Aulas 03 04 Cálculo I

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CÁLCULO I
AULAS 03 E 04
TRANSFORMAÇÃO DE FUNÇÕES
FUNÇÕES COMPOSTAS E INVERSAS
Prof. Fábio Augusto de Abreu
fabio.abreu@ifsuldeminas.edu.br
https://sites.google.com/a/ifsuldeminas.edu.br/fabio-abreu/
PARIDADE DE FUNÇÕES
Definição. i) Se uma função 𝑓 satisfaz 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) para todos ±𝑥
em seu domínio, então 𝑓 é chamada função par.
ii) Se uma função 𝑓 satisfaz 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) para todos ±𝑥 em seu
domínio, então 𝑓 é chamada função ímpar.
EXEMPLO. Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos
dois.
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥5 + 𝑥 c) ℎ 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2
b) 𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥4 d) 𝑝 𝑥 = cos 𝑥
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
Deslocamentos Verticais e Horizontais
Parâmetro 𝑨: 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐴
𝐴൞
> 0 → deslocamento de 𝑓 𝑥 em 𝐴 unidades para cima
< 0 → deslocamento de 𝑓 𝑥 em 𝐴 unidades para baixo
= 0 → não altera o gráfico de 𝑓 𝑥
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
Deslocamentos Verticais e Horizontais
Parâmetro 𝑫: 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐷
𝐷൞
> 0 → deslocamento de 𝑓 𝑥 em 𝐷 unidades para esquerda
< 0 → deslocamento de 𝑓 𝑥 em 𝐷 unidades para direita
= 0 → não altera o gráfico de 𝑓 𝑥
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
Expansões/Compressões Verticais e Horizontais
Parâmetro 𝑩: 𝐹 𝑥 = 𝐵. 𝑓 𝑥
𝐵 ൞
> 1 → expandir verticalmente o gráfico de 𝑓 𝑥 por um fator 𝐵
entre 0 e 1 → comprimir verticalmente o gráfico de 𝑓 𝑥 por um fator 𝐵
< 0 → refletir o gráfico de 𝑓 𝑥 em torno do eixo 𝑥 e efetuar as tranformações para |𝐵|
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
Expansões/Compressões Verticais e Horizontais
Parâmetro 𝑪: 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝐶𝑥
𝐶 ൞
> 1 → comprimir horizontalmente o gráfico de 𝑓 𝑥 por um fator 𝐶
entre 0 e 1 → expandir horizontalmente o gráfico de 𝑓 𝑥 por um fator 𝐶
< 0 → refletir o gráfico de 𝑓 𝑥 em torno do eixo 𝑦 e efetuar as tranformações para |𝐶|
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
EXEMPLO 1 (Stewart).
Esboce o gráfico das funções a seguir e determine seus 
domínios e imagens.
a) f x = 3 − 2x
b) g x = x2 + 6x + 10
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
 EXEMPLO 2 (Atividade de sala/2016-2)
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
 EXEMPLO 2 (Atividade de sala/2016-2) (continuação)
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
 EXEMPLO 2 (Atividade de sala/2016-2) (continuação)
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
 EXEMPLO 3 (1ª prova/2016-2)
Trace o gráfico de cada uma das funções abaixo, tomando como refe-
rência em todos os itens a função f(x) = sen(x). Em seguida, complete a tabela.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
 EXEMPLO 3 (1ª prova/2016-2) (continuação)
Função Máximo Mínimo Período Amplitude Raízes
f(x) = sen(x) 1 – 1 360º 2 0º, 180º, 360º, ...
g(x) = 3sen(x)
h(x) = sen(2x)
t(x) = 3sen(2x)
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES: 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩𝒇(𝑪𝒙 + 𝑫)
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES COMPOSTAS E INVERSAS
i) Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 e 𝑔 𝑥 =
1
𝑥−1
. Determine as funções compostas
𝑓(𝑔 𝑥 ), 𝑔(𝑓 𝑥 ) e ache seus domínios.
ii) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 2 + 2, onde 𝑥 ≥ 1.
a) Determine o domínio e a imagem de 𝑓.
b) Encontre a função inversa 𝑓−1.
c) Esboce os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1 e explique a relação que deve existir
entre eles. Dê o domínio e a imagem de 𝑓−1 e explique a relação
entre o domínio de 𝑓−1 e a imagem de 𝑓.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u