6 - Equações do 1º e 2º grau

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
É toda equação que pode ser escrita na forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 . 
Para resolver uma equação do primeiro grau devemos isolar as variáveis em um dos membros 
da equação e os números no outro membro, posteriormente efetuar as operações e finalmente 
dividir o membro numérico pelo coeficiente da variável, encontrando o valor da mesma. 
 
Exemplos: 
1) 𝑥 − 4 = 12 
𝑥 = 12 + 4 
 𝑥 = 16 
2) 7 · 𝑥 = −35 
 𝑥 =
−35
7
 
 𝑥 = −5 
 
3) 4 · (𝑥 − 2) = −16 
 4𝑥 − 8 = −16 
 4𝑥 = −16 + 8 
 4𝑥 = −8 
 𝑥 =
−8
4
 
 𝑥 = −2 
4) 
(𝑥+1)
2
=
4
1
 
 1 · (𝑥 + 1) = 2 · 4 
 𝑥 + 1 = 8 
 𝑥 = 8 − 1 
 𝑥 = 7 
 
 
 
Tipos de equação: 
 
 equação possível e determinada (EPD); 
 
2𝑥 + 3 = 0 
2𝑥 = −3 
𝑥 = −
3
 2 
 
𝑆 = {−
3
 2 
} 
 
𝑎 ≠ 0
𝑆 = {−
𝑏
 𝑎 
}
 
 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 6 – EQUAÇÃO DO 1º E 2º GRAU Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 2 
 equação possível e indeterminada (EPI); 
 
𝑥 +
1
 3 
+
1
 6 
= 𝑥 +
1
 2 
 
 6𝑥 + 3 = 6𝑥 + 3 
6
 
6𝑥 + 3 = 6𝑥 + 3 
6𝑥 − 6𝑥 = 3 − 3 
0𝑥 = 0 
𝑆 = ℝ 
 ∀ 𝑥 ∈ ℝ
𝑆 = ℝ
 
 
 equação impossível (EI); 
 
10𝑥 + 27 = 8𝑥 + 2𝑥 + 30 
10𝑥 + 27 = 10𝑥 + 30 
10𝑥 − 10𝑥 = 30 − 27 
0𝑥 = 3 
𝑆 = ∅ 
 
 ∄ 𝑥 ∈ ℝ
𝑆 = ∅
 
 
 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
É toda equação que pode ser escrita na forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 . 
 
 equações incompletas do tipo 𝒄 = 𝟎 , portanto, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎; colocar a variável 𝑥 em evidência 
e depois separar os produtos que resultam em zero. 
 
Exemplos: 
 
1) 𝑥2 − 9𝑥 = 0 
 𝑥(𝑥 − 9) = 0 
 𝑥 = 0 ou 𝑥 − 9 = 0 
 𝑥 = +9 
 ∴ 𝑆 = {0,9} 
 
2) 𝑥2 + 3𝑥 = 0 
𝑥(𝑥 + 3) = 0 
𝑥 = 0 ou 𝑥 + 3 = 0 
 𝑥 = −3 
 ∴ 𝑆 = {−3,0} 
 
Profª Lilian Brazile 3 
3) 2𝑥2 + 4𝑥 = 0 ou 
2𝑥(𝑥 + 2) = 0 
2𝑥 = 0 ou 𝑥 + 2 = 0 
𝑥 =
0
2
 𝑥 = −2 
𝑥 = 0 
 ∴ 𝑆 = {−2,0} 
 
 2𝑥2 + 4𝑥 = 0 
 𝑥(2𝑥 + 4) = 0 
 𝑥 = 0 ou 2𝑥 + 4 = 0 
 2𝑥 = −4 
 𝑥 =
−4
2
 
 𝑥 = −2 
 ∴ 𝑆 = {−2,0}
4) 2𝑥2 − 𝑥 = 0 
 𝑥(2𝑥 − 1) = 0 
 𝑥 = 0 ou 2𝑥 − 1 = 0 
 2𝑥 = +1 
 𝑥 =
1
2
 
 ∴ 𝑆 = {0,
1
2
} 
 
 
 equações incompletas do tipo 𝒃 = 𝟎 , portanto, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎; isolar a variável 𝑥2 e transformar 
a potência 2 em raiz quadrada. 
 
