Derivadas - Respostas 2

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1 
 
 
 
 
 
 
Universidade do Sul de Santa Catarina 
 
 
 
 
 
Derivadas de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis 
 
Respostas das Atividades de 
Autoavaliação - Parte 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
CAPÍTULO 2 
SEÇÃO 1 
1.5 Atividades de autoavaliação 
 
(1) Calcule a derivada das seguintes funções: 
(a) 
4
4
3
7 xy 
 
33 3
4
3
40 xxy 
. 
 
(b) 
  364 3  tttf
 
6120643)( 22  tttf
. 
 
(c) 
    ssssg 31 23 
 
Usamos a regra do produto, então: 
 
)3()1()3)(1()( 2323 sssssssg 
 
 
)3(3)32)(1( 223 sssss 
 
 
3434 933232 sssss 
 
 
32125 34  sss
 
 
(d) 
 
1
1
3
4



x
x
xh
 
Usamos a regra do quociente. 
 
2)1(
)1)(1()1)(1(
3
4
)(



x
xxxx
xh
 
3 
 
 
2)1(
)1()1(
3
4



x
xx
 
 
2)1(
2
3
4


x
 
 
2)1(3
8


x
 
 
(e) 
     44 3  xxxf
 
Usando a regra a produto: 
         
 
.4124
1234
)4)(3(4
4444
32
233
23
33
xx
xxx
xxx
xxxxxf








 
 
(f) 
62 2
52
xx
y 
 
Podemos reescrevê-la da seguinte maneira: 
 
62
2
5
2   xxy
, logo 
 
73 154   xxy
 
 
(g) 
 
x
xx
xf
62 

 
6
)6(6
)(
2




 x
x
xx
x
xx
xf
 
 
Logo 
101)(  xf
 
 
(h) 
 
2
13 23 

tt
tr
 
4 
 
Que é o mesmo que 
)13(
2
1
)( 23  tttr
 
 
Logo, 
)63(
2
1
)( 2 tttr 
 
 
(i) 
   xxxy  34
4
3
 
      
      
 
 
3
2
3
93
42124
4
3
3412
4
3
1134
4
3
44
4
3
23
23
332
32
33





















xxx
xxx
xxxxx
xxxx
xxxxxxy
 
 
(j) 
     321 32  xxxxg
 
             
            
            
    
663856
62362636263
62362631
32132321
320132321
321321
2345
3254242535
325424
32322
323232
3232



















xxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxg
 
 
2. Encontre as derivadas parciais das seguintes funções: 
(a) 
xyyxyxf  322),(
 
xyx
y
f
yxy
y
f






22
3
6
4
 
5 
 
(b) 
hrhrh 2),( 
. 
22 r
r
h
hr
r
h  





 
 
(c) 
vu
u
g
uvvuvug
42
42),( 2



 
 
(d) 
yx
yx
z



2
 
22 )(
3
)(
1).2(1).(
yx
y
yx
yxyx
x
z








 
22 )(
3
)(
)1).(2(2).(
yx
x
yx
yxyx
y
z







. 
 
 
SEÇÃO 2 
2.1.4 Atividades de autoavaliação 
Calcule a derivada 
dx
dy
 das funções dadas: 
 
(a) 
 834 xy 
 
Fazemos 
8uy 
, sendo 
34 xu 
. Usando a regra da cadeia, temos: 
 
 
   
  .424
348
38
732
273
27
xx
xx
xu
dx
du
du
dy
dx
dy




 
 
6 
 
(b) 
 32 13
4


xx
y
 
 
    
 
.
13
1272
13
)16()13(12
13
)16()13(340.13
42
62
22
232
2232









xx
x
xx
xxx
xx
xxxxx
y
 
 
 
(c) 
   xxxxy  242 13
 
        
        
      ))(32(1341213
131213
1313
23242
24242
242242
xxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxxy





 
 
 
(d) 4
3
2 4







x
xy
 













4
3
3
2 122
4
4
x
x
x
xy
 
 
(e) 
 
3
3 4
x
xxf 
 
Reescrevendo a função, temos 
  33
1
4  xxxf
. Então, 
 
4
3
2
43
2
12
3
1
12
3
1
x
x
xxxf





 
 
(f) 
 434 2xxxy 
 
   
   23424
224
23334
34334



xxxxx
xxxxxxy 
 
(g) 
    xxxxf   23 2
 
        
     
   xx
x
x
x
xxxxx
xxxxxxxf















2
43
243
2323
3
122
1
3122
22
 
 
7 
 
(h) 
 2
3
2
5



x
x
y
 
       
  
        
  
    
 
      
 
 3
23
4
32
4
322
22
322
22
2332
2
106
2
52232
2
125223
2
222532
2
2552


















x
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
xxxxx
x
xxxx
y
 
 
 
(i) 
 
4
2
4 x
xx
xg



 
Reescrevendo a função temos 
 
 2
1
4
2
4 x
xx
xg



. 
 
