4 - Produtos de Vetores

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PRODUTO ESCALAR 
 
 
Dados os vetores �⃗� e 𝑣 , o produto escalar de dois vetores pode ser representado por �⃗� · 𝑣 ou 
〈�⃗� · 𝑣 〉 , sendo �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), o cálculo do produto escalar tem como 
resposta um número real, tal que: 
�⃗� · 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) · (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = 𝑥1 · 𝑥2 + 𝑦1 · 𝑦2 + 𝑧1 · 𝑧2 
 
Lê-se: o vetor �⃗� multiplicado escalarmente pelo vetor 𝑣 ou �⃗� escalar 𝑣 . 
 
É muito utilizado para o cálculo de ângulos entre vetores. 
 
 
Exemplo: 
1) Dados os vetores �⃗� = (1,2,3) e 𝑣 = (−1,1,1), o valor do produto escalar �⃗� · 𝑣 é: 
�⃗� · 𝑣 = (1,2,3) · (−1,1,1) = 1 · (−1) + 2 · 1 + 3 · 1 = −1 + 2 + 3 = 4 
 
 
2) Dados os vetores �⃗� = 3𝑖 − 5𝑗 + 8�⃗� e 𝑣 = 4𝑖 − 2𝑗 − �⃗� , o do produto escalar �⃗� · 𝑣 é: 
�⃗� . 𝑣 = 3 · 4 − 5 · (−2) + 8 · (−1) = 12 + 10 − 8 = 14 
 
 
 Propriedade do Produto Escalar: 
Nas expressões abaixo, 𝑎 é um escalar e �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� são vetores quaisquer, temos as 
seguintes propriedades: 
 
o Comutativa: �⃗� · 𝑣 = 𝑣 · �⃗� 
o Distributiva: �⃗� · (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� · 𝑣 + �⃗� · �⃗⃗� 
o Associativa: �⃗� · (𝑎𝑣 ) = 𝑎 · �⃗� . 𝑣 
 
Álgebra Linear, Vetores e Geometria Analítica 
 
 4 - Produtos de Vetores (Escalar, Vetorial e Misto) Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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 Relação entre Módulo e Produto Escalar: |�⃗� |2 = �⃗� · �⃗� 
 
Exemplo: 
 
Dados o vetores �⃗� = (1, −3,5), o |�⃗� |2 = �⃗� · �⃗� é: 
 |�⃗� |2 = �⃗� · �⃗� = (1, −3,5) · (1, −3,5) = 1 · 1 + (−3) · (−3) + 5 · 5 = 1 + 9 + 25
= 35 
 
 
 Relação entre o Produto Escalar e o vetor nulo: 
 
�⃗� ≠ 0⃗ ⇒ �⃗� · �⃗� > 0 
�⃗� = 0⃗ = (0,0,0) ⇒ �⃗� · �⃗� = 0 
 
 
Aplicação do Produto Escalar 
 
O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno 
do ângulo por eles formado. 
Se �⃗� e 𝑣 são vetores não nulos e 𝜃 é o ângulo entre eles, então: 
�⃗� . 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 |𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° 
 
Exemplo: 
 
1) Sendo |�⃗� | = 2, |𝑣 | = 3 e 𝜃 = 120°, calcular: 
a) �⃗� · 𝑣 
�⃗� · 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 |𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 · 3 · 𝑐𝑜𝑠120° = 6 · (−
1
2
) = −
6
2
= −3 
 
b) |�⃗� + 𝑣 | 
|�⃗� + 𝑣 |2 = �⃗� · �⃗� + 2 · �⃗� · 𝑣 + 𝑣 · 𝑣 = |�⃗� |2 + 2 · �⃗� · 𝑣 + |𝑣 |2 = 
= 22 + 2 · (−3) + 32 = 4 − 6 + 9 = 7 
 |�⃗� + 𝑣 |2 = 7 ⟹ |�⃗� + 𝑣 | = √7 
 
