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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 07
Soluções
Exercício 1 Escreva cada equação na forma “notação de operadores”.
a)
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
+ 2y = x3
b) 3y(IV ) − 5y′′′ + y = e−x + senx
c)
d2s
dt2
= −β
ds
dt
− ω2s
d) x2y′′ − 2xy′ = y + 1.
Solução:
a) Fazendo as “substituições”
d
dx
= D e
d2
dx2
= D2, segue que
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
+ 2y = x3 ⇒
d2
dx2
y + 3
d
dx
y + 2y = x3
⇒ D2y + 3Dy + 2y = x3
⇒
(
D2 + 3D + 2
)
y = x3.
b) Fazendo as “substituições”
d
dx
= D,
d3
dx3
= D3 e
d4
dx4
= D4, segue que
3y(IV ) − 5y′′′ + y = e−x + senx ⇒ 3
d4
dx4
y − 5
d3
dx3
y + y = e−x + senx
⇒ 3D4y − 5D3y + y = e−x + senx
⇒
(
3D4 − 5D3 + 1
)
y = e−x + senx.
c) Fazendo as “substituições”
d
dt
= D e
d2
dt2
= D2, temos
d2s
dt2
= −β
ds
dt
− ω2s ⇒
d2s
dt2
+ β
ds
dt
+ ω2s = 0
⇒
d2
dt2
s+ β
d
dt
s+ ω2s = 0
⇒ D2s+ βDs+ ω2s = 0
⇒
(
D2 + βD + ω2
)
s = 0.
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d) Fazendo as “substituições”
d
dx
= D e
d2
dx2
= D2, tem-se
x2y′′ − 2xy′ = y + 1 ⇒ x2
d2y
dx2
− 2x
dy
dx
− y = 1
⇒ x2
d2
dx2
y − 2x
d
dx
y − y = 1
⇒ x2D2y − 2xDy − y = 1
⇒
(
x2D2 − 2xD − 1
)
y = 1.
Exercício 2 Se y = x3 − 3x2 + 2e−x e z = sen2x+ 3 cos 2x, determine:
a) (D2 + 3D + 1)y
b) (2D3 −D2 − 4)z
c) (D2 + 2D)(y + z)
d) (x2D2 + 3xD − 2)(2y − 3z).
Solução:
a) Temos
(D2 + 3Dy + 1)y = (D2 + 3Dy + 1)(x3 − 3x2 + 2e−x)
= D2(x3 − 3x2 + 2e−x) + 3D(x3 − 3x2 + 2e−x) +
+(x3 − 3x2 + 2e−x)
= D(3x2 − 6x− 2e−x) + 3(3x2 − 6x− 2e−x) +
+(x3 − 3x2 + 2e−x)
= 6x− 6 + 2e−x + x3 + 6x2 − 18x− 4e−x
= x3 + 6x2 − 12x− 6− 2e−x.
b) Tem-se
(2D3 −D2 − 4)z = (2D3 −D2 − 4)(sen2x+ 3 cos 2x)
= 2D3(sen2x+ 3 cos 2x)−D2(sen2x+ 3 cos 2x)−
−4(sen2x+ 3 cos 2x)
= 2D2(2 cos 2x− 6sen2x)−D(2 cos 2x− 6sen2x)−
−4sen2x− 12 cos 2x
= 2D(−4sen2x− 12 cos 2x)− (−4sen2x− 12 cos2x)−
−4sen2x− 12 cos 2x
= 48sen2x− 16 cos2x.
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c) Segue que
(D2 + 2D)(y + z) = (D2 + 2D)(x3 − 3x2 + 2e−x + sen2x+ 3 cos 2x)
= D2(x3 − 3x2 + 2e−x + sen2x+ 3 cos 2x) +
+2D(x3 − 3x2 + 2e−x + sen2x+ 3 cos 2x)
= D(3x2 − 6x− 2e−x + 2 cos 2x− 6sen2x) +
+6x2 − 12x− 4e−x + 4 cos 2x− 12sen2x
= 6x− 6 + 2e−x − 4sen2x− 12 cos2x+
+6x2 − 12x− 4e−x + 4 cos 2x− 12sen2x
= 6x2 − 6x− 6− 2e−x − 16sen2x− 8 cos 2x.
d) Temos
(x2D2 + 3xD − 2)(2y − 3z) = 2(x2D2 + 3xD − 2)y.− 3(x2D2 + 3xD − 2)z.