       
 
       
 
 
   
 
    
 2
3
4
234
4
3
4
2
4
4
4
2
1
424
2
2
1
4
2
1
422
2
1
4
4
2124
4
4
42
1
124
4
44
2
1
124
4
44
x
xxxxx
x
x
x
xx
xx
x
xxxxxx
x
xxxxxx
xg
































 
 
 
(j) 
 
16
44 

x
xh
 
Reescrevendo a função temos 
   2
1
4
44
4
4
1
16
4
16
4




 x
xx
xh
. 
8 
 
     
 
42
1
44
8
1
44
2
1
4
1
4
3
3
2
1
4
4
2
1
4







x
x
xx
xxxh
 
 
 
2.1.6 Atividades de autoavaliação 
Calcule as derivadas parciais 
x
z


 e 
y
z


das funções 
),( yxfz 
dadas: 
(a) 
 832 yxz 
 
732732 )(16)2()(8 yxxxyx
x
z



 
73222732 )(24)3()(8 yxyyyx
y
z



 
 
(b) 
 3223
2
yxxy
z


 
.
)3(
)23(6
)3(
)23()3(32
422
2
622
2222
yxxy
xy
yxxy
xyyxxy
x
z








 
 
.
)3(
)16(6
)3(
)16()3(32
422
622
222
yxxy
xy
yxxy
xyyxxy
y
z








 
 
9 
 
(c) 
   yxxxyxyz  242 3
 
        
     yxyyxxyxyxxyxyx
yxxxyxyyxxxyxy
x
z








223242
242242
)13(3432
33 
 
        
     yxxxyxxyxyxxyxyy
yxxxyxyyxxxyxy
y
z








23242
242242
)32(343
33 
 
(d) 4
3
2 4







x
yz
 
3
3
244
3
3
2 448)3)(4(
4
4 













 
x
yxx
x
y
x
z . 
3
3
2
3
3
2 482
4
4 














x
yyy
x
y
y
z 
 
(e) 
 
3
3
4,
x
yxyxf 
 
43/2 12)(
3
1  


xyx
x
z
 
3/2)(
3
1 


yx
y
z
 
 
(f) 
 44 yxyz 
 
10 
 
 344 yxy
x
z



 
  )14(4 334 


yyxy
y
z
 
 
(g) 
    22, 23   yxyxf
 
      
    
 23
230.2
2222
24
243
2323












yx
yxx
yxyx
x
z
 
  yx
y
z
223 

 
 
 
(h) 
 2
3
2
5



x
y
z
 
   3
3
4
32
2
)5(2
2
)2(2)5(0.)2(








x
y
x
xyx
x
z
 
   2
2
4
322
2
3
2
0).5()3.()2(








x
y
x
yyx
y
z
 
 
2.2.2 Atividades de autoavaliação 
(1) Verifique a fórmula da regra da cadeia para a função 
yxyxyxf  22 2)(),( 
 
com 
1)( 2  tttx
 e 
t
ty
1
)( 
. 
Inicialmente fazendo a substituição temos: 
11 
 
21234
2222
3132
1
)1(2)
1
1())(),(( 
 

ttttt
t
tt
t
tttytxf 
Assim, 
3223 23664   ttttt
dt
df
. 
Usando a regra da Cadeia temos: 
3223
2
22
23664
)1)(1)(2()12)(4)(2(
..
2)(),( 











ttttt
tyxtxyx
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
df
yxyxyxf
 
 
(2) Dada 
yx
yx
yxyxf


 2),(
, 
1)( 2  ttx
 e 
1)(  tty
, calcule a derivada 
dt
df
 
usando a Regra da Cadeia. 
22
2345678
2
2
2
)1(
2424365
)(
2
2.
)(
2
2
..
























tt
tttttttt
yx
x
xt
yx
y
xy
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
df
 
(3) Verifique a fórmula da regra da cadeia para a função 
yx
yx
yxf



22
),( 
 sendo 
vuvux  2),(
 e 
23).( vuvuy 
. 
Aplicando a regra da cadeia temos: 
12 
 
22
234222
2
2
2
2
2
2
)23(
436161624
3
)(
2
2
)(
42
2
),( 
vuuv
vvvuvuvu
v
yx
xx
yx
yxyx
u
y
y
f
u
x
x
f
u
f
yx
yx
yxf

























 
 
22
2222223
2
2
2
2
2
)23(
2838122448
6
)(
2
1
)(
42
2
),( 
vuuv
vuvuvuvuvuvu
u
f
uv
yx
xx
yx
yxyx
v
y
y
f
v
x
x
f
v
f
yx
yx
yxf



























 
 
(4) Escreva o sistema matricial e a fórmula genérica da regra da cadeia para o caso da 
função 
),(gz vu
 sendo 
),( wtuu 
 e 
).,( wtvv 
 






































w
v
t
v
w
u
t
u
v
z
u
z
w
z
t
z
.. 
 