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c) |�⃗� − 𝑣 | 
 |�⃗� − 𝑣 |2 = �⃗� · �⃗� − 2 · �⃗� · 𝑣 + 𝑣 · 𝑣 = |�⃗� |2 − 2 · �⃗� · 𝑣 + |𝑣 |2 = 
 = 22 − 2 · (−3) + 32 = 4 + 6 + 9 = 19 
 |�⃗� − 𝑣 |2 = 19 ⟹ |�⃗� − 𝑣 | = √19 
 
 
 
 Relação entre Produto Escalar e o Ângulo entre dois Vetores: se �⃗� e 𝑣 são dois vetores 
não nulos, 𝜃 é o ângulo formado pelos vetores �⃗� e 𝑣 , onde 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. O ângulo 𝜃, pode 
ser calculado através da fórmula: 
 
�⃗� · 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 |𝑐𝑜𝑠 𝜃 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
�⃗� · 𝑣 
|�⃗� ||𝑣 |
 
 
Exemplo: 
Calcular o ângulo formado pelos vetores �⃗� = (2,2) e 𝑣 = (0,−2). 
 
 �⃗� · 𝑣 = 2 · 0 + 2 · (−2) = 0 − 4 = −4 
|�⃗� | = √22 + 22 = √4 + 4 = √8 = 2√2 
|𝑣 | = √02 + (−2)2 = √0 + 4 = √4 = 2 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
�⃗� · 𝑣 
|�⃗� ||𝑣 |
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
−4
2√2 · 2
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
−4
4√2
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
−1
√2
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
−1 · √2
√2 · √2
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
−√2
2
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠 = (
−√2
2
) 
𝜃 = 135° 
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o Relação entre Produto Escalar e Vetores Ortogonais; dois vetores �⃗� e 𝑣 são 
ortogonais(⊥) se, e somente se, o ângulo 𝜃 formado por eles for igual a 900, 
ou seja, o ângulo reto. Se pelo menos um dos vetores for o vetor nulo, os 
vetores são ortogonais. 
 
 
�⃗� ⊥ �⃗� ⟺ �⃗� · �⃗� = 0 
 
 
 
 
 
 Projeção de um vetor: Sejam os vetores �⃗� e 𝑣 , não nulos, sendo 𝜃 o ângulo formado por 
esses dois vetores. O vetor �⃗⃗� representa a projeção de �⃗� sobre 𝑣 , dessa forma temos: 
 
 𝑝𝑟𝑜𝑗 �⃗� 
 �⃗⃗� = (
 �⃗⃗� · �⃗� 
 �⃗� · �⃗� 
) · 𝑣 ou �⃗⃗� = (
 �⃗⃗� · �⃗� 
 �⃗� · �⃗� 
) · 𝑣 
 
 
Exemplo: 
 
Calcular a projeção do vetor �⃗� = (2,3,4) sobre 𝑣 = (1, −1,0). 
 
�⃗� · 𝑣 = 2 · 1 + 3 · (−1) + 4 · 0 = 2 − 3 + 0 = −1 
𝑣 · 𝑣 = 1 · 1 + (−1) · (−1) + 0 · 0 = 1 + 1 + 0 = 2 
 
𝑝𝑟𝑜𝑗 �⃗� 
 �⃗⃗� = (
 �⃗� · 𝑣 
 𝑣 · 𝑣 
) · 𝑣 
𝑝𝑟𝑜𝑗 �⃗� 
 �⃗⃗� =
−1 
2
· (1, −1,0) 
 
𝑝𝑟𝑜𝑗 �⃗� 
 �⃗⃗� = (−
1
2
,
1
2
, 0) 
 
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PRODUTO VETORIAL 
 
O produto vetorial de dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), pode ser representado por 
 �⃗� ∧ 𝑣 ou �⃗� × 𝑣 é um vetor tal que: 
 
�⃗� ∧ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
 
�⃗� ∧ 𝑣 = (𝑦1 · 𝑧2 − 𝑦2 · 𝑧1)𝑖 + (𝑥2 · 𝑧1 − 𝑥1 · 𝑧2)𝑗 + (𝑥1 · 𝑦2 − 𝑥2 · 𝑦1)�⃗� 
Ou 
�⃗� ∧ 𝑣 = (𝑦1 · 𝑧2 − 𝑦2 · 𝑧1, 𝑥2 · 𝑧1 − 𝑥1 · 𝑧2, 𝑥1 · 𝑦2 − 𝑥2 · 𝑦1) 
 
Lê-se: o vetor �⃗� multiplicado vetorialmente pelo vetor 𝑣 ou �⃗� vetorial 𝑣 . 
 
