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UNA 4a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves 1. Resolva as equac¸o˜es diferenciais dadas. a) xy′ − 2y = x2. Considere x como a varia´vel independente. Resposta: y(x) = x2 ln | x|+ cx2 b) (1 + t) du dt + u = 1 + t, t > 0 Resposta: u = t2 + 2t+ 2c 2(t+ 1) 2. Resolva o PVI: dy dx + y = x+ ex y(0) = 0 Resposta: y = x− 1 + 1 2 (ex + e−x) 3. Resolva o problema de valor inicial: dv dt − 2tv = 3t2et 2 v(0) = 5 Resposta: v(t) = t3et 2 + 5et 2 4. Resolva o PVI: x dy dx = y + x2senx y(pi) = 0 Resposta: y(x) = −x cos x− x 1 5. Um tanque conte´m 200L de a´gua pura. Uma soluc¸a˜o com concentrac¸a˜o de 3 gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto, enquanto a soluc¸a˜o bem misturada sai a` taxa de 2 litros por minuto. Determine a quantidade de soluto no tanque em um instante t. Resposta: Q(t) = 9t+ 600 [ 1− 20 · 51/3 (200 + 3t)2/3 ] gramas 6. Um tanque conte´m 100 litros de uma soluc¸a˜o a uma concentrac¸a˜o de 1 grama por litro. Uma soluc¸a˜o com uma concentrac¸a˜o de 2te− 1 100 t gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a soluc¸a˜o bem misturada sai a mesma taxa. a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a partir do in´ıcio do processo. b) Calcule a concentrac¸a˜o de sal no tanque t = 10 minutos apo´s o in´ıcio do processo. Respostas: a) Q(t) = t2e− 1 100 t + 100e− 1 100 t b) 2e− 1 10 gramas/litro 7. Suponha que a velocidade que um bote motorizado que possui um tripulante atinja apo´s t horas de navegac¸a˜o seja a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial: 120 dv dt = 10 − 2v. O bote inicialmente estava em repouso. Determine a velocidade do bote em func¸a˜o do tempo. Resposta: v(t) = 5− 5e− t 60 8. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada: x dy dx − 4y = x6ex. Resposta: y(x) = x5ex − x4ex + cx4 2 9. Resolva o PVI: dy dx + 2xy = x y(0) = −3 Resposta: y = 1 2 − 7 2 e−x 2 3
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