6 - Hipérbole

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
 
 
HIPÉRBOLE 
 
 
Hipérbole é o lugar geométrico de todos os pontos tais que a diferença das distâncias, em 
módulo, a 𝐹1 e 𝐹2 é constante e igual a 2𝑎. Onde, 𝑃 = (𝑥, 𝑦) é um ponto qualquer da hipérbole, 
𝐹1, 𝐹2 são os focos da hipérbole, 𝐴1 e 𝐴2 são os vértices da hipérbole, 𝐵1 e 𝐵2 são os polos da 
hipérbole, 𝐶 = (𝑥0, 𝑦0) é o centro da hipérbole, 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | é o eixo transverso da hipérbole, 
2𝑏 = |𝐵1𝐵2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| é o eixo conjugado da hipérbole, e 2𝑓 = |𝐹1𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | é a distância focal da hipérbole, 
Assim, temos: 
 
 
 
 
Na hipérbole é válida a relação: 𝒇𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 
 
 Equação vetorial de uma hipérbole é dada por: 𝑯: ||𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| − |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|| = 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | 
 
Álgebra Linear, Vetores e Geometria Analítica 
 
 6 – Hipérbole Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
 
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Equação reduzida de uma hipérbole de centro na origem 𝐶 = (0,0) é dada por: 
 
o Hipérbole com centro na origem e eixo transverso contido no eixo 𝑥: 
 
 
 
𝑯: 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 
Onde: {
𝐹1 = (𝑓, 0) 𝐹2 = (−𝑓, 0)
𝐴1 = (𝑎, 0) 𝐴2 = (−𝑎, 0)
𝐵1 = (0, 𝑏) 𝐵2 = (0,−𝑏)
 
 
 
 
 
 
o Hipérbole com centro na origem e eixo transverso contido no eixo 𝑦: 
 
 
 
𝑯: 
𝒚𝟐
𝒂𝟐
−
𝒙𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 
 
Onde: {
𝐹1 = (0, 𝑓) 𝐹2 = (0, −𝑓)
𝐴1 = (0, 𝑎) 𝐴2 = (0,−𝑎)
𝐵1 = (𝑏, 0) 𝐵2 = (−𝑏, 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma 
hipérbole de focos 𝐹1 = (5,0) e 𝐹2 = (−5,0) e de vértices 𝐴1 = (3,0) e 𝐴2 = (−3,0). 
 
Como os focos e os vértices se encontram sobre o eixo 𝑥, então a hipérbole tem centro 
na origem e eixo transverso contido no eixo 𝑥. 
 
Equação vetorial: 
𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−3,0) − (3,0) = (−6,0) 
2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−6)2 + 02 = √36 + 0 = √36 = 6 
 
𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (5,0) = (𝑥 − 5, 𝑦) ⟹ |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 − 5)2 + 𝑦2 
𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (−5,0) = (𝑥 + 5, 𝑦) ⟹ |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 + 5)2 + 𝑦2 
 
𝐻: ||𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| − |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|| = 2𝑎 ⟹ 𝐻: |√(𝑥 − 5)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 5)2 + 𝑦2| = 6 
 
 
Equação reduzida: 
2𝑎 = 6 ⟹ 𝑎 =
6
2
⟹ 𝑎 = 3 
 
𝐹1 = (5,0) ⟹ 𝑓 = 5 
 
𝑓2 = 𝑎2 + 𝑏2 
52 = 32 + 𝑏2 
25 = 9 + 𝑏2 
25 − 9 = 𝑏2 
16 = 𝑏2 
𝑏 = √16 
𝑏 = 4 
 
 
 
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Eixo transverso contido no eixo 𝑥: 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹
𝑥2
32
−
𝑦2
42
= 1 
𝐻: 
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma 
hipérbole de focos 𝐹1 = (0,4) e 𝐹2 = (0, −4) e de vértices 𝐴1 = (0,3) e 𝐴2 = (0,−3). 
 
 
Como os focos e os vértices se encontram sobre o eixo 𝑦, então a hipérbole tem centro na 
origem e eixo transverso contido no eixo 𝑦. 
 
Equação vetorial: 
𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0, −3) − (0,3) = (0, −6) 
2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √02 + (−6)2 = √0 + 36 = √36 = 6 
𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (0,4) = (𝑥, 𝑦 − 4) ⟹ |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥2 + (𝑦 − 4)2 
𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (0,−4) = (𝑥, 𝑦 + 4) ⟹ |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥2 + (𝑦 + 4)2 
 
𝐻: ||𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| − |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|| = 2𝑎 ⟹ 𝐻: |√𝑥2 + (𝑦 − 4)2 − √𝑥2 + (𝑦 + 4)2| = 6 
 
 
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Equação reduzida: 
𝐴1 = (0,3) ⟹ 𝑎 = 3 
𝐹1 = (0,4) ⟹ 𝑓 = 4 
 
𝑓2 = 𝑎2 + 𝑏2 
42 = 32 + 𝑏2 
16 = 9 + 𝑏2 
16 − 9 = 𝑏2 
7 = 𝑏2 
𝑏 = √7 
 
Eixo transverso contido no eixo 𝑦: 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
𝑦2
32
−
𝑥2
√7
2 = 1 
𝐻: 
𝑦2
9
−
𝑥2
7
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
 
1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma 
hipérbole de focos e de vértices dados abaixo: 
 
a) 𝐹1 = (5,0), 𝐹2 = (−5,0), 𝐴1 = (4,0) e 𝐴2 = (4,0) 
b) 𝐹1 = (0,6), 𝐹2 = (0, −6), 𝐴1 = (0,4) e 𝐴2 = (0, −4) 
c) 𝐹1 = (0,5), 𝐹2 = (0, −5), 𝐴1 = (0,4) e 𝐴2 = (0,4) 
d) 𝐹1 = (10,0), 𝐹2 = (−10,0), 𝐴1 = (8,0) e 𝐴2 = (−8,0)