 
SEÇÃO 3 
3.1.2 Atividades de autoavaliação 
Determine as derivadas das funções, usando as regras de derivação. 
(a) 
4
2x
ey 
 
13 
 
44
2
4
222
24
2
4
xxx
e
xx
e
x
ey 














 
 
 
(b) 
 4log 23  xy
 
 
 
 
 
 
 
e
x
x
e
x
x
e
x
x
y
32
32
32
2
log
4
2
log
4
02
log
4
4









 
 
 
(c) 
  121  zxy
 
         
         
      1ln12112
021ln101112
121ln11112
122
122
12112









xxxx
xxxx
xxxxxxy
xx
xx
xx
 
 
 
(d) 
x
x
y
1
4


 
    
    
4ln4
1
1
4ln4
1101
4ln4
11
4ln4
1
4ln4
1
2
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xxxx
x
x
y












 






 








 









 

 
 
 
(d) 
5222 xexy 
 
52104 xxexy 
 
 
(e) 
12
1
ln
2



x
x
y
 
14 
 
)1)(12(
222
1
12
)12(
2224
1
12
)12(
2)1(2)12(
12
1
)12(
2)1(2)12(
2
2
22
22
22
2
2
2
2




















xx
xx
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
y
 
 
 
3.2.2 Atividades de autoavaliação 
Determinar a derivada das funções, usando as regras de derivação. 
(a) 
 
 
4
1sec 

x
xf
 
         
        11sec
4
1
0111sec
4
1
111sec
4
1
1sec
4
1





xtgxxtgx
xxtgxxxf
 
 
(b) 
xy cos
 
É possível reescrever a função como 
 2
1
cos xy 
. Assim, 
   
    
   
x
senx
senxx
xsenxx
xxy
cos2
1cos
2
1
cos
2
1
coscos
2
1
2
1
2
1
1
2
1










 
 
(c) 







x
arcy
1
sec
 
15 
 
2
2
2
2
11
1
1
11
1
x
x
x
x
xx
x
y





























 
 
(d) 
   1cos 2  xecxg
 
      
    
   1cot1cos2
021cot1cos
11cot1cos
22
22
222




xgxecx
xxgxec
xxgxecxg
 
 
(e) 
gxtgxy cot3
 
xecx
xecx
xxecxxy
22
22
22
cos3sec
1cos31sec
)cos(3)(sec



 
 
(f) 
 4cot3 xgarcy 
 
 
 
8
3
24
4
1
12
1
3
x
x
x
x
y







 
 
 
16 
 
3.3.2 Atividades de autoavaliação 
(1) Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: 
(a) 
)2ln(2 2xxyxz 
 
22
22
xxy
xy
x
x
z





 
22
2
xxy
x
y
z




 
 
(b) 
)5()2cos(  xsenxz
 
)2()5()5cos()2cos( 


xsenxsenxx
x
z
 
0


y
z
 
 
(c) 
yxez x 3
22 
 
22 22 4 xx exxe
x
z



 
3


y
z
 
 
(d) 
)42(
)42(



yx
yxtg
z
 
2
2
)42(
)42(2)42(sec)42(





yx
yxtgyxyx
x
z
 
17 
 
2
2
)42(
)2()42()4()42(sec)42(





yx
yxtgyxyx
y
z
 
 
(2) Dada 
)3cos(),( 22 yxyxyxf 
, 
12)( 2  ttx
 e 
tsenty )(
, calcule a derivada 
dt
df
 usando a Regra da Cadeia. 
tyxsenxtxyxsenxy
dt
dy
dy
df
dt
dx
dx
df
dt
df
yxyxyxf
cos)3)3((4)2)3(2(
.
)3cos(),(
222
22



 
 
(3) Calcule as derivadas parciais 
x
f


 e 
y
f


 da função 
yx
yx
yxf



)ln(
),( 
 sendo 
vuvux  22),(
 e 
23).( vuvuy 
. 
222
22
222
22
22
22
)32(
)32ln()61(61
)32(
)32ln()41(41
32
)32ln()ln(
),( 
vvuu
vvuuvv
v
f
vvuu
vvuuuu
uf
vvuu
vvuu
yx
yx
yxf
















 
Também é possível resolver pela regra da cadeia.