10 Eq Lineares Ordem Superior

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Equac¸o˜es Diferenciais:
Equac¸o˜es Lineares de Ordem Superior
Prof. Me. Elianderson Santos
3 de Maio de 2018
Prof. Me. Elianderson Santos Equac¸o˜es Diferenciais:
Problema de Valor Inicial
Para uma equac¸a˜o linear de ordem n, o problema
Resolva: an(x)
dny
dxn
+an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+· · ·+a1(x)dy
dx
+a0(x)y = g(x)
Sujeita a: y(x0) = c0, y
′(x0) = c1, · · · , yn−1(x0) = cn−1 (1)
em que c0, c1, c2, · · · , cn−1 sa˜o constantes arbitra´rias, e´
chamado de problema de valor inicial.
Os valores y(x0) = c0, y
′(x0) = c1, · · · , yn−1(x0) = cn−1 sa˜o
chamados de condic¸o˜es iniciais.
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Problema de Valor Inicial
Exemplo: Verifique que a func¸a˜o y = 3e2x + e−2x − 3x e´
soluc¸a˜o para o problema de valor inicial
y ′′ − 4y = 12x , y(0) = 4, y ′(0) = 1.
De fato,
y ′′ − 4y = d2
dx2
(3e2x + e−2x − 3x)− 4 · (3e2x + e−2x − 3x)
= 12e2x + 4e−2x − 12e2x − 4e−2x + 12x
= 12x .
e, ale´m disso,
y(0) = 3e0 + e0 − 3 · 0 = 4 e y ′(0) = 6e0 − 2e0 − 3 = 1.
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Problema de Valor Inicial
Exemplo: Verifique que a func¸a˜o y = 3e2x + e−2x − 3x e´
soluc¸a˜o para o problema de valor inicial
y ′′ − 4y = 12x , y(0) = 4, y ′(0) = 1.
De fato,
y ′′ − 4y = d2
dx2
(3e2x + e−2x − 3x)− 4 · (3e2x + e−2x − 3x)
= 12e2x + 4e−2x − 12e2x − 4e−2x + 12x
= 12x .
e, ale´m disso,
y(0) = 3e0 + e0 − 3 · 0 = 4 e y ′(0) = 6e0 − 2e0 − 3 = 1.
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Existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o
O teorema a seguir fornece condic¸o˜es suficientes para a
existeˆncia de soluc¸o˜es para (1).
Teorema
Sejam an(x), an−1(x), · · · , a1(x), a0(x) e g(x) func¸o˜es
cont´ınuas em uma intervalo I com an(x) 6= 0 para todo x ∈ I .
Se x = x0 e´ algum ponto de I , enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o
y(x) para o problema de valor inicial (1) neste intervalo.
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Problema de valor de contorno
Um outro tipo de problema consiste em resolver uma equac¸a˜o
diferencial de ordem dois ou maior na qual a varia´vel
dependente y ou suas derivadas sa˜o especificadas em pontos
diferentes.
O problema em questa˜o e´ o seguinte:
Resolva: a2(x)
d2y
dx2
+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x)
Sujeita a y(a) = c0, y(b) = c1
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Problema de valor de contorno
Esse problema e´ chamado de problema de valor de
contorno.
Os valores especificados sa˜o chamados de condic¸o˜es de
contorno.
Uma soluc¸a˜o para o problema em questa˜o e´ uma func¸a˜o que
satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial em algum intervalo I e cujo
gra´fico passa pelos pontos (a, c0) e (b, c1).
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Problema de valor de contorno
Exemplo: No intervalo (0,∞), a func¸a˜o y = 3x2 − 6x + 3 e´
uma soluc¸a˜o do problema de valor de contorno
x2y ′′ − 2xy ′ + 2y = 6, y(1) = 0, y(2) = 3.
De fato,
x2y ′′ − 2xy ′ + 2y = x2 · 6− 2x · (6x − 6) + 2 · (3x2 − 6x + 3)
= 6x2 − 12x2 + 12x + 6x2 − 12x + 6
= 6.
Ale´m disso,
y(1) = 3− 6 + 3 = 0 e y(2) = 12− 12 + 3 = 3.
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Problema de valor de contorno
Exemplo: No intervalo (0,∞), a func¸a˜o y = 3x2 − 6x + 3 e´
uma soluc¸a˜o do problema de valor de contorno
x2y ′′ − 2xy ′ + 2y = 6, y(1) = 0, y(2) = 3.