Daí,
(x2D2 + 3xD − 2)y = (x2D2 + 3xD − 2)(x3 − 3x2 + 2e−x)
= x2D2(x3 − 3x2 + 2e−x) + 3xD(x3 − 3x2 + 2e−x)−
−2(x3 − 3x2 + 2e−x)
= x2D(3x2 − 6x− 2e−x) + 3x(3x2 − 6x− 2e−x)−
−2x3 + 6x2 − 4e−x
= x2(6x− 6 + 2e−x) + 7x3 − 12x2 − 18x− (6x+ 4)e−x
= 13x3 − 18x2 + (2x2 − 6x− 4)e−x.
Logo, 2(x2D2+3xD−2)y = 26x3−36x2+(4x2−12x−8)e−x. Temos, também
(x2D2 + 3xD − 2)z = (x2D2 + 3xD − 2)(sen2x+ 3 cos 2x)
= x2D2(sen2x+ 3 cos 2x) + 3xD(sen2x+ 3 cos 2x)−
−2(sen2x+ 3 cos 2x)
= x2D(2 cos 2x− 6sen2x) + 3x(2 cos 2x− 6sen2x) +
−2sen2x− 6 cos 2x
= x2(−4sen2x− 12 cos 2x) + (6x− 6) cos 2x−
−(18x+ 2)sen2x
= (−4x2 − 18x− 2)sen2x+ (−12x2 + 6x− 6) cos 2x.
Portanto,−3(x2D2+3xD−2)z = (12x2+54x+6)sen2x+(36x2−18x+18) cos2x.
Assim, temos
(x2D2 + 3xD − 2)(2y − 3z) = 26x3 − 36x2 + (4x2 − 12x− 8)e−x+
+(12x2 + 54x+ 6)sen2x+ (36x2 − 18x+ 18) cos 2x.
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Exercício 3 Determine F (x) ≡ (D − 1)(x3 + 2x), onde D ≡
d
dx
. Depois
determine (D−2)F (x). Note que o resultado pode ser expresso como (D−2)(D−
1)(x3+2x). O resultado é o mesmo que o da expressão (D2−3D+2)(x3+2x)?
O operador (D − 2)(D − 1) é o mesmo que o operador (D2 − 3D + 2) quando
eles são aplicados em qualquer função diferenciável? Prove sua resposta.
Solução:
Temos
F (x) = (D − 1)(x3 + 2x) = D(x3 + 2x)− (x3 + 2x)
= 3x2 + 2− x3 − 2x
= −x3 + 3x2 − 2x+ 2.
Daí, aplicando o operador (D − 2), segue que
(D − 2)F (x) = (D − 2)(−x3 + 3x2 − 2x+ 2)
= D(−x3 + 3x2 − 2x+ 2)− 2(−x3 + 3x2 − 2x+ 2)
= −3x2 + 6x− 2 + 2x3 − 6x2 + 4x− 4
= 2x3 − 9x2 + 10x− 6.
Finalmente,
(D2 − 3D + 2)(x3 + 2x) = D2(x3 + 2x)− 3D(x3 + 2x) + 2(x3 + 2x)
= D(3x2 + 2)− 3(3x2 + 2) + 2x3 + 4x
= 6x− 9x2 − 6 + 2x3 + 4x
= 2x3 − 9x2 + 10x− 6.
Portanto, (D − 2)(D − 1)(x3 + 2x) = (D2 − 3D + 2)(x3 + 2x).
Vamos mostrar agora que (D−2)(D−1) = (D2−3D+2) para qualquer função
diferenciável. Seja f(x) uma função diferenciável. Tem-se
(D − 2)(D − 1)f(x) = (D − 2)Df(x)− (D − 2)f(x)
= (D − 2)f ′(x)−Df(x) + 2f(x)
= Df ′(x) − 2f ′(x) − f ′(x) + 2f(x)
= f ′′(x) − 3f ′(x) + 2f(x)
= D2f(x)− 3Df(x) + 2f(x)
= (D2 − 3D + 2)f(x).
Logo, (D− 2)(D− 1) = (D2− 3D+2) para qualquer função diferenciável f(x).
