Produto Vetorial e Misto

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Geometria Analítica 
Lista de Exercícios – Produto Vetorial e Misto 
 
1) Dados os vetores 
 kjiu 23
, 
 kjiv 42
 e 
 kiw
, calcular: 
a) 
)).((

vv 32
 b) 
).).(.(

uvvu
 c) 
wvu )..(
 d) 
)..(

wvu
 
2) Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0, 1) e C(2, -1, -3), determinar o ponto D tal que 
.

 ACxBCAD
 
3) Determinar o vetor 
x
 tal que 
x
.(1, 4, -3) = -7 e 
x
x (4, -2, 1) = (3, 5, -2). 
4) Resolver os sistemas: 
 








12)22.(
0)32(
)
kjix
kjiXx
b
 
5) Dados os vetores 


u
(1, -1, 1) e 


v
(2, -3, 4), calcular: 
a) a área do paralelogramo determinado por 
veu
; b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 
v
. 
6) Dados os vetores 


u
(2, 1, -1) e 


v
(1, -1, a), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por 

veu
seja igual a 
62
. 
7) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, -1, 0) e C(4, 2, -2), determinar: 
a) a área do triângulo ABC; b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. 
8) Dados os vetores 


u
(3, -1, 1), 


v
(1, 2, 2) e 


w
(2, 0, -3), calcular: 
a)
),,(

wvu
 b)
),,(

vuw
 
9) Sabendo que 
2).( 

wXvu
, calcular: 
).()

vXwua
 
).()

uXwvb
 
uwXvc ).)(
 
)3).()(

vwXud
 
)2.()

vXwue
 
)).()(

 wXuvuf
 
10) Verificar se são coplanares os vetores: 
a)
u
= (1, -1, 2), 
v
= (2, 2, 1) e 
w
= (-2, 0, -4) b) 
u
= (2, -1, 3), 
v
= (3, 1, -2) e 
w
= (7, -1, 4) 
11) Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: 
a)
u
= (2, -1, k), 
v
= (1, 0, 2) e 
w
= (k, 3, k). b)
u
= (2, k, 1), 
v
= (1, 2, k) e 
w
 = (3, 0, -3) 
12) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
)2,1,0(1 

v
, 
)1,2,4(2 

v
 
e 
)2,,3(3 

mv
 seja igual a 33. Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por 
21 vev
. 
 
 RESPOSTAS: 
1) a)
0
 b)
0
 c)5 d)5 2)D(-4, -1, 1) 3) 
x
= (3, -1, 2) 4) a) 
x
= (1, -3, 0) b) 
x
= (-4, 2, -6) 
5) a)
6A
u.a. b) 
2h
u.c. 6) a = 3 ou a = 
5
17

 7) a) A = 
2
35 u.a. b) h = 
2
25 u.c. 8) a)-29 b)-29 
9) a) -2 b) 2 c) 2 d) -6 e) -4 f) -2 10) a) Não b) Sim 11) a) 6 b) 2 ou -3 12) m = 4 ou m = 
4
17

 e 
h=
89
33
 
 
 








10)24.(
)
kjix
kjXx
a