analise mat5

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Questão 1/12 - Análise Matemática
Considere a seguinte informação:
 
“Se as funções contínuas e são zero em , então não pode ser 
encontrado com a substituição . A substituição gera , uma expressão sem significado 
conhecida como uma forma indeterminada. [...] A Regra de l’Hôpital nos permite ter sucesso 
usando derivadas para calcular limites que, abordados de outra maneira, levam a formas 
indeterminadas”.
 
 
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Re
de l’Hôpital, o limite da função quando tende a é:
Nota: 0.0
Questão 2/12 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação:
 
“Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medid
que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos e ”.
 
Dada a função tal que 
A
 
B 1
C 
D
 
E 2
f(x) g(x) x = a limx→a
f(x)
g(x)
x = a 0
0
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FINNEY, R. L., WEIR, M. D., Giordano, F. RCálculo: George B. Thomas. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley. v. I, 2002. p. 554.
limx→1
x2 − 1
x − 1
x 1
e
−∞
+∞
Usando a Regra de L'Hôspital temos: 
(livro-base, p. 128).
limx→1 = limx→1 = = 2
x2 − 1
x − 1
2x
1
2 ⋅ 1
1
x y 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/limite-uma-funcao.htm>. Acesso em: 21 jun. 2017.
f : R → R f(x) = x ln x
Levando em consideração as informações do dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-
base Análise Matemática sobre limite e continuidade, responda:
 
Qual é o limite da função dada quando x tende a 1 (um)?
Nota: 0.0
A
 
B 
C 
D 1
E 0
Questão 3/12 - Análise Matemática
−1
−∞
∞
Temos que e 
. Assim 
 (livro-base, p.
93)
limx→1 x = 1
limx→1 ln x = ln 1 = 0
limx→1 x ⋅ ln x = 1 ⋅ 0 = 0
Observe o gráfico da função e da sua reta tangente no ponto .
 
 
Fonte: Imagem produzida pelo autor da questão.
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
Derivadas, assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente ao gráfico da função 
no ponto :
 
Nota: 10.0
A
 
B
 
C
 
f(x) = x2 x = 1
f
x = 1
y = −2x + 1
y = 3x– 3
2
y = 2x– 1
Você acertou!
A alternativa correta é letra c. Temos que 
, logo, é a inclinação
da reta tangente. No ponto temos 
f ′(x) = 2x f ′(1) = 2
x = 1
D
 
E
Questão 4/12 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação:
 
“Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado não existe o
que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é necessário”.
 
 
Dado o seguinte limite: 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limit
assinale a alternativa que fornece o valor do limite dado:
Nota: 10.0
A
 
B 2
C
D 0
E 1
. Assim a equação da reta
tangente é: , isto é: 
. (livro-base, p. 111-113).
y = f(1) = 1
(y − 1) = 2(x − 1)
y = 2x − 1
y = −x + 3
y = −x + 4
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>. Acesso em: 20 jun. 2017.
limx→1
2x − 2
x2 − 1
−2
∞
Você acertou!
Temos uma indeterminação do tipo ,
então podemos usar a Regra de L’Hôpital: 
. Outra
forma de calcular esse limite seria isolando
no numerador a expressão e
fatorando o denominador como 
.
(livro-base, p. 128).
0
0
limx→1 = limx→1 = 1
2x − 2
x2 − 1
2
2x
(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
Questão 5/12 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“A função exponencial natural tem a propriedade de ser a sua própria derivada”.
 
 
De acordo com a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a 
função exponencial natural, pode-se dizer que a integral é é equivalente a:
Nota: 0.0
A
B
C
D 
 
E
Questão 6/12 - Análise Matemática
Considere a seguinte função definida por partes:
 
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São PaCengage, 2013. v. I. p. 164.
∫ 10 e
xdx
∫ 10 e
xdx = 0
∫ 10 e
xdx = 1 − e2
∫ 10 e
xdx = 1 − 2e
∫ 10 e
xdx = e − 1
A primitiva da função exponencial natural é
a própria função. Então, pelo Teorema
Fundamental do Cálculo, tem-se:
 
 
(livro p.155)
∫ 10 e
xdx = ex|10 = (e1 − e0) = e − 1
∫ 10 e
xdx = 1 + e
f(x) = { 3x, x < 1
x + 2 x ≥ 1
Considerando a função dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivada
assinale a única alternativa correta:
Nota: 10.0
Questão 7/12 - Análise Matemática
Na definição de integral definida , trabalhamos com uma função definida em um 
intervalo limitado e presumimos que não tenha uma descontinuidade infinita. 
 Agora entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e
também para o caso onde tem uma descontinuidade infinita em . Em ambos os casos, a
integral é chamada integral imprópria. 
 