Exercício 4 Responda:
a) (D − a)(D − b) = D2 − (a+ b)D + ab, onde a e b são constantes?
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b) Dois operadores φ1(D) e φ2(D) são ditos comutativos com respeito a multi-
plicação se φ1(D)φ2(D)u = φ2(D)φ1(D)u. Os operadores (D− a) e (D− b) são
comutativos?
c) Operadores φ1(D), φ2(D) e φ3(D) são ditos associativos com respeito a mul-
tiplicação se
φ1(D) [φ2(D)φ3(D)]u = [φ1(D)φ2(D)]φ3(D)u.
Os operadores (D − a), (D − b) e (D − c), onde a, b e c são constantes, são
associativos?
Solução:
a) Verdade. Seja f(x) uma função diferenciável, segue
(D − a)(D − b)f(x) = (D − a)[Df(x) − bf(x)]
= (D − a)[f ′(x) − bf(x)]
= D[f ′(x) − bf(x)]− a[f ′(x) − bf(x)]
= Df ′(x) − bDf(x)− af ′(x) + abf(x)
= f ′′(x) − bf ′(x) − af ′(x) + abf(x)
= f ′′(x) − (a+ b)f ′(x) + abf(x)
= [D2 − (a+ b)D + ab]f(x).
Portanto, (D − a)(D − b) = (D2 − (a+ b)D + ab).
b) Seja f(x) uma função diferenciável. Tem-se
(D − a)(D − b)f(x) = [D2 − (a+ b)D + ab]f(x)
= f ′′(x)− (a+ b)f ′(x) + abf(x)
= f ′′(x)− af ′(x) − bf ′(x) + abf(x)
=
d
dx
[f ′(x) − af(x)]− b[f ′(x) − af(x)]
= D[f ′(x)− af(x)]− b[f ′(x)− af(x)]
= (D − b)[f ′(x) − af(x)]
= (D − b)
[
d
dx
f(x)− af(x)
]
= (D − b)[Df(x)− af(x)]
= (D − b)(D − a)f(x).
Logo, (D − a) e (D − b) são operadores comutativos.
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c) Seja f(x) uma função diferenciável. Temos
[(D − a)(D − b)](D − c)f(x) = [(D − a)(D − b)](Df(x)− cf(x))
= (D2 − (a+ b)D + ab)(f ′(x)− cf(x))
= D2(f ′(x) − cf(x))− (a+ b)D(f ′(x)−
−cf(x)) + ab(f ′(x) − cf(x))
= f ′′′(x) − cf ′′(x)− (a+ b)[f ′′(x)− cf ′(x)] +
+abf ′(x)− abcf(x)
= f ′′′(x) − (a+ b+ c)f ′′(x) + (ab+ bc+
+ac)f ′(x)− abcf(x)
= f ′′′(x) − (b+ c)f ′′(x) + bcf ′(x) − a(f ′′(x)−
−(b+ c)f ′(x) + bcf(x))
=
d
dx
(f ′′(x)− (b + c)f ′(x) + bcf(x))−
−a(f ′′(x)− (b + c)f ′(x) + bcf(x))
= D(f ′′(x) − (b+ c)f ′(x) + bcf(x))−
−a(f ′′(x)− (b + c)f ′(x) + bcf(x))
= (D − a)[f ′′(x)− (b + c)f ′(x) + bcf(x)]
= (D − a)[(D − b)(D − c)]f(x).
Logo, os operadores (D − a), (D − a) e (D − a) são associativos.
Exercício 5 Represente, se possível, D3−6D2+11D−6 como um “produto”
de três fatores. A ordem dos fatores faz alguma diferença? Prove sua afirmação.
Solução:
Vamos “interpretar” o operadorD3−6D2+11D−6 como o polinômio x3−6x2+
11x− 6. Claramente, x = 1 é raiz desse polinômio. Assim, x3− 6x2+11x− 6 =
(x2−5x+6)(x−1). Fatorando a expressão x2−5x+6, encontramos (x−2)(x−3).
Portanto,
(x3 − 6x2 + 11x− 6) = (x− 1)(x− 2)(x− 3).
Logo, D3−6D2+11D−6 = (D−1)(D−2)(D−3). Como provamos no exercício
anterior, os operadores (D − a) e (D − b) são comutativos.
c) Sim, operadores de coeficientes constantes são associativos.
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