Exemplo: 
 
Dados os vetores �⃗� = (1,1,2) e 𝑣 = (3,4,2), vamos calcular os produtos vetoriais �⃗� ∧ 𝑣 e 𝑣 ∧ �⃗� . 
Assim, temos: 
 
�⃗� ∧ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 1 2
3 4 2
|
𝑖 𝑗 
1 1
3 4
 = 1 · 2 · 𝑖 + 2 · 3 · 𝑗 + 1 · 4 · �⃗� − 1 · 3 · �⃗� − 2 · 4 · 𝑖 − 1 · 2 · 𝑗 = 
= 2𝑖 + 6𝑗 + 4�⃗� − 3�⃗� − 8𝑖 − 2𝑗 = −6𝑖 + 4𝑗 + �⃗� = (−6, +4, +1) 
�⃗� ∧ 𝑣 = (−6,4,1) 
 
𝑣 ∧ �⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
3 4 2
1 1 2
|
𝑖 𝑗 
3 4
1 1
= 4.2. 𝑖 + 2.1. 𝑗 + 3.1. �⃗� − 4.1. �⃗� − 2.1. 𝑖 − 3.2. 𝑗 = 
 = 8𝑖 + 2𝑗 + 3�⃗� − 4�⃗� − 2𝑖 − 6𝑗 = 6𝑖 − 4𝑗 − �⃗� = (+6, −4, −1) 
𝑣 ∧ �⃗� = (6,−4,−1) 
 
Logo, os vetores �⃗� ∧ 𝑣 e 𝑣 ∧ �⃗� são opostos. 
 
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 Relação entre o Módulo de um Produto Vetorial e o ângulo entre vetores: 
Geometricamente, o vetor �⃗� ∧ 𝑣 tem direção ortogonal aos vetores �⃗� e 𝑣 , módulo igual 
a |�⃗� ∧ 𝑣 | = |�⃗� ||𝑣 |𝑠𝑒𝑛 𝜃 , onde 𝜃 é o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 , e sentido de um 
triedro positivo (regra da mão direita). 
 
Observação: Regra da mão direita: Colocam-se os dedos da mão direita (com exceção 
do dedão) sobre o vetor �⃗� , movimente-os na direção do vetor 𝑣 , a posição do seu dedão 
é o sentido do vetor �⃗� ∧ 𝑣 . 
 
 
Exemplo: 
 
 
Sendo |�⃗� | = 2, |𝑣 | = 3 e 𝜃 = 120°, temos: 
 
|�⃗� ∧ 𝑣 | = |�⃗� ||𝑣 |𝑠𝑒𝑛 𝜃 
|�⃗� ∧ 𝑣 | = 2 · 3 · 𝑠𝑒𝑛 120° 
|�⃗� ∧ 𝑣 | = 2 · 3 ·
 √3 
2
 
|�⃗� ∧ 𝑣 | = 3√3 
 
 
 
 Propriedade do Produto Vetorial: 
 
Nas expressões abaixo, 𝑎 e 𝑏 são escalares e �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� são vetores quaisquer, temos as 
seguintes propriedades: 
 
o Comutativa: �⃗� ∧ 𝑣 = −𝑣 ∧ �⃗� 
o Distributiva: �⃗� ∧ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ∧ 𝑣 + �⃗� ∧ �⃗⃗� 
 
 
 Relação entre Produto Vetorial e Paralelismo de Vetores: 
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�⃗� e 𝑣 são paralelos ⟹ �⃗� ∧ 𝑣 = 0⃗ ∴ vetores LD tem o vetor nulo como resposta do 
produto vetorial 
 
 
 Relação entre Produto Vetorial e Produto de um Vetor por um Escalar: 
 
𝑎�⃗� ∧ 𝑏𝑣 = 𝑎𝑏( �⃗� ∧ 𝑣 ) 
 
 
 
Aplicação do Produto Vetorial 
 
 Área de um Paralelogramo formado por 2 vetores: 
Geometricamente, o módulo de um produto vetorial representa a área de um 
paralelogramo formado por dois vetores. 
 