 
Observe a imagem:
 
A A derivadas laterais são iguais a 1.
B 
 
 e 
 
C A função não tem derivadas laterais.
D As derivadas laterais têm valores iguais.
E Não existem os limites laterais de em .
f ′(1−) = 3 f ′(1+) = 1
Você acertou!
Temos que 
(livro-base, p. 128-129).
f ′(1−) = limx→1− = limx→1−
f(x) − f(1)
x − 1
3
f ′(1+) = limx→1+ = limx→1+
f(x) − f(1)
x − 1
x
f x = 1
∫ ba f(x)dx f
[a, b] f
f [a, b]
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São PaCengage, 2013. v. I. p. 470.
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Integrais
impróprias, a área da região hachurada na figura é o valor da integral imprópria que 
corresponde a:
Nota: 0.0
A
 
B
 
C
D
 
E
 
∫ +∞1 dx
1
x2
A(D) = ∞
A(D) = 2
A(D) = 1
 (livro-base, p. 
∫ +∞1 = limt→+∞ ∫
t
1 dx = limt→+∞(F(t)
1
x2
1
x2
limt→+∞ (− + 1) = 0 + 1 = 1
1
t
A(D) = e
A(D) = e−1
Questão 8/12 - Análise Matemática
Observe o intervalo representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as 
assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I. ( ) é um conjunto aberto.
 II. ( ) é um conjunto limitado.
 III. ( ) é um conjunto compacto.
 IV. ( ) é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
A V-V-F-F
B V-V-V-F
C F-F-V-V
X = (−√2, √2 )
X
X
X
X
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência
correta é a letra a). A afirmativa I é
verdadeira porque todo ponto do conjunto 
 é ponto interior de . A afirmativa II é
verdadeira porque existe , por
exemplo, tal que para todo 
. A afirmativa III é falsa porque o
conjunto não é fechado e nem limitado.
A afirmativa IV é falsa porque o
complementar do conjunto não é aberto,
por exemplo, pertence ao
complementar de , mas não é ponto
interior do complementar. (livro-base, p.
88-91).
X X
R > 0
R = 3 |x| < 3
x ∈ X
X
X
x = √2
X
D F-V-F-F
E V-F-V-F
Questão 9/12 - Análise Matemática
Observe o gráfico da função 
 
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a 
continuidade,analise as afirmações a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F pa
as afirmações falsas.
 
I. ( ) 
 
II. ( ) 
 
III. ( ) 
 
IV. ( ) 
 
V. ( ) 
 
Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 0.0
A F – F – V – F – V
B F – V – V – V – F
C
f(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x + 1, x < 1
0, x = 1
3 − x, x > 1
limx→1+ f(x) = 2
limx→1 f(x) = f(1)
∄ limx→1 f(x)
limx→1 f(x) = 2
f(1) = 0
Questão 10/12 - Análise Matemática
Considere as funções dadas por e e seja a função composta 
.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas, 
podemos concluir que a derivada da função composta dada é:
Nota: 0.0
A 
B 
C
D
V – F – F – F – V
D V – F – F – V – V
E V – V – F – F – F
A alternativa que contém a sequência correta é
letra d. A afirmativa I é verdadeira porque 
. A
afirmativa II é falsa porque 
. A afirmativa III é
falsa porque . A afirmativa IV 
verdadeira porque os limites laterais de 
 quando tende a 1 são iguais a 2. A afirmativ
V é verdadeira pela definição da função. (livro-
base, p. 90-97).
limx→1+ f(x) = limx→1+ 3 − x = 3 − 1 = 2
limx→1+ f(x) = 2 ≠ 0 = f(1)
limx→1 f(x) = 2
f
x
f, g : R → R f(x) = ex g(x) = 3x
(f ∘ g)(x) = e3x
(f ∘ g)′(x) = 3ex + 2ex
(f ∘ g)′(x) = 3ex + 2e2x
(f ∘ g)′(x) = e3x2+2
(f ∘ g)′(x) = 3e3x
A alternativa correta é a letra d), pois
temos que e . Logo,
pela Regra da Cadeia, temos que 
 
(livro-base, p. 119-121).
 
f ′(x) = ex g ′(x) = 3
(f ∘ g)′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x) = 3e3x
E
Questão 11/12 - Análise Matemática (questão opcional)
"Uma função é contínua em um número se 
 
1. está definida (isto é, está no domínio de )
 2. existe
 3. ".
 
 
 
 
Observe o gráfico da função definida no intervalo :
 
 
 
 
De acordo com a figura e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Lim
e Continuidade, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
A O limite lateral de quando x tende a -1
pela direita é 
B O limite lateral de quando x tende a 
pela esquerda é .
C O limite de quando tende a existe e
vale zero.
D A função é contínua em .
(f ∘ g)′(x) = (3x2)ex
f a limx→a f(x) = f(a)
f(a) a f
limx→a f(x)
limx→a f(x) = f(a)
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São PaCengage, 2013. v. I. p. 109.
f(x) [−1, 4]
f(x)
-2
f(x) 2
1
f(x) x 2
f(x) x = 2
E O limite lateral de quando tende a 
 pela esquerda é .
Questão 12/12 - Análise Matemática (questão opcional)
Atente para a seguinte citação:
 
“Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das 
limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrav
curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um 
processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecid
na História da Matemática como o ‘Problema da Tangente’”.
 
 
De acordo com as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre
Derivadas, sendo , assinale a alternativa que contém o limite q
devemos calcular para encontrar a derivada da função no ponto :
Nota: 0.0
A
 
B
 
C
 
f(x) x
(−1) 0
Pelo gráfico podemos ver que quando se
aproxima de pela esquerda o se
aproxima de zero (livro-base, p. 96).
x
−1 y
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>. Acesso em: 20 jun. 2017.
f ′(x0) = limx→x0
[f(x) − f(x0)]
x − x0
f(x) = x2 − 1 x = 2
limx→2
(x2 − 1) ± 5
x − 2
limx→2
(x2 − 1) − 3
x − 2
Como e 
 quando
esse limite existir, então, 
f(2) = 3
f ′(2) = limx→2
f(x) − f(2)
x − 2
limx→2
(x2 − 1) − 3
x − 2
limx→0
(x2 − 1) − 2
x − 2
D
E
 
limx→2
(x2 − 1)
x − 2
limx→0
(x2 − 1)
x