Lista de Derivadas 2

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Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matema´tica
Departamento de Matema´tica
2a¯ Lista - MAT A02 - Ca´lculo A - Turmas 13 e 14
Prof.a¯ Simone Moraes
1. Encontre, caso existam, a equac¸a˜o da reta tangente e a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico das
func¸o˜es dadas abaixo, nos pontos indicados.
(a) f(x) = x2 e (−1, f(−1)), (0, f(0)), (1, f(1));
(b) f(x) = |x− 5|; e (0, f(0)), (5, f(5));
(c) f(x) =
 |x+ 3|x+ 3 , se x 6= −31, se x = −3 e (−3, f(−3));
(d) f(x) =
{
2x+ 1, se x < −1
−x2, se x ≥ −1 e (−1, f(−1));
(e) f(x) =
{
3x− 1, se x ≤ 2
x2 + 1, se x > 2
e (2, f(2)).
2. Determine se
(
1, f(1)
)
e´ um ponto em que a reta tangente ao gra´fico de f e´ vertical ou se e´ um
ponto de cu´spide do gra´fico.
(a) f(x) =

√
1− x2, se x ≤ 1
−√1− (x− 2)2, se x > 1 ;
(b) f(x) =

√
1− x2, se x ≤ 1√
1− (x− 2)2, se x > 1
.
3. Estude a continuidade e a diferenciabilidade das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
{
2− x2, se x ≤ −1
x2, se x > −1 ;
(b) f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
x2 − 3, se x > 1 ;
(c) f(x) =
{
x2 − x− 2, se x ≤ 1
2
√
x, se x > 1
.
1
4. Calcule a derivada e simplifique o resultado para cada uma das seguintes func¸o˜es dadas abaixo:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 2x− 1; (b) f(x) = √x3 + 1
x3
− 2
x3
+ x+ 6;
(c) f(x) = (2x− 1)√x; (d) f(x) = 3x+ 4
x− 5 ;
(e) f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
; (f) f(x) =
3x2 − 3x+ 4
3
√
x
(g) f(x) =
(
x+ 4
2x2 − 5x+ 6
)4
; (h) f(x) =
(4x− 1)3(x2 + 2)4
(3x2 + 5)2
;
(i) f(t) = 3
√
5t+ 6
5t− 4; (j) f(x) = |x
3 − 1|5;
(k) f(x) =
√
1
|1− 2x| ; (l) f(x) = | cos
√
x|;
(m) f(x) =
sen (x3) + 3
sen (x3)− 3; (n) f(x) =
√
1− tg (4x)
1 + tg (4x)
;
(o) f(x) = x[cotg (|x|) + tg (|x|)] (p) f(x) = sec4
(
x
2
)
tg
(
x
3
)
;
(q) f(x) =
√
1 + cossec2(3x); (r) f(x) = ln
(
(x4 + 2)6 4
√
5x+ 2
(2x4 + 7x2)
√
3x+ 4
)
;
(s) f(x) = ln (3 + sen2x); (t) f(x) =
ln (x2 + 1)
ln (x2 + 3)
;
(u) f(x) = xx
x
; (v) f(x) =
(3x+ 5)6
√
x4 + 3x2
3
√
(e3x + 7)2
;
(w) f(x) = x
√
2; (x) f(x) = (e2x + 7)cosx
2
.
5. Verifique, nos casos abaixo, se as hipo´teses do Teorema de Rolle sa˜o satisfeitas; em caso afir-
mativo, determine um ponto para o qual a reta tangente ao gra´fico de f e´ horizontal:
(a) f(x) =
4
√
x3 − 4 4√x+ 1, [0, 16];
(b) f(x) = 3
√
x− 3√x4 − x, [−1, 1];
(c) f(x) =
{
x− 2, se x ≤ 2
6− x, se x > 2 , [2, 6].
2
6. Verifique, nos casos abaixo, se as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio (TVM) sa˜o satisfeitas;
em caso afirmativo, determine o ponto c que satisfac¸a a conclusa˜o do teorema:
(a) f(x) =
{ 2x− 1
2x− 4 , se x 6= 2
1, se x = 2
, [1, 2];
(b) f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
2x− 1, se x > 1 , [0, 2].
7. Dada a equac¸a˜o
√
2x+ 4
√
3y = 14.
(a) Supondo que esta equac¸a˜o define implicitamente a func¸a˜o y = f(x) em alguma vizinhanc¸a
de um ponto, determine
dy
dx
.
(b) Supondo que esta equac¸a˜o define implicitamente a func¸a˜o x = f(y) em alguma vizinhanc¸a
de um ponto, determine
dx
dy
.
(c) Verifique que
dx
dy
=
1
dy
dx
.
8. Determine a reta tangente a` curva dada pela equac¸a˜o:(
(3x− 4y)2 + (4x+ 3y)2)2 = 25((3x− 4y)2 − (4x+ 3y)2),
no ponto
(
−2
√
3
5
,
3
5
)
.
Referencias de estudo:
1. http://www.dm.ufscar.br/∼sampaio/calculo1.html
2. http://www.uff.br/webmat/Calc1 LivroOnLine/
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