De fato,
x2y ′′ − 2xy ′ + 2y = x2 · 6− 2x · (6x − 6) + 2 · (3x2 − 6x + 3)
= 6x2 − 12x2 + 12x + 6x2 − 12x + 6
= 6.
Ale´m disso,
y(1) = 3− 6 + 3 = 0 e y(2) = 12− 12 + 3 = 3.
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o (Dependeˆncia Linear)
Dizemos que um conjunto de func¸o˜es
f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x) e´ linearmente dependente
em um intervalo I se existem constantes a1, a2, a3, · · · , an na˜o
todas nulas tais que
a1f1(x) + a2f2(x) + a3f3(x) + · · · anfn(x) = 0
para todo x ∈ I .
Definic¸a˜o (Independeˆncia Linear)
Dizemos que um conjunto de func¸o˜es
f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x) e´ linearmente independente
em um intervalo I se ele na˜o e´ linearmente dependente no
intervalo.
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o (Dependeˆncia Linear)
Dizemos que um conjunto de func¸o˜es
f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x) e´ linearmente dependente
em um intervalo I se existem constantes a1, a2, a3, · · · , an na˜o
todas nulas tais que
a1f1(x) + a2f2(x) + a3f3(x) + · · · anfn(x) = 0
para todo x ∈ I .
Definic¸a˜o (Independeˆncia Linear)
Dizemos que um conjunto de func¸o˜es
f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x) e´ linearmente independente
em um intervalo I se ele na˜o e´ linearmente dependente no
intervalo.
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Wronskiano
Teorema (Crite´rio para Independeˆncia Linear de Func¸o˜es)
Suponha que f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x) sejam
diferencia´veis pelo menos n − 1 vezes. Se o determinante
W (f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
f1 f2 · · · fn
f ′1 f
′
2 · · · f ′n
: : : :
f
(n−1)
1 f
(n−1)
2 · · · f (n−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣
for diferente de zero em pelo menos um ponto do
intervalo I , enta˜o as func¸o˜es f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x)
sera˜o linearmente independentes no intervalo.
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Wronskiano
O determinante anterior e´ denominado Wronskiano das
func¸o˜es f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x).
Existe tambe´m um resultado que e´ consequeˆncia direta do
teorema anterior:
Teorema
Se f1(x), f2(x), f3(x), · · · , fn(x) possuem pelo menos n − 1
derivadas e sa˜o linearmente dependentes enta˜o
W (f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) = 0
para todo x no intervalo.
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Wronskiano
Exemplo: As func¸o˜es f1(x) = sen2 x e f2(x) = 1− cos(2x)
sa˜o linearmente dependentes no intervalo (−∞,∞).
De fato, temos que
W (f1(x), f2(x)) =
∣∣∣∣ sen2 x 1− cos(2x)2 · sen x cos x 2 · sen (2x)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ sen2 x 2 · sen2 xsen(2x) 2 · sen (2x)
∣∣∣∣
= 2 · sen2 x · sen (2x)− 2 · sen2 x · sen (2x) = 0
para todo x ∈ (−∞,∞).
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Wronskiano
Exemplo: As func¸o˜es f1(x) = e2x e f2(x) = e3x sa˜o
linearmente independentes no intervalo (−∞,∞). De fato,
temos que
W (f1(x), f2(x)) =
∣∣∣∣ e2x e3x2e2x 3e3x
∣∣∣∣ = 3e5x − 2e5x = e5x 6= 0
para todo x ∈ (−∞,∞).
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Equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o-homogeˆneas
Uma equac¸a˜o diferencial linear de ordem n da forma
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ a1(x)dy
dx
+ a0(x)y = 0 (2)
e´ chamada homogeˆnea, enquanto que uma equac¸a˜o da forma
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ a1(x)dy
dx
+ a0(x)y = g(x) (3)
com g(x) na˜o identicamente zero, e´ chamada de
na˜o-homogeˆnea.
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Equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o-homogeˆneas
Exemplos:
1) A equac¸a˜o
2y ′′ + 3y ′ − 5y = 0
e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de segunda ordem
homogeˆnea.
2) A equac¸a˜o
x3y ′′′ + 2xy ′′ − 5y ′ + 6y = ex
e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de terceira ordem
na˜o-homogeˆnea.
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Equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o-homogeˆneas
Exemplos:
1) A equac¸a˜o
2y ′′ + 3y ′ − 5y = 0
e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de segunda ordem
homogeˆnea.
