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UFCG - UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA - UAMat
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares
Aluno(a): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Terceira Prova.
01. Considere o PVI para equac¸a˜o diferencial{
(16− t2)y′′′ + 2te−ty′′ − sen(t)y′ + y = cos(t),
y(pi) = 0, y′(pi) = 1, y′′(pi) = 0 .
Qua o maior intervalo onde esta´ garantida a existeˆncia e unicidade da
soluc¸a˜o deste PVI? Justifique.
02. Considere o PVI para a equac¸a˜o diferencial{
y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 0,
y(0) = 1, y′(0) = −1, y′′(0) = 1 .
(a) Escreva o PVI para a equac¸a˜o como um PVI pra um sistema de
primeira ordem.
(b) Determine a soluc¸a˜o do PVI.
(c) Baseado no item (b) responda se a soluc¸a˜o y(t) do PVI da equac¸a˜o
diferencial e´ crescente ou decrescente. Justifique.
03. Considere o sistema

x′ = −x+ 4y,
y′ = −4x− y,
z′ = −z ,
x(0) = 2,
y(0) = 1,
z(0) = 3.
(a) Escreva a matriz A dos coeficientes do sistema.
(b) Sabendo-se que A possui os autovalores r1 = −1, r2 = −1 + 4i e
r2 = −1− 4i e os respectivos autovetores associados
v1 =
00
1
 , v2 =
1i
0
 , v3 =
 1−i
0
 ,
determine a soluc¸a˜o do PVI e calcule lim
t→+∞
y(t).
1
04. Considere o sistema

x′ = 5x− 3y − 2z,
y′ = 8x− 5y − 4z,
z′ = −4x+ 3y + 3z ,
(a) Escreva a matriz A dos coeficientes do sistema.
(b) Sabendo-se que r = 1 e´ um autovalor triplo de A e
(b.1) que
(
1, 0, 2
)T
e
(
0, 2, −3)T sa˜o dois autovetores de A,
LI entre si, associados ao autovalor r = 1;
(b.2) que (A− I)2 =
0 0 00 0 0
0 0 0
.
Determine uma Matriz Soluc¸a˜o Fundamental para o sistema.
(c) A partir dos itens anteriores escreva a soluc¸a˜o geral do sistema
especificando x(t), y(t) e z(t).
05. Considere o sistema
{
x′ = 2x− 3y − 1,
y′ = x− 2y + e3t .
(a) Escreva a matriz A dos coeficientes do sistema e o termo na˜o
homogeˆneo g(t).
(b) Sabendo-se que os autovalores de A sa˜o r1 = −1 e r2 = 1, com
respectivos autovetores associados v1 =
(
1
1
)
e v2 =
(
3
1
)
, escreva
a soluc¸a˜o geral do sistema homogeˆneo.
(c) Use o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para determinar uma
soluc¸a˜o particular do sistema na˜o homogeˆneo.
(d) Escreva a soluc¸a˜o geral do sistema na˜o homogeˆneo especificando
x(t) e y(t).
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