t) como saída, pode-se encontrar a função de transferência:
	(10)		 = 
	
Observa-se (eq. (10)) que se trata de um sistema de 3ª ordem. 
Suposição 2: pode-se reduzir a ordem do sistema para 2ª, levando em consideração que a indutância da armadura La é muito pequena na presença dos demais parâmetros, podendo ser desprezada. 
Nesse caso, a função de transferência simplifica-se para:
				 = 
	Manipulando a equação anterior, tem-se:
	(11)			 = 
Por outro lado, pode-se adotar:
 		= km = Ganho do Motor
		= Tm = Constante de Tempo do Motor
Reescreve-se, finalmente, a equação (11) como: 
(12)				 = 
A equação (12) é chamada de Função de Transferência, M(s), do sistema. 
	
3 - RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA
Dado o servo motor CC da figura 2 abaixo, cuja indutância da armadura é desprezível. Calcula-se a função de transferência Θ2(s)/Ea(s), desprezando-se a elasticidade dos eixos.
Figura 2 - Servo motor CC
Dados numéricos:
Ra = 0,2 Ω
Kb = 5,5 x 10-2 V.s/rad
K = 8,1365 x 10-5 N.m/A 
Jmotor = 1,356 x 10-5 kg.m2
JL = 5,9664 x 10-3 kg.m2
CL = 5,424 x 10-2 N.m.s/rad
N2N1 = 10
PARTE ELÉTRICA:
Torque desenvolvido pelo motor, T:
 	T = k . ia 	, onde K é uma constante do motor, fornecida pelo fabricante.
	Força contra-eletromotriz, eb:
	 (2)		eb = kb
Lei de Kirchhoff, das malhas para o circuito elétrico da armadura:
	
 (3)		La+ Ra . ia + eb = ea
PARTE DE REDUÇÃO, DEVIDO A N1 E N2:
 		N1.1(t) = N2.2(t)
Assim temos que,
(4)		1(t) =2(t).N2N1
PARTE MECÂNICA:
	
2ª Lei de Newton
Σ Text = Jmotor . 1(t) + Jl . 2(t) 
		 
 	T - CL. Ѡ2(t) = Jmotor . 1(t) + Jl . 2(t) 
T - CL= Jmotor + JL
 Jmotor+JL+ CL= T
Assim, levando em conta a equação (1) e (4): 
(5)		Jmotor . N2N1 .+JL+ CL= k . ia 
Função de transferência do servomotor CC:
Considerando todas as condições iniciais nulas, pode-se obter as transformadas de Laplace das equações (2), (3), (5):
	Eb(s) = kb.s.(s) 
(6)		Eb(s) = kb.s.N2N1.(s) 
(7)	 	La.s.Ia(s) + Ra.Ia(s) + Eb(s) = Ea (s)
(8)		 Jmotor .N2N1.s2(s) + JL .s2(s)+ CL.s.(s) = k . Ia(s)
Substituindo a eq. (6) na eq. (7):
Ia(s) = 
Levando Ia(s) na eq. (8), após manipulações algébricas, fica-se com:
(Jmotor.N2N1.s2 +JL . s² + CL.s +N2N1. ) (s) = Ea (s)
Deste modo, levando em consideração que é muito comum que a indutância da armadura La seja muito pequena na presença dos demais parâmetros, pode ser desprezada. Logo, considerando Ea(s) como entrada e (s) como saída, podemos achar a função de transferência:
	 = 
Aplicando dados numéricos do exercício, na função transferência, segue o resultado:
4 - REFERÊNCIAS
FERREIRA , P.A.V. “Controle e Servomecanismos”. Universidade Estadual de Campinas, 2006.
HEY, H.L.”Apostila de Sistemas de Controle I”. Universidade Federal de Santa Maria, 1997.
	
GONÇALVES, A. L. ”Um Estudo Sobre a Importância da Modelagem Matemática Como Metodologia de Ensino”. Faculdade Alfredo Nasser, 2010.
MARTINS, A. N. “O Uso da Modelagem Matemática em Sala de Aula na Universidade”. Universidade Federal de Minas Gerais, 2007.
OGATA, K. Modern Control Engineering. Universidade de Minnesota. Englewood Cliffs - USA. Pretince Hall. 1970. 912 p.
DORF. R. C.; BISHOP. R. H. Sistemas de Controle Moderno. Trad. Sob a direção de Bernardo Severo. Rio de Janeiro - Brasil. LTC S.A. 2001. 656 p.
IME. Modelagem Matemática de Sistemas Eletromecânicos. Instituto Militar de Engenharia. Rio de Janeiro - Brasil. 7 p.