Exemplos: 
 
1) 𝑥2 − 9 = 0 
𝑥2 = +9 
 𝑥 = ±√+9 
 𝑥 = ±3 
 
2) 𝑥2 − 12 = 0 
𝑥2 = +12 
 𝑥 = ±√+12 
𝑥 = ±2√3 
3) 5𝑥2 − 25 = 0 
5𝑥2 = +25 
𝑥2 = +
25
5
 
 𝑥2 = +5 
 𝑥 = ±√+5 
 
4 
 
 
 equações completas do tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 , Fórmula de Bháskara; substituir o 
valor dos coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐 na fórmula de Bháskara. 
 
 𝑥` =
−𝑏+√∆
2𝑎
 
 ∆= 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 e 𝑥 =
−𝑏±√∆
2·𝑎
 
 𝑥`` =
−𝑏−√∆
2𝑎
 
 
 
Tipos de Soluções: 
o ∆ > 0 (valores positivos) ⟹ duas raízes reais diferentes. 
o ∆ = 0 (valores nulos) ⟹ duas raízes reais iguais 
o ∆ < 0 (valores negativos) ⟹ não existem raízes reais (duas raízes complexas) 
 
 
Exemplos: 
 
1) 𝑥2 − 8𝑥 − 20 = 0 
 
{
𝑎 = +1
𝑏 = −8
 𝑐 = −20
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
 ∆= +64 + 80
∆= +144
 ∆ > 0 ∴ duas raízes reais ≠ 
 
 
𝑥1 =
+8 + 12
2
=
+20
2
= +10 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
+8 ± √+144
2
=
+8 ± 12
2
 
𝑥2 =
+8 − 12
2
=
−4
2
= −2 
 
𝑆 = {−2, +10} 
 
 
 
5 
 
 
2) 9𝑥2 − 12𝑥 + 4 = 0 
 
{
𝑎 = +9
𝑏 = −12
𝑐 = +4
 
 
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= +144 − 144
∆= 0 
 
 
∆ = 0 ∴ duas raízes 
 reais iguais 
𝑥1 =
+12 + 0
18
=
+12 
 18 
: 6
=
: 6
 +
2
3
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
+12 ± √0
18
=
+12 ± 0
18
 
𝑥2 =
+12 − 0
18
=
+12 
 18 
: 6
=
: 6
 +
2
3
 
𝑆 = {+
2
3
} 
 
 
 
 
3) 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0 
 
{
𝑎 = +3
𝑏 = +4
𝑐 = +2
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= +16 − 24
∆= −8
 ∆< 0 ∴ ∄ raízes reais (duas raízes complexas) 
 
 
Nos Reais: 𝑆 = ∅ 
 
Nos Complexos: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
+4 ± √−8
6
=
+4 ± √8𝑖2
6
=
+4 ± 2√2𝑖
6
 
 
𝑥1 =
+4 + 2√2𝑖
6
=
+4: 2 + 2: 2√2𝑖
6: 2
=
+2 + √2𝑖
3
 
 
6 
 
 
𝑥2 =
+4 − 2√2𝑖
6
=
+4: 2 − 2: 2√2𝑖
6: 2
=
+2 − √2𝑖
3
 
 
𝑆 = {
+2 − √2𝑖
3
,
+2 + √2𝑖
3
} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1) Determine o conjunto solução das equações abaixo: 
 
a) 𝑥 − 9 = −5 
b) 𝑥 + 5 = 8 
c) 𝑥 = 8 − 5 
d) 𝑥 + 2 = −10 
e) 5. 𝑥 = 30 
f) −6. 𝑥 = 12 
g) −2. 𝑥 = −44 
h) 
𝑥
2
=
5
1
 
i) 
𝑥
3
= −7 
j) 
𝑥
8
= −
2
5
 
k) 5. 𝑥 = 8. (−2) 
l) 5𝑥 − 4 = 8 + 2𝑥 
m) 2𝑥 + 18 = 36 
n) 5(2𝑥 + 3) = 24 + 𝑥 
o) 2(𝑥 + 3) = 5(𝑥 − 7) 
p) 
𝑥+1
2
= 4 
q) 
𝑥−2
3
=
7
2
 
r) 
2𝑥+1
5
=
𝑥
2
 
s) 2𝑥 +
3
5
= 8 
t) 
4𝑥
3
+ 2 =
5𝑥
2
−
3
2
 
u) 3𝑥 −
1
2
= 𝑥 −
2
5
 
v) 
𝑥−2
6
+ 5 =
4𝑥
5
 
 
 
