Determinante de uma matriz quadrada

Prévia do material em texto

Determinante de uma matriz quadrada 
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por: 
a11 a12 A= 
a21 a22 
definimos o determinante de A, denotado por det(A), como: 
det(A) = a11 a22  ­ a21 a12 
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por: 
a11  a12  a13 
a21  a22  a23 A= 
a31  a32  a33 
definimos o determinante de A, como: 
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 
­ a11a32a23  ­ a21a12a33  ­ a31a22a13 
Regra prática de Sarrus 
Dada a matriz A de ordem 3: 
a11  a12  a13 
a21  a22  a23 A= 
a31  a32  a33 
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz 
com 3 linhas mas com 5 colunas. 
a11  a12  a13  a11  a12 
a21  a22  a23  a21  a22 
a31  a32  a33  a31  a32 
Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas 
diagonais que descem devem ter o sinal positivo. 
a11 a12 a13 a11 a12 
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32 
Produto cor amarela +a11a22a33 
Produto cor verde  +a12a23a31 
Produto cor azul  +a13a21a32
Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos 
nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo. 
a11 a12 a13 a11 a12 
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32 
Produto cor rosa  ­a11a22a33 
Produto cor bege ­a12a23a31 
Produto cor khaki ­a13a21a32 
O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais: 
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23  ­ a11a32a23  ­ a21a12a33  ­ a31a22a13 
Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3. 
Propriedades dos determinantes 
Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2. 
1.  Se In é a matriz identidade, então: 
det(In) = 1 
2.  Se N é uma matriz nula, então: 
det(N) = 0 
3.  Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: 
det(A) = 0 
4.  A matriz A bem como a sua  transposta A t , possuem o mesmo determinante de A, 
isto é: 
det(A t ) = det(A) 
5.  Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por 
um escalar k, então: 
det(B) = k det(A) 
6.  Se B=kA, onde k é um escalar, então: 
det(B) = k n det(A) 
7.  Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então: 
det(B) = ­ det(A)
8.  Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: 
det(A) = 0 
9.  Se a diferença entre os elementos de duas  linhas (ou colunas) de uma matriz A é 
uma mesma constante, então: 
det(A) = 0 
10. Se  uma  linha  (ou  coluna)  de A  for múltipla  de  uma outra  linha  (ou  coluna)  de A, 
então: 
det(A) = 0 
11. Ao  fixar  todas  as  linhas  (ou  colunas)  de  uma  matriz  exceto  uma  delas,  o 
determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz. 
12. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, 
o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.