P1 Calculo 3 Toscano

Prévia do material em texto

Universidade Federal Fluminense 
Departamento de Matemática Aplicada (GMA) 
P1 de Cálculo 3-A – Turma D1 – 1o Sem. 2015 – Prof. Toscano – 29/04/15 
 
 
1) [2,2 pontos] Calcule 
1 2 2
2 2
0 0 1 0
sen sen
2 2
y yx x
dx dy dx dy
x x x x
π π−+− − − −∫ ∫ ∫ ∫ . 
 
 
2) [2,6 pontos] Calcule o volume V da região R do espaço que é limitada pelas superfícies dadas 
por 0z = , 2 21z x y= − + e 2 2( 1/2) 1/4x y+ − = . 
 
 
3) [2,2 pontos] Considere a seguinte integral expressa nas coordenadas cilíndricas: 
π ρ
ϕ ρ ϕ
−
= ∫ ∫ ∫
22 1 2
2
0 0 1
cosI z dz d d . 
Expresse-a, mas não a efetue, no sistema de coordenadas esféricas. 
 
 
4) [3,0 pontos] Considere a curva C na interseção das superfícies 2 2 2 4 4 4x y z y z+ + = + − e 
6y z+ = . Calcule a massa de um arame com a forma de C e densidade linear 
( , , )x y zλ = 2 ( 3)(3 )x y z+ − − . 
 
 
GABARITO 
 
 
2
1 2 2
2 2
0 0 1 0
1 2
2 2
0
sen sen
2 2
sen sen
2 2
y y
x
x
x x
dx dy dx dy
x x x x
x x
dydx
x x x x
π π
π π
−
−
+− − − −
= =− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
1)
2(2 x x− −
1
0
1
0
)
cos cos 0 cos 2
dx
xπ π
π π π
−= − = =
∫
■
 
x
y 
1 
2
 ou
x y
y x
=
=
1 2
2 2 ou 2x y y x= − = −
z 
–1
xyR
1
1 
•
1
2
y
2 21z x y= − +
2 21 1
2 4( )x y+ − =
 
2) Observe que a equação da fronteira da região xyR (hachurada 
 à direita) é 2 21 12 4( )x y+ − = , ou 2 2x y y+ = , que em coordenadas 
polares torna-se senρ ϕ= . Portanto, 
( )
( )
2 21
2 2
0
sensen 2 3
00 0 0
2 3 3
0 0
1
(1 )
2 3
sen sen cos1 sen2 1 4
cos
2 3 2 2 4 3 3 4 9
xy xy
x y
R R
I dz dydx x y dydx
d d d
d
ϕπ ϕ π
ππ
ρ ρρ ρ ρ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕϕ ϕ πϕ ϕ
− +
= = − +
⎡ ⎤= − = ⎢ − ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎥⎢ ⎥ ⎢= − = − − − + = −⎟⎜ ⎟⎥⎟⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
∫ ■
 
 
 
2
2 2
/
2 2
sen
cos cos cos
sen
cos cos
dV
r dr d d
z dz d d r
r
r dr d d
ρ
θ θ ϕϕ ρ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ
= ⋅ ⋅
=
3) ����	���
 
2 2
4 2 2
0 0 sec
cos cosI r dr d d
ππ
θ
θ ϕ θ ϕ=∴ ∫ ∫ ∫ ■ 
 
 
 
4) ( ) ( )2 22 2 2 tirando 6 de (ii)e substituindo em (i)4 4 4 (i) 3: 16 (ii) 12z yx y z y z x yC y z = −⎧⎪ + + = + − −⎪ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + =⎨⎪ + =⎪⎩ , 
que é a equação da projeção de C no plano xy, uma elipse, que admite a parametrização, em 
função de [0,2 )t π∈ , dada por ( ) 2 cosx t t= e ( ) 3 seny t t= + , donde, usando (ii), vemos 
que ( ) 3 senz t t= − . Assim parametrizamos C. Temos que 
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( 2 sen ) (cos ) ( cos ) 2ds x t y t z t dt t t t dt dt′ ′ ′= + + = − + + − = . 
Logo, 
{ }
{ } { }
( ) ( )
2
2
0
2 2
2 2 2
0 0
2
0
massa ( ) [ ( ) 3][3 ( )] 2
[ 2 cos ] [sen ][sen ] 2 2 2cos sen
sen2 sen2
2 2 2 2 3 2
2 4 2 4
C C
dm ds x t y t z t dt
t t t dt t t dt
t t t t
π
π π
π
λ
π π π
= = = + − −
= + = +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= + + − = + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
■
 
 
x
y 
0 
1 
2
1 
2
plano ( cos ) 1 ou secz r rθ θ= = =
22z ρ= − : sup. esf. de raio 2