apol nota 10

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, amultiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
Você acertou!
Segue das propriedades da adiçãode polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56
. Assinale a alternativa que contém as raízes reais dep(x)
:
Nota: 10.0
	
	A
	2, 4 e 7.
	
	B
	-7, -4 e 2.
	
	C
	-2, 4 e 7.
	
	D
	-7, -4 e -2.
	
	E
	-7, -2 e 4.
Você acertou!
O polinômiop(x)
 pode ser decomposto comop(x)=(x−4)(x+2)(x+7). Logo, as raízes dep(x)
	 são -7, -2 e 4.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis(Z,+,⋅)
,(Q,+,⋅) e(R,+,⋅), emque+ e⋅
 denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	(Z,+,⋅)
	 é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	
	
	B
	(Z,+,⋅)
	 é corpo.
	
	
	
	C
	(Q,+,⋅)
	 não é domínio de integridade.
	
	
	
	D
	(Q,+,⋅)
Você acertou!
 é corpo.
Com as operações usuais,(Q,+,⋅)
 é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dadoa=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0, vem quep≠0 eqp∈Q. Então, a−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.
	
	
	
	
	E
	(R,+,⋅)
	 não é domínio de integridade.
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[−2112−1].
Assinale a alternativa que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor λ=2:
Nota: 10.0
	
	A
	[−13].
	
	
	
	
	B
	[10].
	
	
	
	
	C
	[74].
	
	
	
	
	D
	[35].
	
	
	
	
	E
	[14]. Você acertou!
Observamos que [−2112−1][14]=[28]=2[14],
oque mostra que [14] é autovetor de A associado ao autovalor λ=2.
	
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considere a transformação T:R3→R3
 definida por T(x,y,z)=(x,y,0). Com base nessa transformação, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
I. (   )  T é uma transformação linear.
II. (   ) O núcleo de T é N(T)={(0,0,z); z∈R}.
III. (   ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T))=2.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V, V, V.
Dados u,v∈R3 e λ∈R
Você acertou!
, observamosque T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).
Assim, T é uma transformação linear e afirmativa I é verdadeira. Além disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,
o que mostra que z pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue doTeorema do Núcleo e da Imagemque 
dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.
	
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira.
	
	
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 6/10 - ÁlgebraLinear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).
 Assinale a alternativa que descreve o vetoru como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:
Nota: 10.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3
	.
	
	
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremosencontrar α,β,γ∈R
 tais que u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3.
	
	
	
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.
	
	
	
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.
	
	
	
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.
	
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).
 Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Osvetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto {v1,v2,v3} forma uma base para o R3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.
Com isso, os vetores v1, v2 e v3
	são linearmente dependentes.
	
	
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
A inversa da matriz A=[3142]
é
Nota: 10.0
	
	A
	A−1=[1−1/2−23/2].
Você acertou!
Como A−1=1detAAdjA,
 temos A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2].
	
	
	
	
	B
	A−1=[−11/2−2−3/2].
	
	
	
	
	C
	A−1=[12−23/2].
	
	
	
	
	D
	A−1=[11/22−3/2].
	
	
	
	
	E
	A−1=[−1−1/223/2].
	
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico:
Nota: 10.0
	
	A
	p(x)=3x3+2x2+3.
	
	
	
	
	B
	p(x)=2x2−3√x+2.
	
	
	
	
	C
	p(x)=2x5−3x3/2+2.
	
	
	
	
	D
	p(x)=2x4+√3x+3.
	
	
	
	
	E
	p(x)=x3−3x22+√2.
	
Você acertou!
O polinômio tem grau 3 e o coeficiente do termo que determina o grau do polinômio é 1.
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa quecontém o quocienteq(x)
 e o restor(x) da divisão do polinômiof(x)=x3−5x2+3x+8 porh(x)=x−3
:
Nota: 10.0
	
	A
	q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.
	
	
	
	
	B
	q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.
	
	
	
	
	C
	q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.
Você acertou!
Basta verificar que h(x)⋅q(x)+r(x)=f(x).
	
	
	
	
	D
	q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.
	
	
	
	
	E
	q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.