Lista de Exercicio_Espacos Vetoriais

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ÁLGEBRA LINEAR 
Lista de Exercícios – Espaços Vetoriais 
 
1. Verifique se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos: 
(a) O com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por α(x, y) = (αx, 0). 
(b) O com (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + 2x2, y1 + 2y2) e a multiplicação por escalar usual. 
(c) O com (x1, y1) + (x2, y2) = (y1 + y2, x1 + x2) e a multiplicação por escalar usual. 
(d) O conjunto dos números reais positivos, com x + y = xy e αx = xα. Qual é o vetor 
nulo? 
 
2. Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ? 
(a) (x, y, z); tais que z = x3 
(b) (x, y, z), tais que z = x + y; 
(c) (x, y, z), tais que z 0; 
(d) (x, y, z), tais que z = 0 e xy 0; 
(e) (x, y, z), tais que x = z = 0; 
(f) (x, y, z), tais que x = −z; 
(g) (x, y, z), tais que y = 2x + 1; 
(h) (x, y, z), tais que z2 = x2 + y2. 
 
3. Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ? 
(a) (x, y, z, w), tais que x − y = 2; 
(b) (x, y, z, w), tais que z = x = 2y e w = x − 3y; 
(c) (x, y, z, w), tais que x = y = 0; 
(d) (x, y, z, w), tais que x = 0 e y = −w; 
 
4. Sejam A e B uma matriz nxn fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não 
espaços vetoriais. 
(a) {B | AB = BA}. 
(b) {B | AB BA}. 
(c) {B | BA = }. 
 
5. Sejam W1 = {(x, y, z) | x = y = z} subespaço de formado pelos vetores que tem 
as três componentes iguais e W2 = {(x, y, z) | z = 0} subespaço de formado 
pelos vetores que tem a terceira componente igual a zero. Mostre que = W1 W2. 
 
6. Considere dois vetores (a,b) e (c,d) no plano. Se ad – bc = 0 , mostre que eles são LD. 
Se ad - bc ≠ 0, mostre que eles são LI. 
 
7. Considere o subespaço S= [(1,1,-2,4),(1,1,-1,2),(1,4,-4,8)] de 
a) O vetor (
 
 
, 1,-1,2) pertence a S? 
b) O vetor ( 0,0,1,1) pertence a S? 
 
8. Seja W o subespaço de gerado por [
 
 
 
], [
 
 
 
] e [
 
 
 
]. O vetor [
 
 
 
] 
pertence a W? 
 
9. Verifique que o polinômio (t2 + 2t + 7) é combinação linear de (t2 +1) e (t+3). 
 
10. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de X1 = (4, 2, −3 ) , X2 = (2, 1,−2) e 
X3 = (−2 ,−1, 0)? 
(a) (1, 1, 1); 
(b) (4, 2,−6); 
(c) (−2,−1, 1); 
(d) (−1, 2, 3). 
 
11. Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o ? 
(a) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)}; 
(b) {(1, 2, 1, 0), (1, 1,−1, 0), (0, 0, 0, 1)}; 
(c) {(6, 4,−2, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2,−1, 2), (5, 6,−3, 2), (0, 4,−2,−1)}; 
(d) {(1, 1, 0, 0), (1, 2,−1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 2)}. 
 
12. Encontre um conjunto de vetores que gera o espaço solução do sistema homogêneo 
AX = 0, em que 
(a) A = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) A = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Considere os seguintes subespaços de : 
V = [(−1, 2, 3), (1, 3, 4)] e W = [(1, 2,−1), (0, 1, 1)]. 
Encontre a equação paramétrica da reta V W. 
 
14. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? 
(a) {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)}; 
(b) {(1,−2, 3,−1), (−2, 4,−6, 2)}; 
(c) {(1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1)}; 
(d) {(4, 2,−1, 3), (6, 5,−5, 1), (2,−1, 3, 5)}. 
 
15. Para quais valores de a o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (a2 + 2, 2, 0)} é L.D.? 
 
16. Verifique se os conjuntos de polinômios seguintes são linearmente dependentes ou 
independentes. 
(a) {t2 − 2t + 3, 2t2 + t + 8, t2 + 8t + 7} 
(b) {t2 − 1, t + 1, t + 2} 
 
17. Mostre que [
 
 
], [
 
 
], [
 
 
], [
 
 
] é base de 
 
18. Quais são as coordenadas de x =( 1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}? 
 
19. Considere o subespaço de gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0), v2 = (0,0,1,1), 
v3 = (-2,2,1,1) e v4= (1,0,0,0). 
a) O vetor (2,-3,2,2) Є [v1, v2, v3, v4]? Justifique 
b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual a dimensão? 
c) [v1, v2, v3, v4] = ? Por quê? 
 
 
 
20. Considere o sistema Linear 
(§): {
 
 
 
 
Seja W = {(x, y, z) |(x, y, z) é solução de (§)}. Isso é, W é o conjunto solução do 
sistema. 
a) Que condições devemos impor a a, b e c para que W seja subespaço vetorial de 
b) Nas condições determinadas no item (a) encontre uma base para W. 
c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria 
esse resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos? 
 
21. Seja o subespaço de , gerado por (1,0,0) e o subespaço de , gerado por 
(1,1,0) e (0,1,1). Mostre que = . 
 
22. Sejam {( ) } e {( ) 
 } Subespaços de . 
a) Determine . 
b) Exiba uma base para . 
c) Determine . 
d) é soma direta? Justifique. 
e) ? 
 
23. Sejam 
 {[
 
 
] } e {[
 
 
] } 
subespaços de . 
a) Determine e exiba uma base. 
b) Determine . É soma direta? 
 
24. a) Dado o subespaço V1={(x,y,z) | x + 2y + z = 0} ache um subespaço V2 tal que 
 = 
b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de tais que V1+V2 = . 
 
25. Sejam β = {(1,0), (0,1)}, β1 = {(-1,1), (1,1)}, β2 = {(√ ,1), (√ ,-1)} e β3 = {(2,0), (0,2)} 
bases ordenadas de . 
a) Ache as matrizes mudança de base: ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
b) Quais são as coordenadas do vetor v= (3,-2) em relação à base: ( ) ( ) 
( ) ( ) 
c) As coordenadas de um vetor v em relação à base β1 são dadas por [v]β1 = [
 
 
]. Quais 
são as coordenadas de v em relação à base ( ) ( ) ( ) 
 
26. Se 
 [
 
 
 
] ache: 
a) [v]α , onde [v]α’ = [
 
 
 
] b) [v]α’ , onde [v]α = [
 
 
 
] 
 
 
 
 
27. Se β’ é obtida de β, a base canônica de , pela rotação por um ângulo - 
 
 
 , ache: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
28. Sejam β1 = {(1,0),(0,2)} , β2 = {(-1,0),(1,1)} e β3 = {(-1,-1),(0,-1)} três bases ordenadas de 
 Ache: ( ) 
 ; ( ) 
 ; ( ) 
 
 
29. Seja V o espaço vetorial de matrizes 2X2 triangulares superiores. Sejam 
β = {[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
]} e β’ = {[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
]} duas bases de V. Ache 
 
 .