2) Resolva as equações do 1º grau: 
 
a) 𝑥 − 2 = 10 
b) 𝑥 + 3 = 1 
c) 2𝑥 = −8 
d) −5𝑦 = 0 
e) 𝑧 − 5 = 15 
f) 𝑗 + 8 = 10 
g) 3𝑦 = 18 
h) −2𝑥 = −2 
i) 𝑥 − 3 = 2 
j) 𝑥 + 3 = −10 
k) 2𝑥 = 0 
l) 3𝑥 = 11 
m) 𝑡 + 4 = 8 
n) 𝑥 − 3 = −1 
o) −3𝑤 = 6 
p) 8𝑥 = 72 
q) 𝑥 − 6 = −12 
r) 𝑥 + 1 = 23 
s) 4𝑥 = −16 
t) −10𝑚 = −480 
 
 
 
8 
 
 
3) Resolva as equações do 1º grau: 
 
a) 3(2𝑥 − 5) = 9 − 2𝑥 
b) 3(𝑡 − 1) = 6 
c) 
𝑦−3
2
=
𝑦
3
 
d) 
2𝑥+3
2
= 13 
e) −2(𝑥 − 3) = 18 
f) 
𝑥−1
3
=
𝑥
5
 
g) 2(7𝑥 + 2) + 12(𝑥 + 1) =
2 
h) 
𝑋+4
2
=
1
2
 
i) 
3𝑦
2
− 1 =
3
4
− 2𝑦 
j) 4(𝑥 − 1) − 2(3𝑥 + 4) = 6 
k) 2(𝑥 + 5) = −4 
l) 
3𝑥
2
−
4
5
= 2𝑥 
m) 3(2𝑦 − 5) = 9 
n) 
𝑥
2
+
3
4
=
𝑥
3
−
1
3
 
o) 5(𝑚 − 3) = 2𝑚 + 3 
p) 
(𝑥+2)
2
−
(2𝑥−3)
3
=
(3𝑥+1)
4
 
q) −8(𝑥 − 1) = −16 
r) 
(𝑥−1)
5
−
(5−2𝑥)
3
= 𝑥 
s) 
(5𝑎−1)
10
−
1
2
= 1 −
(2−𝑦)
5
 
t) 4(2𝑥 − 3) = 5(𝑥 + 3) 
u) 
𝑥+1
4
= 7 
v) 𝑥 −
(2𝑥+1)
3
=
(𝑥−2)
2
 
 
 
4) Resolva as equações incompletas do 2º grau, do tipo 𝑐 = 0: 
 
a) 𝑥2 − 8𝑥 = 0 
b) 3𝑥2 + 2𝑥 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑥 = 0 
d) 3𝑥2 − 24𝑥 = 0 
e) 2𝑥2 + 20𝑥 = 0 
f) 𝑥2 − 10𝑥 = 0 
g) 20𝑥2 − 4𝑥 = 0 
h) 𝑥2 + 13𝑥 = 0 
i) 𝑥2 + 7𝑥 = 0 
j) 4𝑥2 − 2𝑥 = 0 
 
 
5) Resolva as equações incompletas do 2º grau, do tipo 𝑏 = 0:a) 𝑥2 − 81 = 0 
b) 𝑥2 − 49 = 0 
c) 4𝑥2 − 25 = 0 
d) 𝑥2 + 25 = 0 
e) 𝑥2 − 225 = 0 
f) 4𝑥2 − 100 = 0 
g) 𝑥2 + 36 = 0 
h) 2𝑥2 − 98 = 0 
i) 5𝑥2 − 45 = 0 
j) 2𝑥2 − 2450 = 0 
 
9 
 
 
6) Resolva as equações completas do 2º grau, utilizando a fórmula de Bháskara: 
 
a) 𝑥2 − 10𝑥 + 9 = 0 
b) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 
d) −𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 
e) 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 
f) 𝑥2 − 5𝑥 + 10 = 0 
 
g) 𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0 
h) 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 
i) 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 
j) 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 
k) 2𝑥2 − 6𝑥 − 80 = 0 
l) 3𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0