Lista Grupos Álgebra I

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1a Lista de A´lgebra II
Luciane Quoos - IM/UFRJ
1. Seja A um anel com unidade 1 e A∗ = {a ∈ A | ∃ b ∈ Aab = 1}. Mostre que A∗ e´
um grupo. Determine A∗ no caso em que A e´ um dos aneis a seguir: Z, matrizes
dois por dois com entradas em Q, Zn e Zp, p primo.
2. Seja G o conjunto de todas as matrizes da forma
(
2k p(x)
0 1
)
onde k e´ um
inteiro e p(x) um polinoˆmio com coeficientes racionais. Mostre que G e´ um grupo
com a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes. Seja H o subconjunto de G formado
pelas matrizes com k = 0 e p(x) com coeficientes inteiros, mostre que H e´ um
subgrupo de G.
3. Seja G um grupo, responda as seguintes questo˜es:
a) Se G e´ finito, todo elemento de G tem ordem finita?
b) Se todo elemento de G tem ordem finita, G e´ finito?
c) Se G tem um elemento de ordem infinita, G e´ infinito?
d) Mostre que se G e´ um grupo inifinito, ele possui uma infinidade de subgrupos.
4. Determine alguns subgrupos dos seguintes grupos: Z2 × Z2 e Z4, com operac¸a˜o
de adic¸a˜o; S3 e S3 × Z2.
5. Determine todos os geradores dos grupos Z∗7 e Z∗11.
6. Seja a ∈ G, G grupo. Mostre que para todo g ∈ G, temos que o(a) = o(gag−1).
7. Seja G um grupo c´ıclico e H < G, mostre que G e´ abeliano.
8. Mostre que se um grupo G tem ordem prima ele e´ c´ıclico. Mostre que na˜o vale a
rec´ıproca.
9. Neste exerc´ıcio vamos determinar todos os subgrupos de um grupo c´ıclio e, em
particular, mostrar que para grupos c´ıclicos vale a rec´ıproca do Teorema de La-
grange. Seja G um grupo c´ıclico de ordem n, g um gerador do grupo e d um
divisor de n.
a) Mostre que o(g
n
d ) = d, ou seja, que H =< g
n
d > e´ um subgrupo de ordem d
de G.
b) Seja H < G e m ≥ 1 o menor inteiro tal que gm ∈ H. Mostre que H =<
gm > . Qual a ordem de H?
10. Seja n ≥ 1 e Un = {z ∈ C | zn = 1}.
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a) Mostre que Un e´ grupo e determine sua cardinalidade.
b) Mostre que ξ = cos(2kpi
n
) + isen(2kpi
n
) ∈ Un e que Un e´ gerado por ξ. Dizemos
que um elemento de Un que gera Un e´ uma raiz primitiva da unidade de ordem
n .
c) Determine todos os geradores de Un
11. Mostre que ξ e´ uma raiz primitiva n-e´sima da unidade se e somente se ξn = 1 e
ξi 6= 1, para i = 0, 1, . . . , n− 1. Ou seja, n e´ o menor inteiro tal que ξn = 1.
12. Seja G um grupo finito e H < L < G, mostre que (G : H) = (G : L)(L : H),
onde (G : H) e´ o ı´ndice do subgrupo H em G.
13. Considere o grupo aditivo dos nu´meros inteiros Z.
a) Determine todos os subgrupos de Z.
b) Mostre que se H < Z, enta˜o o grupo quociente Z/H e´ finito.
c) Determine o ı´ndice de mZ ∩ nZ em Z.
14. Seja {1, 2, . . . , n} o conjunto de ve´rtices de um pol´ıgono regular de n lados no
plano cartesiano de modo que o ve´rtice 1 esteja sobre o eixo x para x > 0 e
os ve´rtices sa˜o numerados no sentido hora´rio. Seja Sn o grupo das permutac¸o˜es
desse conjunto de ve´rtices.
15. Seja G um grupo e Z(G) = {g ∈ G | gx = xg ∀x ∈ G} ⊆ G.
a) Mostre que Z(G) e´ um subgrupo normal de G.
b) Determine o centro do S3, Q8, S4.
16. Para cada subconjuntos S ⊆ G, G grupo, determine o subgrupo gerado por S.
a) Seja S = {i, j} ⊆ Q8.
b) Seja S1 = {3} ⊆ S2 = {3, 5} ⊆ Q∗.
c) Seja S = {3, 5} ⊆ Z.
17. Sejam G um grupo, e H um subgrupo de G, e NG(H) = {g ∈ G | gHg−1 = H},
o normalizador de H.
a) Mostre que NG(H) e´ um subgrupo de G.
b) Mostre que H CNG(H).
c) Mostre que NG(H) e´ o maior subgrupo de G no qual H e´ normal, ouseja, se
H CK < G enta˜o K < NG(H).
18. Se p > q sa˜o primos distintos, mostre que um grupo de ordem pq tem no ma´ximo
um subgrupo de ordem p.
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19. Sejam H e K subgrupos de um grupo finito G. Se mdc([G : K], [G : H]) = 1,
enta˜o G = HK.
20. Sejam α =
(
0 −1
1 0
)
e β =
(
0 1
−1 −1
)
. elementos no grupo das matrizes
invert´ıveis dois por dois com entradas em Q. Mostre que α tem ordem 4, β tem
ordem 3, mas a ordem de αβ e´ infinito.
21. Seja G o grupo gerado pelas matrizes: α =
( −1 1
0 0
)
e β =
(
0 −1
1 −1
)
.
a) Determine a ordem de α e β.
b) Determine a ordem de G.
c) Mostre que G e´ isomorfo a S3.
22. Considere os subgrupos < 6 > e < 30 > de Z, mostre que o grupo quociente
< 6 > / < 30 > e´ isomorfo a Z5.
23. Seja θ rotac¸a˜o de um aˆngulo de 2pi/n no sentido hora´rio, e r a reflexa˜o em torno
do eixo x. Descreva estes elementos como permutac¸o˜es de Sn.
a) Mostre que θ tem ordem n e r tem ordem 2.
b) Seja D2n =< θ, r > o grupo gerado por θ e r. Mostre que
D2n = {id, θ, θ2, . . . , θn−1, r, rθ, rθ2, . . . , rθn−1}.
D2n e´ denominado o grupo das simetrias desse pol´ıgono.
c) Mostre que D2n na˜o e´ abeliano.
d) Determine todos o subgrupos de D6 e D8.
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