2) A equac¸a˜o
x3y ′′′ + 2xy ′′ − 5y ′ + 6y = ex
e´ uma equac¸a˜o diferencialordina´ria linear de terceira ordem
na˜o-homogeˆnea.
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Princ´ıpio de Superposic¸a˜o - Equac¸o˜es Homogeˆneas
Teorema (Princ´ıpio de Superposic¸a˜o - Equac¸o˜es Homogeˆneas)
Sejam y1, y2, · · · , yk soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial linear
de n−e´sima ordem homogeˆnea (2) em um intervalo I . Enta˜o,
a combinac¸a˜o linear
y = c1y1(x) + c2y2(x) + c3y3(x) + · · ·+ ckyk(x) (4)
em que c1, c2, c3, · · · , ck sa˜o constantes arbitra´rias, e´
tambe´m uma soluc¸a˜o no intervalo.
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Princ´ıpio de Superposic¸a˜o - Equac¸o˜es Homogeˆneas
Corola´rio (1)
Um mu´ltiplo y = c1y1(x) de uma soluc¸a˜o y1(x) para uma
equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea e´ tambe´m um soluc¸a˜o.
Corola´rio (2)
Uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea sempre possui a
soluc¸a˜o trivial y = 0.
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Crite´rio para Independeˆncia Linear de Soluc¸o˜es
Teorema (Crite´rio para Independeˆncia Linear de Soluc¸o˜es)
Sejam y1, y2, · · · , yn n soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial
linear de n−e´sima ordem homogeˆnea (2) em um intervalo I .
Enta˜o, o conjunto de soluc¸o˜es e´ linearmente independente
em I se e somente se
W (y1, y2, · · · , yn) 6= 0
para todo x no intervalo.
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Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es
Definic¸a˜o (Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es)
Qualquer conjunto {y1, y2, · · · , yn} de n soluc¸o˜es linearmente
independentes para a equac¸a˜o diferencial linear de n−e´sima
ordem homogeˆnea (2) em um intervalo I e´ chamado de
conjunto fundamental de soluc¸o˜es no intervalo.
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Equac¸o˜es Homogeˆneas
Teorema
Sejam y1, y2, · · · , yn n soluc¸o˜es linearmente independentes para
a equac¸a˜o diferencial linear de n−e´sima ordem homogeˆnea (2)
em um intervalo I . Enta˜o, toda soluc¸a˜o Y (x) para (2) e´ uma
combinac¸a˜o linear das n soluc¸o˜es independentes y1, y2, · · · , yn,
ou seja, existem constantes C1,C2, · · · ,Cn tais que
Y = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x)
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Soluc¸a˜o Geral - Equac¸o˜es Homogeˆneas
Definic¸a˜o (Soluc¸a˜o Geral - Equac¸o˜es Homogeˆneas)
Sejam y1, y2, · · · , yn n soluc¸o˜es linearmente independentes
para a equac¸a˜o diferencial linear de n−e´sima ordem
homogeˆnea (2) em um intervalo I . A soluc¸a˜o geral para a
equac¸a˜o no intervalo e´ definida por
y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x),
em que os ci , i = 1, 2, · · · , n sa˜o constantes quaisquer.
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Soluc¸a˜o Geral - Equac¸o˜es Homogeˆneas
Exemplo
Exemplo: A equac¸a˜o de segunda ordem y ′′ − 9y = 0 possui
duas soluc¸o˜es
y1 = e
3x e y2 = e
−3x .
Note que
W (y1, y2) =
∣∣∣∣ e3x e−3x3e3x −3e−3x
∣∣∣∣ = −6 6= 0
para todo x ∈ (−∞,∞). Logo, y1 e y2 formam um conjunto
fundamental de soluc¸o˜es da equac¸a˜o no intervalo (−∞,∞) e
a soluc¸a˜o geral e´
y = c1e
3x + c2e
−3x .
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Equac¸o˜es Na˜o-homogeˆneas
No caso das equac¸o˜es na˜o-homogeˆneas, qualquer func¸a˜o yp,
independente de paraˆmetros, que satisfac¸a (3) e´ chamada de
soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o.
Veremos a seguir que para encontrar uma soluc¸a˜o geral de
uma equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea devemos encontrar primeiro uma
soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea associada e uma soluc¸a˜o
particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea.