 
𝐴 = |�⃗� ∧ 𝑣 | 
 
 
 
 
Exemplo:Dados �⃗� = (−3,0,4) e 𝑣 = (0, 8, 0), calcular a área do paralelogramo formado por estes 
vetores: 
 
�⃗� ∧ 𝑣 = |
 𝑖 𝑗 �⃗� 
−3 0 4
 0 8 0
|
 𝑖 𝑗 
−3 0
 0 8
 
= 0 · 0 · 𝑖 + 4 · 0 · 𝑗 + (−3) · 8 · �⃗� − 0 · 0 · �⃗� − 4 · 8 · 𝑖 − 3 · 0 · 𝑗 = 
= 0𝑖 + 0𝑗 − 24�⃗� − 0�⃗� − 32𝑖 − 0𝑗 = −32𝑖 − 24�⃗� = 
 
�⃗� ∧ 𝑣 = (−32, 0,−24) 
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|�⃗� ∧ 𝑣 | = √(−32)2 + 02 + (−24)2 = √1024 + 0 + 576 = √1600 = 40 
 
𝐴 = |�⃗� ∧ 𝑣 | ⟹ 𝐴 = 40 
 
 
 
 
 Área de um Triângulo formado por 2 vetores: 
Consequentemente, a área de um triângulo formado por dois vetores será obtida 
através da metade do valor do módulo do produto vetorial destes vetores. 
 
 
𝐴 =
1
2
|�⃗� ∧ 𝑣 | 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Dados �⃗� = (−3,0,4) e 𝑣 = (0, 8, 0), calcular a área do triângulo formado por estes 
vetores: 
�⃗� ∧ 𝑣 = |
 𝑖 𝑗 �⃗� 
−3 0 4
 0 8 0
|
 𝑖 𝑗 
−3 0
 0 8
 = �⃗� ∧ 𝑣 = (−32, 0, −24) 
 
|�⃗� ∧ 𝑣 | = √(−32)2 + 02 + (−24)2 = √1024 + 0 + 576 = √1600 = 40 
 
 
𝐴 =
1
2
|�⃗� ∧ 𝑣 | 
 
𝐴 =
1
2
 . 40 =
40
2
= 𝐴 = 20 
 
 
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PRODUTO MISTO 
 
O produto misto é o produto escalar entre um produto vetorial de dois vetores e outro vetor, 
ou o produto escalar de um vetor pelo produto vetorial dos outros dois vetores, resultando é 
um número real. De uma forma rápida definimos o produto misto o número real obtido através 
do cálculo do determinante dos três vetores. 
Considerando os vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e �⃗⃗� = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) o produto misto 
entre os vetores é dado por: 
 
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = �⃗� ∧ 𝑣 · �⃗⃗� ou [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = �⃗� · 𝑣 ∧ �⃗⃗� ou [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] 
 
Lê-se: produto misto entre os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� . 
 
Exemplo: 
 
Dados os vetores �⃗� = (1,1,2), 𝑣 = (0,1,3) e �⃗⃗� = (−1,1,2) vamos calcular o produto misto 
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]. Assim, temos: 
 
1) [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = �⃗� ∧ 𝑣 · �⃗⃗� 
�⃗� ∧ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 1 2
0 1 3
|
𝑖 𝑗 
1 1
0 1
= 1 · 3 · 𝑖 + 2 · 0 · 𝑗 + 1 · 1 · �⃗� − 1 · 0 · �⃗� − 2 · 1 · 𝑖 − 1 · 3 · 𝑗 
= 3𝑖 + 0𝑗 + �⃗� + 0�⃗� − 2𝑖 − 3𝑗 = 𝑖 − 3𝑗 + �⃗� = (1,−3,1) 
 �⃗� ∧ 𝑣 . �⃗⃗� = (1, −3,1) · (−1,1,2) = 1 · (−1) + (−3) · 1 + 1 · 2 = −1 − 3 + 2 = −2 
 
