PROVA 1 CÁLCULO 2

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Primeira Avaliação de Cálculo 2 para Engenharia Elétrica 
Escolha 5 questões e resolva. 
Justifique todas suas respostas. 
 1. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥2 − 𝑦2: 
a) Determine o domínio e a imagem. 
b) Desenhe e determine a expressão algébrica das curvas de nível de 𝑓(𝑥, 𝑦). 
c) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 2. Determine o conjunto de continuidade da função. 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥+𝑦
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
. 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
3. Mostre que a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 5𝑦2 é diferenciável achando os valores ε1 
e ε2 que satisfaçam a seguinte Definição 
Se 𝑓 for uma função de duas variáveis 𝑥 e 𝑦 e o incremento de 𝑓 em (𝑥0, 𝑦0) puder 
ser escrito como ∆𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝐷1𝑓(𝑥0, 𝑦0)∆𝑥 + 𝐷2𝑓(𝑥0, 𝑦0)∆𝑦 + 𝜖1∆𝑥 + 𝜖2∆𝑦 
onde 𝜖1 e 𝜖2 são funções de ∆𝑥 e ∆𝑦, tais que 𝜖1 → 0 e 𝜖2 → 0 quando 
(∆𝑥, ∆𝑦) → (0,0), então diremos que 𝑓 é diferenciável em (𝑥0, 𝑦0). 
4. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
3𝑥2𝑦
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
. Essa função é contínua em (0,0). 
Prove que 𝐷1𝑓(0,0) e 𝐷2𝑓(0,0) existem, mas 𝐷1𝑓 e 𝐷2𝑓 não são contínuas em 
(0,0) 
 5. Se 𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤) é diferenciável , 𝑢 = 𝑥 − 𝑦, 𝑣 = 𝑦 − 𝑧 e 𝑤 = 𝑧 − 𝑥, mostre que 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 0 
 6. Um recipiente fechado na forma de um sólido retangular deve ter um 
comprimento interno de 8 𝑚, uma largura interna de 5𝑚, uma altura de 4𝑚 e uma 
espessura de 4𝑐𝑚. Use diferenciais para aproximar a quantidade de material 
necessário para construir o recipiente. 
Universidade Federal de Goiás 
Instituto de matemática e Estatística 
Prof.ª: Sarah Oliveira Barbosa 
Turma: Engenharia Elétrica 
Data: 03/05/2018 
Nome: Matrícula: