OK- 04 - Espacial, Vetores no R-3

Prévia do material em texto

Geometria Analítica
Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues
e Álgebra Vetorial
Curso de:
TEMA 4:
Vetores no R³
Objetivo geral
Compreender as relações algébricas dos vetores no espaço.
Objetivos específicos:
 Visualizar as posições dos pontos no espaço (octante);
 Aplicar as operações em decorrência nas propriedades de vetores;
 Resolver problemas aplicando as propriedades compreendidas em aula.
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Decomposição no espaço
No espaço qualquer conjunto { 𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3} de três vetores, não
coplanares é uma base e de forma análoga ao ℝ𝟐, 𝑣 pode ser escrito
como combinação linear dos vetores da base, ou seja, sempre existem
número reais tais que:
𝑣 = 𝑎1 𝑣 1 + 𝑎2 𝑣 2 + 𝑎3 𝑣 3
𝑎1 , 𝑎2 e 𝑎3 são
componentes de 𝑣
em relação à base
considerada
𝑖
𝑗
𝑘
x
z
y
Quais seriam as
coordenadas dos
vetores da base
canônica?
𝑖 = 1,0,0
𝑗 = 0,1,0
𝑘 = 0,0,1
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
TEMA 4: Vetores no R³
Importante!!!
i) É conhecido como base se os três vetores forem 
unitários e de dois a dois, forem ortogonais.
ii) Cada dupla de eixos determina um plano 
coordenado.
iii) No ℝ𝟑 existem três planos:
xOy = plano xy
xOz = plano xz
yOz = plano yz
Observação:
Eixo x = abscissa
Eixo y = ordenada
Eixo z = cota
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
𝑖 𝑗
𝑘
x
z
y
x
z
y
x
z
y
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
𝑗
𝑘
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Eixo xOz
Eixo yOz
Eixo xOy
Estes três planos se interceptam segundo os três eixos
dividindo o espaço em oito regiões conhecidas como
octante:
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Sendo assim:
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Representações
Dado um ponto
P no espaço, tracemos
os respectivos planos
para interceptá-lo:
z
x
y
P
B
A
C
𝑖
𝑗
𝑘
O
𝑣𝑝 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Exemplo:
z
x
y
P
B
A
C
𝑖
𝑗
𝑘
O
𝑂𝑃 = 𝑣 = 2𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘
D
E
F
2
3
4
𝑂𝐹 = 𝑢 =?
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
A figura geométrica espacial, pode estar deslocada em relação aos eixos:
z
x
y
G
B
A
C
𝑖
𝑗
𝑘
O
D
E
F
1
6
4
H
2
3
Será que somos capazes de 
encontrarmos as 
coordenadas de cada ponto 
no gráfico?
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
A figura geométrica espacial, pode estar deslocada em relação aos eixos:
z
x
y
G
B
A
C
𝑖
𝑗
𝑘
O
D
E
F
1
6
4
H
2
3
Como expressar 𝑫𝑩?
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Dado o vetor: 𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 + 𝑘 , podemos escrever:
𝑣 =(2,-3,1)
E se fossem assim escritos:
𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 + 𝑘 / 𝑣 = 5𝑖 − 𝑗 / 𝑣 = −𝑖 − 9𝑗 + 10𝑘
Podemos ainda resolver expressões algébricas que 
envolvam os vetores da base canônica:
𝑖 − 𝑗 = 1, 0, 0 − 0, 1, 0 = (1, −1, 0)
2𝑗 − 𝑘 = 2. 0, 1, 0 − (0, 0, 1) = (0, 2, −1)
4𝑘 = 4. 0, 0, 1 = (0, 0,4)
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Igualdade – Operações – Vetor definido por dois pontos
i) Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são 
iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2.
ii) Dados os vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 e a 
∈ ℝ, define-se:
𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2
𝑎𝑢 = 𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1, 𝑎𝑧1
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
iii) Se A = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e B = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são dois pontos 
quaisquer no espaço, então: 
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1
iv) O módulo ou o comprimento de um vetor no espaço:
𝐴𝐵 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2 + 𝑧2 − 𝑧1 2
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Condição de Paralelismo de Dois Vetores
Dados dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2
colineares e paralelos. Existe um número k tal que:
𝑢 = 𝑘𝑣
𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑘. 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2
𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑘𝑥2, 𝑘𝑦2, 𝑘𝑧2
Por definição:
𝑥1 = 𝑘𝑥2
𝑦1 = 𝑘𝑦2
𝑧1 = 𝑘𝑧2
Ou seja: 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
= 𝑘 , então dizemos que:𝑢 // 𝑣
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Exemplo:
Os vetores 𝑢 = −2, 3, −4 e 𝑣 = −4, 6, −8 são 
paralelos, pois:
−2
−4
=
3
6
=
−4
−8
ou seja:
𝑢 =
1
2
𝑣
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Aplicação:
Dados os pontos A 0, 1, −1 e B 1, 2, −1 e os vetores
𝑢 = −2,−1,1 , 𝑣 = 3,0, −1 e 𝑤 = −2, 2, 2 ,
verificar se existem os números 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3, tais que:
𝑤 = 𝑎1𝐴𝐵 + 𝑎2𝑢 + 𝑎3𝑣
TEMA 4: Vetores no R³
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues