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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PROFESSORA: JOANA DARC A. S. DA CRUZ LISTA DE EXERCI´CIOS DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I - SE´RIES DE FUNC¸O˜ES 1. Determine o intervalo de convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo: (a) 1 + ∞∑ n=1 xn 2n ; Resposta: [−1, 1) (b) ∞∑ n=1 x2n 3nn2 , Resposta:[−√3,√3] (c) ∞∑ n=0 (2n + 8)3x2n+1; Resposta: (−1, 1) (d) ∞∑ n=0 (2x + 3)n 52n ; Resposta: (−15, 10] (e) ∞∑ n=0 √ 3n(n + 1) n2 + 1 x2n; Resposta: [−1/ 4√3, 1/ 4√3] (f) ∞∑ n=2 xn log n ; Resposta: [−1, 1) (g) ∞∑ n=1 n!xn (2n)! ; Resposta: R (h) ∞∑ n=0 (−1)n(x− 1)n (n + 1)2n ; Resposta: (−1, 3] (i) ∞∑ n=0 (n + 1)!(x− 5)n 10n ; Resposta: {5} (j) ∞∑ n=1 (x− e)n lnn nen ; Resposta: [0, 2e) 2. Mostre que ∞∑ n=1 n 2n = 2 Sugesta˜o: Considere o desenvolvimento, em poteˆncias de x, de xf ′, onde f = (1− x)−1. 3. Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo. (a) 1 x em poteˆncias de (x + 1) Sugesta˜o: 1 x = 1 (x + 1)− 1 = −1 1− (x + 1) . Resposta: +∞∑ n=0 (−1)(x + 1)n, se |x + 1| < 1 (b) 4 3x em poteˆncias de (x− 2) Resposta: +∞∑ n=0 (−1)n 3 · 2n−1 (x− 2) n, se |x− 2| < 2 (c) 3x 2x− 1 em poteˆncias de (x− 1). Sugesta˜o: 3x 2x− 1 = [3(x− 1) + 3] 1 1 + 2(x− 1) Resposta: 3 + +∞∑ n=1 3(−1)n2n−1 (x− 1)n, se |x− 1| < 1/2 (d) (1 + x)−3 em poteˆncias de x. Resposta: +∞∑ n=0 (−1)n(n + 1)(n + 2) 2 xn, se |x| < 1 4. Identifique as func¸o˜es definidas pelas se´ries de poteˆncias dadas. (a) ∞∑ n=1 (n + 1)xn Resposta: f(x) = 1 (1− x)2 − 1 (b) ∞∑ n=1 (n + 2) xn 2n+1 Resposta: f(x) = 3x− x2 (2− x)2 5. Obtenha a se´rie de poteˆncias de x para: (a) f(x) = x 2− 3x Resposta: x 2 + +∞∑ n=2 3n−1 2n xn, se |x| < 2/3 (b) 1 x2 − 3x + 2 Resposta: +∞∑ n=0 ( 1− 1 2n+1 ) xn, se |x| < 1 (c) f(x) = ∫ x 0 ln(1 + t2) dt Resposta: +∞∑ n=0 (−1)n (n + 1)(2n + 3) x2n+3, se |x| < 1 6. Expanda as func¸o˜es abaixo em se´ries de poteˆncias de (x− a). (a) f(x) = 1 (1 + x)2 , a = 0. Resposta: +∞∑ n=0 (−1)n(n + 1)xn, se |x| < 1 (b) f(x) = e−2x, a = −1. Resposta: +∞∑ n=0 (−1)n2ne2 n! (x + 1)n, ∀x ∈ R (c) f(x) = ln(x + 2), a = 1. Resposta: ln(3) + +∞∑ n=0 (−1)n (n + 1)3n+1 (x− 1)n+1, se (−2, 4] 7. Fac¸am os exerc´ıcios da Sec¸a˜o 2.4 do nosso livro texto.
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