Ou 
 
2) [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = �⃗� . 𝑣 ∧ �⃗⃗� 
𝑣 ∧ �⃗⃗� = |
 𝑖 𝑗 �⃗� 
 0 1 3
−1 1 2
|
 𝑖 𝑗 
 0 1
−1 1
= 
= 1 · 2 · 𝑖 + 3 · (−1) · 𝑗 + 0 · 1 · �⃗� − 1 · (−1) · �⃗� − 3 · 1 · 𝑖 − 0 · 2 · 𝑗 = 
 = 2𝑖 − 3𝑗 + 0�⃗� + �⃗� − 3𝑖 − 0𝑗 = −𝑖 − 3𝑗 + �⃗� = (−1, −3,1) 
�⃗� . 𝑣 ∧ �⃗⃗� = (1,1,2). (−1, −3,1) = 1. (−1) + 1. (−3) + 2.1 = −1 − 3 + 2 = −2 
 
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Ou 
 
3) [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = |
1 1 2
0 1 3
−1 1 2
|
1
0
−1
 
1
1 
1
= 
 = 1 · 1 · 2 + 1 · 3 · (−1) + 2 · 0 · 1 − 1 · 0 · 2 − 1 · 3 · 1 − 2 · 1 · (−1) 
= [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −2 
 
 
 
 
Aplicação do Produto Vetorial 
 
 Volume de um Paralelepípedo formado por 3 vetores: 
O módulo de um produto misto representa o volume do paralelepípedo que tem como 
arestas os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� . 
 
 
 
 
𝑉 = | [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] | 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
O volume do paralelepípedo que tem os vetores �⃗� = (1,1,2), 𝑣 = (0,1,3) e �⃗⃗� = (−1,1,2) 
como aresta, é dado por: 
 
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = |
 1 1 2
 0 1 3
−1 1 2
|
 1
 0
−1
 
1
1 
1
= 
= 1 · 1 · 2 + 1 · 3 · (−1) + 2 · 0 · 1 − 1 · 0 · 2 − 1 · 3 · 1 − 2 · 1 · (−1) = [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −2 
 𝑉 = |[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]| = |−2| = 𝑉 = 2 
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 Volume de um Tetraedro formado por 3 vetores: 
Consequentemente, o volume do tetraedro que tem como arestas os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� 
será obtido através de um sexto do valor do módulo do produto misto destes vetores. 
 
 
 
𝑉 =
1
6
|[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]| 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
O volume do tetraedro que tem os vetores, �⃗� = (1,1,2), 𝑣 = (0,1,3) e �⃗⃗� = (−1,1,2) 
como aresta é dado por: 
 
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = |
 1 1 2
 0 1 3
−1 1 2
|
 1
 0
−1
 
1
1 
1
= [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −2 
 
 
 𝑉 = |[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]| =
 1 
 6 
· |−2| =
 1 
 6 
· 2 = 
 
𝑉 =
 1 
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
 
1) Calcule o produto escalar dos vetores abaixo: 
 
a) �⃗� = (3,1,−4) e 𝑣 = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3) e 𝑣 = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3) e 𝑣 = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2) e 𝑣 = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
) e 𝑣 = (8,6,2) 
f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
) e 𝑣 = (−1,
2
5
, 3) 
 
 
2) Calcule o produto vetorial dos vetores abaixo: 
 
a) �⃗� = (3,1,−4) e 𝑣 = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3) e 𝑣 = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3) e 𝑣 = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2) e 𝑣 = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
) e 𝑣 = (8,6,2) 
f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
) e 𝑣 = (−1,
2
5
, 3) 
 
 
3) Calcule o produto misto dos vetores abaixo: 
 
a) �⃗� = (3,1,−4) e 𝑣 = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3) e 𝑣 = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3) e 𝑣 = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2) e 𝑣 = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
) e 𝑣 = (8,6,2) 
f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
) e 𝑣 = (−1,
2
5
, 3) 
 
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4) Determine o ângulo formado pelos vetores �⃗� = (2,2) e 𝑣 = (0,−2). 
 
5) Verifique se �⃗� é ortogonal a 𝑣 . 
 
