Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Instituto de Matema´tica Professora: Ana Paula Cruz de Freitas 1a Lista de Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1. Deˆ um exemplo geome´trico de vetores na˜o-nulos #–u e #–v tais que ‖ #–u + #–v ‖2 = ‖ #–u‖2 + ‖ #–v ‖2 . Exerc´ıcio 2. Deˆ um exemplo geome´trico de vetores na˜o-nulos #–u e #–v tais que ‖ #–u + #–v ‖2 < ‖ #–u‖2 + ‖ #–v ‖2 . Exerc´ıcio 3. Deˆ um exemplo geome´trico de vetores na˜o-nulos #–u e #–v tais que ‖ #–u + #–v ‖2 > ‖ #–u‖2 + ‖ #–v ‖2 . Exerc´ıcio 4. Sejam #–u e #–v vetores representados na figura abaixo. Represente o vetor soma #–u + #–v e o vetor diferenc¸a #–u − #–v por flechas de origem O. O #–u #–v Exerc´ıcio 5. Sejam #–u , #–v e #–w vetores representados na figura abaixo. Represente o vetor #–u + #–v − #–w por uma flecha de origem O. O #–u #–v #–w 1 Exerc´ıcio 6. Nas figuras abaixo ABCD e´ um tetraedro. Obtenha a soma dos vetores indicados em cada figura. A B C D A B C D A B C D Exerc´ıcio 7. Nas figuras abaixo ABCDEF e´ um hexa´gono regular. Obtenha a soma dos vetores indicados em cada figura. O A BC D E F O A BC D E F O A BC D E F O A BC D E F Exerc´ıcio 8. Dado um vetor na˜o-nulo #–u , determine um vetor #–v de norma igual a 5 tal que #–u e #–v sejam paralelos e de mesmo sentido. Resp: −→v = 5 −→u ‖−→u ‖ Exerc´ıcio 9. Dado um vetor na˜o-nulo #–u , determine um vetor #–w de norma igual a 9 tal que #–u e #–w sejam paralelos e de sentidos opostos. Resp: −→v = − 9 −→u ‖−→u ‖ Exerc´ıcio 10. Resolva, na inco´gnita #–x , a equac¸a˜o 2 #–x − 3 #–u = 10( #–x + #–v ). Resp: x = −3 8 −→u − 10 8 −→v . 2 Exerc´ıcio 11. Resolva, nas inco´gnitas #–x e #–y , os sistemas de equac¸o˜es.{ #–x + 2 #–y = #–u 3 #–x − #–y = 2 #–u + #–va) { #–x + #–y = #–u − 2 #–v #–x − #–y = 3 #–ub) Resp: a) x = 5 7 −→u + 2 7 −→v e y = 1 7 −→u − 1 7 −→v . b) x = 2−→u −−→v e y = −−→u −−→v . Exerc´ıcio 12. Resolva, nas inco´gnitas #–x , #–y e #–z , o sistema de equac¸o˜es #–x + #–y − #–z = #–u + #–v #–x − #–y + #–z = #–u − #–v − #–x + #–y + #–z = #–0 . Resp: x = −→u , y = 1 2 −→u + 1 2 −→v , z = 1 2 −→u − 1 2 −→v . Exerc´ıcio 13. Sejam #–u = # – PA, #–v = # – PB e #–w = # – PC vetores. Prove que P , A, B e C sa˜o coplanares se, e somente se, #–u , #–v e #–w sa˜o LD.a) Prove que P , A e B sa˜o colineares se, e somente se, #–u e #–v sa˜o LD.b) Exerc´ıcio 14. Sejam #–u , #–v e #–w vetores LD. Verifique quais das afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas, e justifique. ( ) Um dos vetores e´ nulo. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)a) ( ) Se #–u 6= #–0 , enta˜o #–v e #–w sa˜o paralelos. