1ª Lista de Vetores e Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS - CCET
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
VETORES E GEOMETRIA ANALI´TICA
1a LISTA DE VETORES
1. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor ~v = (3, 0,−3),
sabendo-se que sua origem e´ o ponto P (2, 3,−5).
Resp.: Q(5, 3,−8)
2. Seja um triaˆngulo ABC e sejam M e N os pontos me´dios de AC e BC, respectivamente. Mostre que MN
e` paralelo a AB e tem comprimento igual a metade do comprimento de AB.
3. Encontre o ponto S, tal que
−−→
PQ e
−→
RS sejam iguais nos seguintes itens:
a) P (2, 5); Q(1, 6) e R(−3, 2) b) P (−2, 0); Q(−3,−4) e R(4, 2)
c) P (0, 3); Q(5,−2) e R(7, 0) d) P (−1, 4); Q(2,−3) e R(−5,−2)
Resp.: a) S(−4, 3) b) S(3,−2) c) S(12,−5) d) S(−2,−9)
4. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~x tal que:
a) 4(~u− ~v) + 13~x = 2~u− ~x
Resp.: ~x = (− 152 , 152 )
b) 3~x− (2~v − ~u) = 2(4~x− 3~u)
Resp.: ~x = ( 235 ,− 115 )
5. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar a1 e a2 tais que ~w = a1~u + a2~v
Resp.: a1 = −1 e a2 = 2
6. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a,−2) tenha mo´dulo 4.
Resp.: ±2√3
7. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a, 12 ) seja unita´rio.
Resp.: ±
√
3
2
8. Determine o vetor unita´rio com mesma direc¸a˜o e sentido que o vetor dado.
a) ~v = (9,−5)
b) ~u = 12~i− 5~j
c) ~w = 8~i−~j + 4~k
9. Encontrar um ponto P de eixo OX de modo que sua distaˆncia ao ponto A(2,−3) seja igual a 5.
Resp.: P (6, 0) ou P (−2, 0)
10. Dados os pontos A(3,−4,−2) e B(−2, 1, 0), determine o ponto N pertencente ao segmento AB tal que−−→
AN = 25
−−→
AB.
Resp.: N(1,−2, 65 )
11. Dados os pontos A(1,−2,−3), B(−5, 2,−1) e C(4, 0,−1). Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam
ve´rtices consecutivos de um paralelogramo.
Resp.: D(10,−4,−3)
12. Dados os pontos A(1,−2, 3), B(2, 1,−4) e C(−1,−3, 1) , determine o ponto D tal que −−→AB +−−→CD = ~0.
Resp.: D(−2,−6, 8)
13. Dados os vetores ~u = (2, 3,−1), ~v(1,−1, 1) e ~w = (−3, 4, 0) ,encontre os nu´meros a1,a2 e a3 tais que
a1~u + a2~v + a3 ~w = (−2, 13,−5).
Resp.: a1 = 2, a2 = −3 e a3 = 1
14. Dado o vetor ~w = (3, 2, 5), determine a e b de modo que os vetores ~u = (3, 2,−1) e ~v = (a, 6, b) + 2~w sejam
paralelos.
Resp.: a = 9 e b = −15
15. Sabendo que o ponto P (m, 4, n) pertence a` reta que passa pelos pontos A(−1,−2, 3) e B(2, 1,−5), calcular
m e n.
Resp.: m = 5 e n = −13
16. Determinar o valor de n para que o vetor ~v = (n,− 12 , 34 ) seja unita´rio.
Resp.: n = ±
√
3
4
17. Determinar o valor de y para que seja equila´tero o triaˆngulo de ve´rtices A(4, y, 4), B(10, y,−2) e C(2, 0,−4).
Resp.: y = ±2
18. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distaˆncia ao ponto A(−1, 2,−2) seja igual a 3.
Resp.: P (0, 0, 0) ou P (0, 0,−4)
19. Dado o vetor ~v = (2,−1,−3), determinar o vetor paralelo a ~v que tenha.
a) sentido contra´rio ao de ~v e treˆs vezes o mo´dulo de ~v;
Resp.: (−6, 3, 9)
b) o mesmo sentido de ~v e mo´dulo 4;
Resp.: ( 8√
14
, −4√
14
, −12√
14
)
c) sentido contra´rio ao de ~v e mo´dulo 5.
Resp.: (−10√
14
, 5√
14
, 15√
14
)
20. Determinar o valor de a para que ~u = (a,−2a, 2a) seja um versor.
Resp.: a = ±2
2