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Equac¸o˜es Na˜o-homogeˆneas
Teorema
Sejam y1, y2, · · · , yn soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial linear
de n−e´sima ordem homogeˆnea (2) em um intervalo I e seja yp
uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea (3) no
mesmo intervalo. Enta˜o,
y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x) + yp(x)
e´ tambe´m uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea no
intervalo I para quaisquer constantes c1, c2, · · · , cn.
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Equac¸o˜es Na˜o-homogeˆneas
Teorema
Seja yp uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o diferencial
linear na˜o-homogeˆnea de n-e´sima ordem (3) em um intervalo I
e seja {y1, y2, · · · , yn} um conjunto fundamental de soluc¸o˜es
para a equac¸a˜o homogeˆnea associada (2) no intervalo. Enta˜o,
para qualquer soluc¸a˜o Y (x) de (3) em I , podemos encontrar
constantes C1,C2, · · · ,Cn tais que
Y = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x) + yp(x).
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Soluc¸a˜o Geral - Equac¸o˜es Na˜o-homogeˆneas
Definic¸a˜o (Soluc¸a˜o Geral - Equac¸o˜es Na˜o-homogeˆneas)
Seja yp uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o diferencial linear
na˜o-homogeˆnea de n-e´sima ordem (3) em um intervalo I e seja
yc = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)
a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o homogeˆnea associada (2) no
intervalo. A soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea no
intervalo e´ definida por
y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x) + yp(x) = yc(x) + yp(x).
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Princ´ıpio de Superposic¸a˜o - Equac¸o˜es
Na˜o-homogeˆneas
Teorema (Princ´ıpio de Superposic¸a˜o - Equac¸o˜es Na˜o-homogeˆneas)
Sejam yp1, yp2, · · · , ypk k soluc¸o˜es particulares para a equac¸a˜o
diferencial linear de n−e´sima ordem na˜o-homogeˆnea (3) em um
intervalo I , correspondendo a k func¸o˜es distintas g1, g2, · · · , gk .
Isto e´, suponha que ypi seja uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o
diferencial correspondente:
an(x)y
(n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·+ a1(x)y ′ + a0(x)y = gi (x),
em que i = 1, 2, · · · , k. Enta˜o, yp = yp1(x) + yp2(x) + · · · ypk(x) e´
uma soluc¸a˜o particular para
an(x)y
(n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·+ a1(x)y ′ + a0(x)y
= g1(x) + g2(x) + · · ·+ gk(x).
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Construindo uma segunda soluc¸a˜o a partir da
primeira
Considere a equac¸a˜o a2(x)y
′′ + a1(x)y ′ + a0y = 0. Dividindo
esta equac¸a˜o por a2(x) obtemos uma equac¸a˜o da forma
y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 (5)
em que P e Q sa˜o cont´ınuas em alguma intervalo I .
Se y1(x) e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o (5) em I e y1(x) 6= 0
para todo x ∈ I enta˜o
y2 = y1(x)
∫
e−
∫
P(x)dx
y 21 (x)
dx
e´ tambe´m soluc¸a˜o de (5) e, ale´m disso, y1(x) e y2(x) sa˜o
linearmente independentes.
Prof. Me. Elianderson Santos Equac¸o˜es Diferenciais:
Construindo uma segunda soluc¸a˜o a partir da
primeira
Considere a equac¸a˜o a2(x)y
′′ + a1(x)y ′ + a0y = 0. Dividindo
esta equac¸a˜o por a2(x) obtemos uma equac¸a˜o da forma
y ′′ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 (5)
em que P e Q sa˜o cont´ınuas em alguma intervalo I .
Se y1(x) e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o (5) em I e y1(x) 6= 0
para todo x ∈ I enta˜o
y2 = y1(x)
∫
e−
∫
P(x)dx
y 21 (x)
dx
e´ tambe´m soluc¸a˜o de (5) e, ale´m disso, y1(x) e y2(x) sa˜o
linearmente independentes.
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Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de segunda ordem
Vamos considerar a equac¸a˜o linear de segunda ordem
homogeˆnea com coeficientes constantes
ay ′′ + by ′ + cy = 0. (6)
Para determinar a soluc¸a˜o geral de (6) devemos utilizar a
equac¸a˜o auxiliar associada a` equac¸a˜o diferencial (6)
am2 + bm + c = 0 (7)
para encontrar um conjunto fundamental de soluc¸o˜es.
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Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de segunda ordem
A soluc¸a˜o de (6) dependera´ das ra´ızes da equac¸a˜o auxiliar (7),
que e´ do segundo grau.
