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Centro Federal de Educação Tecnológica C. S. da Fonseca
UnED Itaguaí
Engenharia de Produção
Cálculo Numérico Turma 2017-2 Data: 13/11/2017 Prova: P2
Professor: Washington da Silva Aluno:Washington Santos Silva Santos Silva Nota:
OBSERVAÇÃO: EM CADA UMA DAS QUESTÕES ABAIXO, ESCREVA O RESULTADO
DE CADA CÁLCULO NUMÉRICO, TANTO OS RESULTADOS PARCIAIS COMO O RE-
SULTADO FINAL, COM APROXIMAÇÃO, POR ARREDONDAMENTO, DE 4 CASAS
DECIMAIS, QUANDO FOR O CASO.
Questão 1 – (2.5 pt)
Seja f(x) = xe3x.
(a) (1.5 pt) use a Forma de Lagrange para obter o polinômio de interpolação sobre os pontos
x0 = 0.2, x1 = 0.3 e x2 = 0.4;
(b) (1.0 pt) dê um limitante superior para o erro de truncamento.
Solução 1. (a) Considere a tabela com os pares (x, f(x)) a seguir:
x 0.2 0.3 0.4
f(x) 0.3644 0.7379 1.3280
Desejamos obter P2(x), dado na Forma de Lagrange por
P2(x) =
2∑
k=0
fkLk
onde
L0 =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2) =
(x− 0.3)(x− 0.4)
(0.2− 0.3)(0.2− 0.4) =
x2 − 0.7x+ 0.12
0.02
= 50x2 − 35x+ 6
L1 =
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2) =
(x− 0.2)(x− 0.4)
(0.3− 0.2)(0.3− 0.4) =
x2 − 0.6x+ 0.08
−0.01 = −100x
2 + 60x− 8
L2 =
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1) =
(x− 0.2)(x− 0.3)
(0.4− 0.2)(0.4− 0.3) =
x2 − 0.5x+ 0.06
0.02
= 50x2 − 25x+ 3
Então
P2(x) = 0.3644 · (50x2 − 35x+ 6) + 0.7379 · (−100x2 + 60x− 8) + 1.3280 · (50x2 − 25x+ 3)
=⇒ P2(x) = 10.83x2 − 1.68x+ 0.2672
Note que P2(0.2) = 0.3644, P2(0.3) = 0.7379 e P2(0.4) = 1.3280.
(b) Temos que
|En(x)| < h
n+1Mn+1
4(n+ 1)
=⇒ |E2(x)| < h
3M3
4 · 3
onde h = 0.1 e M3 = máx|f ′′′(x)|, com x ∈ [0.2; 0.4].
1
Mas f ′(x) = e3x + 3xe3x = (1 + 3x)e3x =⇒ f ′′(x) = 3e3x + (1 + 3x)3e3x = (6 + 9x)e3x =⇒
f ′′′(x) = 9e3x + (6 + 9x)3e3x = (1 + x)27e3x =⇒M3 = f ′′′(0.4) = 125.5004.
Então
|E2(x)| < (0.1)
3(125.5004)
12
≈ 0.0105 ≈ 10−2
Questão 2 – (2.5 pt)
Seja I =
∫ 1.1
0.1
(xln(x2)− 1)dx.
(a) (1.5 pt) Calcule o menor número de partições (ou sub-divisões) n no intervalo [0.1; 1.1],
a fim de que tenhamos erro menor que 10−5 ao integrarmos numericamente I pela Regra
1/3 de Simpson Repetida;
(b) (1.0 pt) Calcule o valor de h = xi+1−xi, com i = 0, 1, . . . , n− 1, (escreva-o como número
decimal) a partir do n encontrado em (a) e indique (não é necessário calcular) como
devemos escrever a Regra 1/3 de Simpson Repetida em função de x0 = 0.1, xn = 1.1, do
h calculado e de somatório(s) em k, contador inteiro (lembre-se que esse contador depende
do n calculado), a fim de calcularmos I.
Solução 2. (a) Temos que
|ESR| ≤ nh
5M4
180
onde h = (1.1− 0.1)/n = 1/n e M4 = máx|f (iv)(x)|, com x ∈ [0.1; 1.1]. Mas
f ′(x) = ln(x2) +
x · 2x
x2
= ln(x2) + 2 =⇒ f ′′(x) = 2x
x2
=
2
x
=⇒ f ′′′(x) = − 2
x2
=⇒ f (iv)(x) = 4
x3
=⇒M4 = f (iv)(0.1) = 4
(0.1)3
= 4000
Então
nh5M4
180
=
4000
180n4
=
200
9n4
< 10−5 =⇒ n4 > 200
9 · 10−5 =⇒ n >
4
√
200
9 · 10−5 ≈ 38.6098
Logo, basta tomar n = 40.
(b) Temos que
I ≈ h
3
f(x0) + f(xn) +
4 n2∑
k=1
f(x2k−1)
+
2 n2−1∑
k=1
f(x2k)

Mas h = 1/n = 1/40 = 0.025. Então, escrevendo a Regra 1/3 de Simpson Repetida em função
de x0 = 0.1, xn = 1.1, do h calculado e de somatório(s) em k, a fim de calcularmos I, temos
que
I ≈ 0.025
3
[
f(0.1) + f(1.1) +
(
4
20∑
k=1
f(0.1 + 0.025(2k − 1))
)
+
(
2
19∑
k=1
f(0.1 + 0.025(2k))
)]
2
Questão 3 – (2.5 pt)
Considere o PVI dado por {
y′ = y
x
+ 3y
y(1) = e3
Usando o método de Taylor de ordem k = 3, calcule y(1.1) com h = 0.1. (Dica: deixe todos os
cálculos indicados em função de e3, inclusive a resposta.)
Solução 3. O método de Taylor de ordem k = 3 é dado por
yn+1 = yn + y
′
nh+ y
′′
n
h2
2
+ +y′′′n
h3
6
Como h = 0.1, segue que y(1.1) = y(x1) ' y1.
Observe que devemos calcular y′′ e y′′′. Mas
y′ =
y
x
+ 3y =⇒ y′′ = y
′
x
− y
x2
+ 3y′ =
(y
x
+ 3y
) 1
x
− y
x2
+ 3
(y
x
+ 3y
)
=
6y
x
+ 9y e
y′′ =
6y
x
+ 9y =⇒ y′′′ = 6
(
y′
x
− y
x2
)
+ 9y′ = 6
(y
x
+ 3y
) 1
x
− 6y
x2
+ 9
(y
x
+ 3y
)
=
27y
x
+ 27y
Assim, temos que
y1 = y0 + y
′
0h+ y
′′
0
h2
2
+ y′′′0
h3
6
onde
y′0 =
e3
1
+ 3e3 = 4e3, y′′0 =
6e3
1
+ 9e3 = 15e3 e y′′′0 =
27e3
1
+ 27e3 = 54e3
Então
y1 = e
3 + 4e3(0.1) +
15e3(0.1)2
2
+
54e3(0.1)3
6
= 1.484e3 (≈ 29.8069)
3