 
 
 
6) Sejam os vetores �⃗� = (3,1,−1) e 𝑣 = (𝑎, 0,2). Calcular o valor de 𝑎 para que a área 
do paralelogramo determinado por �⃗� e 𝑣 seja igual a 2√6. 
 
7) Calcular a área do paralelogramo ABCD, sendo conhecido os vetores �⃗� = (2,3, −2) 
e 𝑣 = (−1,0, −1). 
 
8) Determinar o vetor projeção de 𝑣 = (2,3,4) sobre �⃗� = (1,−1,0). 
 
9) Considere um paralelepípedo ABCDEFG, sendo os vetores �⃗� = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0,3,3) e 
𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,0,1) e �⃗⃗� = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,1,2), resolva: 
 
a) Esboçar o desenho do paralelepípedo indicando os vértices e os vetores. 
b) Calcule a área formada pelos vértices ABCD. 
c) Calcule o volume do paralelepípedo. 
 
 
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10) Determine o ângulo formado entre os vetores: 
 
a) �⃗� = (3,1,−4) e 𝑣 = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3) e 𝑣 = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3) e 𝑣 = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2) e 𝑣 = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
) e 𝑣 = (8,6,2) 
f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
) e 𝑣 = (−1,
2
5
, 3) 
 
 
11) Determine a projeção do vetor �⃗� em relação ao vetor 𝑣 : 
 
a) �⃗� = (3,1,−4) e 𝑣 = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3) e 𝑣 = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3) e 𝑣 = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2) e 𝑣 = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
) e 𝑣 = (8,6,2) 
f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
) e 𝑣 = (−1,
2
5
, 3) 
 
 
12) Calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores �⃗� e 𝑣⃗⃗⃗ : 
 
a) �⃗� = (3,1,−4) e 𝑣 = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3) e 𝑣 = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3) e 𝑣 = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2) e 𝑣 = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
) e 𝑣 = (8,6,2) 
f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
) e 𝑣 = (−1,
2
5
, 3) 
 
 
 
 
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13) Calcule a área do triângulo formado pelos vetores �⃗� e 𝑣⃗⃗⃗ : 
 
a) �⃗� = (3,1,−4) e 𝑣 = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3) e 𝑣 = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3) e 𝑣 = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2) e 𝑣 = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
) e 𝑣 = (8,6,2)f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
) e 𝑣 = (−1,
2
5
, 3) 
 
 
14) Calcule a volume do paralelepípedo formado pelos vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� : 
 
a) �⃗� = (3,1,−4), 𝑣 = (2,0,6) e �⃗⃗� = (2,0,6) 
b) �⃗� = (−3,−5,−3), 𝑣 = (1,1, −1) e �⃗⃗� = (1,1, −1) 
c) �⃗� = (7,5, √3), 𝑣 = (0,−2,4) e �⃗⃗� = (0,−2,4) 
d) �⃗� = (−2,2,−2), 𝑣 = (−5,2,7) e �⃗⃗� = (−5,2,7) 
e) �⃗� = (1,3,−
1
3
), 𝑣 = (8,6,2) e �⃗⃗� = (8,6,2) 
f) �⃗� = (9,−3,−
2
3
),𝑣 = (−1,
2
5
, 3) e �⃗⃗� = (−1,5,3) 
 
 
15) Calcule a volume do tetraedro formado pelos vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� : 
 
g) �⃗� = (3,1,−4), 𝑣 = (2,0,6) e �⃗⃗� = (2,0,6) 
h) �⃗� = (−3,−5,−3), 𝑣 = (1,1, −1) e �⃗⃗� = (1,1, −1) 
i) �⃗� = (7,5, √3), 𝑣 = (0,−2,4) e �⃗⃗� = (0,−2,4) 
j) �⃗� = (−2,2,−2), 𝑣 = (−5,2,7) e �⃗⃗� = (−5,2,7) 
k) �⃗� = (1,3,−
1
3
), 𝑣 = (8,6,2) e �⃗⃗� = (8,6,2) 
l) �⃗� = (9,−3,−
2
3
),𝑣 = (−1,
2
5
, 3) e �⃗⃗� = (−1,5,3)