Lista_I

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UNIPAMPA - Campus Alegrete
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais I
Professor: Joa˜o Pl´ınio Juchem Neto
Semestre: 01/2014
LISTA DE EXERCI´CIOS I
1. Verifique que as func¸o˜es a seguir sa˜o soluc¸o˜es das respectivas equac¸o˜es diferenciais.
a) x(t) = e2t − 4, x′ − 2x = 8
b) y(x) = 3xex, y′′ − 2y′ + y = 0
c) z(s) =
√
s2 − a2, dz
ds
= s√
s2−a2 , a 6= 0
d) x(t) = 3(t + 2), 4x′′ − tx′ + x = 6
2. Verifique que y = Cey/x e´ uma soluc¸a˜o impl´ıcita para a equac¸a˜o diferencial y′ = y
2
xy−x2 .
a) f(x, y) = (y − 2x)2
b) f(x, y) = ey/x
c) f(x, y) =
√
y2 + x2
d) f(x, y) = x2 + 9y2
3. Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais separa´veis.
a) y′ = xy
1+x2
b) dy
dx
= x
2
1+y2
, y(2) = 1
c) y − (1 + x)y′ = 0
d) y′ tanx = y, y
(
pi
6
)
= −1
2
e) y′ = lnx
1+y2
, y(1) = 0
f) y′ = xex+y
4. Encontre a soluc¸a˜o geral, em forma impl´ıcita, da equac¸a˜o diferencial:
y′ = − x− 2
2(y − 1) .
a) Completando os quadrados na resposta do item anterior, mostre que a soluc¸a˜o geral e´ uma
famı´lia de elipses. Fac¸a um esboc¸o destas elipses.
b) Para o problema de valor inicial (PVI) que se obte´m ao acrescentar a condic¸a˜o inicial
y(2) = 0, encontre a expressa˜o da soluc¸a˜o e seu intervalo ma´ximo de validade.
5. Resolva o PVI abaixo, e encontre o intervalo ma´ximo de validade da soluc¸a˜o:
y′ =
1 + y
x− 1 , y(−1) = −3.
1
6. Resolva a equac¸a˜o diferencial y′ = x
2+y
e fac¸a um esboc¸o da famı´lia de soluc¸o˜es encontrada.
Para cada uma das condic¸o˜es iniciais abaixo, resolva o PVI correspondente, encontrando o in-
tervalo ma´ximo de validade de cada soluc¸a˜o.
a) y(0) = 0
b) y(−3) = −3
c) y(−2) = 0
7. Resolva a equac¸a˜o diferencial y′ = x3y2 e fac¸a um esboc¸o da famı´lia de soluc¸o˜es encontrada.
Para cada uma das condic¸o˜es iniciais abaixo, resolva o PVI correspondente, encontrando o in-
tervalo ma´ximo de validade de cada soluc¸a˜o.
a) y(0) = 4
b) y(−√3) = −1/2
c) y(1) = −1
d) y(−2) = 0
8. Determine se cada uma das equac¸o˜es abaixo e´ ou na˜o e´ exata. Encontre a soluc¸a˜o das que
forem exatas.
a) (2x + 3) + (2y − 2)y′ = 0
b) (2x + 4y) + (2y − 2y)y′ = 0
c) (3x2 − 2xy + 2)dx + (6y2 − x2 + 3)dy = 0
d) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y′ = 0
e) dy
dx
= −ax+by
bx+cy
f) dy
dx
= −ax−by
bx−cy
g) (ex sin y − 2y sinx)dx + (ex cos y + 2 cosx)dy = 0
h) (y/x + 6x)dx + (lnx− 2)dy = 0, x > 0
i) (x ln y + xy)dx + (y lnx + xy)dy = 0, x > 0, y > 0
2