As ra´ızes desta equac¸a˜o podem ser ambas reais (distintas ou
iguais) ou ambascomplexas.
Em cada um dos casos, temos uma soluc¸a˜o geral espec´ıfica
para (6).
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Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de segunda ordem - Caso I: Ra´ızes reais e distintas
Se a equac¸a˜o auxiliar
ay ′′ + by ′ + cy = 0
possui duas soluc¸o˜es reais m1 6= m2 enta˜o
y1 = e
m1x e y2 = e
m2x
sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes para (6) e a soluc¸a˜o
geral e´ dada por
y = c1e
m1x + c2e
m2x
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Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de segunda ordem - Caso II: Ra´ızes reais iguais
Se a equac¸a˜o auxiliar
ay ′′ + by ′ + cy = 0
possui uma u´nica soluc¸a˜o real m1 enta˜o
y1 = e
m1x e y2 = xe
m1x
sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes para (6) e a soluc¸a˜o
geral e´ dada por
y = c1e
m1x + c2xe
m1x
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Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de segunda ordem - Caso III: Ra´ızes complexas conjugadas
Se a equac¸a˜o auxiliar
ay ′′ + by ′ + cy = 0
possui soluc¸o˜es complexas conjugadas m1 = α + iβ e
m2 = α− iβ enta˜o a soluc¸a˜o geral e´ dada por
y = eαx(c1 cos(βx) + c2sen(βx))
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Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de ordem superior
No caso geral, para resolver uma equac¸a˜o diferencial de
n-e´sima ordem
an(x)y
(n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·+ a1(x)y ′ + a0(x)y = 0 (8)
em que os ai , i = 0, 1, 2, · · · sa˜o constantes, devemos resolver
a equac¸a˜o equac¸a˜o auxiliar
anm
n + an−1mn−1 + · · · a2m2 + a1m + a0 = 0 (9)
Prof. Me. Elianderson Santos Equac¸o˜es Diferenciais:
Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de ordem superior
Se todas as ra´ızes de (9) sa˜o reais e distintas, enta˜o a soluc¸a˜o
geral para (8) e´
y = c1e
m1x + c2e
m2x + · · ·+ cnemnx , (10)
onde c1, c2, · · · , cn sa˜o constantes arbitra´rias.
Prof. Me. Elianderson Santos Equac¸o˜es Diferenciais:
Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de ordem superior - Equac¸o˜es reais repetidas
Quando nem todas as ra´ızes sa˜o reais e distintas, torna-se um
pouco mais dif´ıcil resumir casos ana´logos dos Casos I e II das
equac¸o˜es de segunda ordem. Pore´m, em termos gerais,
deve-se aplicar as seguintes regras:
• Quando uma raiz real m1 se repete k vezes, a soluc¸a˜o geral
de (8) devera´ conter uma expressa˜o da forma
c1e
m1x + c2xe
m1x + c3x
2em1x + · · ·+ ckxk−1em1x , (11)
onde c1, c2, · · · , ck sa˜o constantes arbitra´rias.
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Equac¸o˜es lineares homogeˆneas com coeficientes
constantes
Equac¸o˜es de ordem superior - Ra´ızes complexas repetidas
• No caso especial de uma raiz complexa m1 = α + iβ ter
multiplicidade k (se repete k vezes) enta˜o seu conjugado
m2 = α− iβ tambe´m tera´ multiplicidade k e a soluc¸a˜o geral
de (8) devera´ conter combinac¸a˜o linear das 2k soluc¸o˜es
linearmente independentes
eαx cos(βx), xeαx cos(βx), x2eαx cos(βx), · · · , xk−1eαx cos(βx)
eαx sen(βx), xeαx sen(βx), x2eαx sen(βx), · · · , xk−1eαx sen(βx)
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Exerc´ıcios
[2], sec¸a˜o 4.1, exerc´ıcio 15 ao 22 (p. 164)
[2], sec¸a˜o 4.3, exerc´ıcios ı´mpares desde o 1 ao 35 (p. 180)
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Refereˆncias
1 CULLEN, Michael R.; ZILL, Dennis G. Equac¸o˜es
Diferenciais - Volume 1. 3a Edic¸a˜o. Sa˜o Paulo: Pearson,
2001.
2 ZILL, Dennis G. Equac¸o˜es Diferenciais com Aplicac¸o˜es
em Modelagem. 3a Edic¸a˜o. Sa˜o Paulo: Cengage
Learning, 2016.
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