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)b) ( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o na˜o-nulos, enta˜o dois deles sa˜o paralelos. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!) c) Exerc´ıcio 15. Sejam #–u , #–v e #–w vetores. Prove que se #–u e #–v sa˜o LD, enta˜o #–u , #–v e #–w sa˜o LD.a) Prove que se #–u , #–v e #–w sa˜o LI, enta˜o #–u e #–v sa˜o LI.b) Prove que se #–u e #–v sa˜o LD, enta˜o #–u + #–v e #–u − #–v sa˜o LD.c) Exerc´ıcio 16. Sejam #–u , #–v e #–w vetores. Verifique quais das afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas, e justifique. ( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o LD, enta˜o #–u e #–v sa˜o LD. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)a) ( ) Se #–u e #–v sa˜o LI, enta˜o #–u , #–v e #–w sa˜o LI. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)b) ( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o LI, enta˜o #–u e #–v sa˜o LD. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)c) ( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o LD, enta˜o #–u e #–v tanto pode ser LD como LI. Resp. Verdadeiro ( Pensar nos exemplos!) d) ( ) Se #–u e #–v sa˜o LI, enta˜o #–u , #–v e #–w tanto pode ser LD como LI. Resp. Verdadeiro ( Pensar nos exemplos!) e) 3 Exerc´ıcio 17. Sejam #–u , #–v e #–w vetores. Prove que #–u , #–v e #–w sa˜o LI se, e somente se, #–u + #–v , #–u + #–w e #–v + #–w sa˜o LI. Feito em sala. Exerc´ıcio 18. Sejam #–u , #–v e #–w vetores. Prove que #–u , #–v e #–w sa˜o LI se, e somente se, #–u + #–v + #–w, #–u − #–v e 3 #–v sa˜o LI. Mesmos procedimentos da questa˜o anterior. Exerc´ıcio 19. Determine a, b ∈ R sabendo que #–u e #–v sa˜o vetores LI e que (a − 1) #–u + b #–v = b #–u − (a+ b) #–v . Resp: a = 2 3 , b = −1 3 . Exerc´ıcio 20. Sejam E uma base, #–u = (1,−1, 3)E , #–v = (2, 1, 3)E e #–w = (−1,−1, 4)E . Determine as coordenadas dos vetores. #–u + #–v Resp: (3, 0, 6)a) #–u−2 #–v Resp: (−3,−3,−3)b) #–u+2 #–v−3 #–w Resp: (8, 4,−3)c) Exerc´ıcio 21. Seja E uma base. Escreva o vetor #–x = (4, 0, 13)E como combinac¸a˜o linear dos vetores #–u = (1,−1, 3)E , #–v = (2, 1, 3)E e #–w = (−1,−1, 4)E . Resp: −→x = (1,−1, 3) + 2(2, 1, 3) + (−1,−1, 4) Exerc´ıcio 22. Seja E uma base. Verifique se os vetores #–u e #–v sa˜o LD ou LI. #–u = (0, 1, 0)E , #–v = (1, 0, 1)E Resp: LIa) #–u = (0, 11, 1)E , #–v = (0,−22,−2)E Resp: LD b) #–u = (0, 1, 1)E , #–v = (0, 3, 1)EResp: LIc) #–u = (1,−3, 14)E , #–v = (1/14,−3/14, 1)E Resp: LD d) Exerc´ıcio 23. Seja E uma base. Determine m,n ∈ R sabendo que #–u = (1,m, n + 1)E e #–v = (m,n, 10)E sa˜o LD. Resp: m = 2 e n = 4 Exerc´ıcio 24. Seja E uma base. Verifique se os vetores #–u , #–v e #–w sa˜o LD ou LI. #–u = (1, 0, 0)E , #–v = (200, 2, 1)E , #–w = (300, 1, 2)E Resp: LIa) #–u = (1, 2, 1)E , #–v = (1,−1,−7)E , #–w = (4, 5,−4)E Resp: LDb) #–u = (1,−1, 2)E , #–v = (−3, 4, 1)E , #–w = (1, 0, 9)E Resp: LDc) #–u = (7, 6, 1)E , #–v = (2, 0, 1)E , #–w = (1,−2, 1)E Resp: LId) Exerc´ıcio 25. Seja E uma base. Determine m ∈ R sabendo que #–u = (1, 2, 2)E e´ gerado pelos vetores #–v = (m− 1, 1,m− 2)E e #–w = (m+ 1,m− 1, 2)E . Resp: Na˜o existe m ∈ R tal que #–u seja gerado pelos vetores #–v e #–w . Exerc´ıcio 26. Seja E = { #–e1, #–e2, #–e3} uma base. Sejam #– f1 = #–e1 + #–e2 + #–e3 #– f2 = #–e2 + #–e3 #– f3 = #–e3. Prove que F = { #– f1, #– f2, #– f3 } e´ uma base. 4 Exerc´ıcio 27. Seja E = { #–e1, #–e2, #–e3} uma base. Prove que F = {α1 #–e1, α2 #–e2, α3 #–e3} e´ base se, e somente se, α1, α2 e α3 sa˜o na˜o-nulos. Exerc´ıcio 28. Seja E uma base ortonormal. Determine t ∈ R de modo que #–u = (t, t + 1, t + 2)E tenha normal igual a √ 5. Resp: t = 0 ou t = −2 Exerc´ıcio 29. Sejam E = { #–e1, #–e2, #–e3} e F = { #– f1, #– f2, #– f3 } bases tais que #– f1 = −3 #–e1 + #–e2 + #–e3 #– f2 = #–e1 − 2 #–e2 + #–e3 #– f3 = #–e1 + 2 #–e2. Determine as matrizes mudanc¸a de base ME,F e MF,E . Resp : ME,F = −3 1 11 −2 2 1 1 0 MF,E = 1 11 −2 1 42 −1 7 3 4 5 a) Determine as coordenadas do vetor #–u = (−1, 3, 5)F na base E. Resp: #–u = (11, 3, 2)Eb) Determine as coordenadas do vetor #–v = (11,−22,−11)E na base F . Resp: #–u = (−4,−7, 6)Fc) Exerc´ıcio 30. Sejam E = { #–e1, #–e2, #–e3} e F = { #– f1, #– f2, #– f3 } bases tais que #–e1 = #– f1 + 2 #– f2 #–e2 = #– f1 + #– f2 + #– f3 #–e3 = − #–f1 − #–f2 − 2 #–f3. Determine as matrizes mudanc¸a de base ME,F e MF,E . Resp : ME,F = −1 1 04 −2 −1 2 −1 −1 MF,E = 1 1 −12 1 −1 0 1 −2 a) Determine as coordenadas do vetor #–u = (4, 1, 6)E na base F . Resp: #–u = (−1, 3,−11)Fb) Determine as coordenadas do vetor #–v = (1, 2,−5)F na base E. Resp: #–u = (1, 5, 5)Ec) Exerc´ıcio 31. Sejam E e F bases tais que MF,E = −1 0 a2 1 b 1 0 c . Determine a, b, c ∈ R sabendo que #–u = (1, 1, 2)E = (2, 1, 0)F . Resp: a = 3 2 , b = −1 e c = −1 2 5 Exerc´ıcio 32. Sejam E = { #–e1, #–e2, #–e3}, F = { #– f1, #– f2, #– f3 } e G = { #–g1, #–g2, #–g3} bases tais que #–e1 = #– f1 + 2 #– f2 #–e2 = #– f1 −#–f3 #–e3 = #– f2 + #– f3 #–g1 = #–e1 − 2 #–e2 #–g2 = #–e1 + #–e3 #–g3 = #–e2 − #–e3. Determine as matrizes mudanc¸a de base MF,G e MG,F . Resp : MF,G = −1 1 12 3 −1 2 1 −2 MG,F = −5/3 1 −4/32/3 0 1/3 −4/3 1 −5/3 6
Compartilhar