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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 8 Temas abordados : Teorema do Valor Me´dio; Crescimento de func¸o˜es; Otimizac¸a˜o Sec¸o˜es do livro: 4.2; 4.3; 4.6 1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os pontos cr´ıticos, classifique-os como ma´ximos ou mı´nimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f e´ cres- cente e decrescente. (a) f(x) = x+ 3 x2 (b) f(x) = 3x2 + 4x 1 + x2 (c) f(x) = x2 − x+ 1 2(x− 1) (d) f(x) = x 3 − 12x− 5 (e) f(x) = x √ 8− x2 (f) f(x) = x2/3(x2 − 4) (g) f(x) = x1/3(x− 4) (h) f(x) = x+ sen(x), x ∈ (0, 2pi) 2) Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real. 3) Mostre que x+ 1 x ≥ 2 para todo x > 0. 4) A concentrac¸a˜o de certa substaˆncia qu´ımica no fluxo sangu´ıneo t horas apo´s ele ter sido injetado e´ dada por C(t) = (3t)/(54 + t3). Determine o instante em que a concentrac¸a˜o e´ ma´xima. 5) Entre todas as latas cil´ındricas de volume 1 litro, raio da base r e altura h, qual a que tem menor a´rea superficial. 6) Suponha que ao completar t anos, 0 ≤ t ≤ 5, a massa aproximada de um animal seja dada em kg pela expressa˜o m(t) = −2t3 + 9t2 + 400. Sabendo que pretende-se sacrificar o animal no momento em que este possuir a maior massa, determine com qual idade o animal deve ser abatido. 7) Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio 5 metros. Qual e´ a maior a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais as suas dimenso˜es? Lista de Fixac¸a˜o da Semana 8 - Pa´gina 1 de 2 RESPOSTAS 1. (a) pontos cr´ıticos: x = 3 √ 6 (mı´nimo local) crescente em (−∞, 0) ∪ ( 3√6,+∞) decrescente em (0, 3 √ 6) (b) pontos cr´ıticos: x = −1/2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local) crescente em (−1/2, 2) decrescente em (−∞,−1/2) ∪ (2,+∞) (c) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local) crescente em (−∞, 0) ∪ (2,+∞) decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2) (d) pontos cr´ıticos: x = −2 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local) crescente em (−∞,−2) ∪ (2,+∞) decrescente em (−2, 2) (e) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local) crescente em (−2, 2) decrescente em (−√8,−2) ∪ (2,√8) (f) pontos cr´ıticos: x = −1 e x = 1 (mı´nimos locais); x = 0 (ma´ximo local) crescente em (−1, 0) ∪ (1,+∞) decrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 1) (g) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local); x = 1 (mı´nimo local) crescente em (1,+∞) decrescente em (−∞, 1) (h) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local) crescente em (0, 2pi) decrescente em (nunca) 2. Calcule a func¸a˜o em cada ponto cr´ıtico, estude os intervalos de crescimento e decresci- mento e os limites no infinito. 3. Basta verificar que o ponto de mı´nimo absoluto da func¸a˜o x 7→ x+ (1/x) no intervalo (0,+∞) e´ x = 1. 4. A concentrac¸a˜o sera´ ma´xima apo´s 3 horas da injec¸a˜o. 5. Aquela que tem raio igual a 3 √ 1/(2pi). 6. Treˆs anos. 7. A maior a´rea e´ de 25 metros quadrados e e´ dada por um retaˆngulo de lados 5 √ 2 e 5 √ 2/2 metros. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 8 - Pa´gina 2 de 2
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